《高等数学下》第二学期期末试卷A(精选04)

一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

1. 具有特解 $y_{1} = e^{-x}, y_{2} = 2xe^{x}, y_{3} = 3e^{x}$ 的三阶常系数线性齐次方程是（ ）
   • A. $y^{\prime\prime\prime} + y^{\prime\prime} - y^{\prime} - y = 0$
   • B. $y^{\prime\prime\prime} - y^{\prime\prime} - y^{\prime} + y = 0$
   • C. $y^{\prime\prime\prime} - 6y^{\prime\prime} + 11y^{\prime} - 6y = 0$
   • D. $y^{\prime\prime\prime} - 2y^{\prime\prime} - y^{\prime} + y = 0$

查看答案与解析

答案：B

解析： 本题考查根据线性无关特解构造常系数齐次线性微分方程的方法。

第一步：确定特征根 根据常系数齐次线性微分方程特解的形式：

• 由特解 $y_1 = e^{-x}$，可知特征方程有一个实根 $r_1 = -1$。
• 由特解 $y_2 = 2xe^{x}$ 和 $y_3 = 3e^{x}$，由于它们包含 $e^x$ 和 $xe^x$ 项，根据重根理论，这意味着特征根 $r = 1$ 至少是一个二重根。 综上，该三阶方程的三个特征根为：$r_1 = -1, r_2 = 1, r_3 = 1$。

第二步：构造特征方程 已知特征根为 $-1, 1, 1$，则特征方程为：

$$(r - (-1))(r - 1)(r - 1) = 0 \Rightarrow (r + 1)(r - 1)^2 = 0$$

展开多项式：

$$(r + 1)(r^2 - 2r + 1) = 0$$

$$r^3 - 2r^2 + r + r^2 - 2r + 1 = 0$$

$$r^3 - r^2 - r + 1 = 0$$

第三步：写出微分方程 根据特征方程 $r^3 - r^2 - r + 1 = 0$ 与微分方程的一一对应关系（$r^k \to y^{(k)}$）：

$$y^{\prime\prime\prime} - y^{\prime\prime} - y^{\prime} + y = 0$$

方法总结：

1. 观察特解：$e^{ax} \to r=a$，$x^k e^{ax} \to r=a$ 是至少 $k+1$ 重根。
2. 写方程：利用 $(r-r_1)(r-r_2)...(r-r_n)=0$ 构造特征方程。
3. 对应系数：将多项式系数对应到微分方程的各阶导数项。

故选 B。

---

难度: ⭐⭐
考点: #常系数齐次线性微分方程 #特征根 #特解形式

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 若 $r$ 是单实根，特解为 $Ce^{rx}$。
• 若 $r$ 是 $k$ 重实根，特解为 $(C_0 + C_1x + \dots + C_{k-1}x^{k-1})e^{rx}$。

思路分析

看到 $xe^x$ 和 $e^x$ 同时出现，第一反应应该是特征根 $1$ 是重根。结合 $e^{-x}$ 提供的根 $-1$，利用根与特征方程的关系即可快速反推。

🔄 举一反三

1. 具有特解 $y_1 = e^{2x}, y_2 = xe^{2x}$ 的二阶常系数齐次线性微分方程是（ ）
   • A. $y'' - 4y' + 4y = 0$
   • B. $y'' + 4y' + 4y = 0$
   • C. $y'' - 4y' - 4y = 0$
   • D. $y'' + 4y' - 4y = 0$
   查看练习答案与解析

   答案：A 解析：由 $e^{2x}$ 和 $xe^{2x}$ 知 $r=2$ 是二重根，特征方程为 $(r-2)^2 = r^2 - 4r + 4 = 0$，对应 $y'' - 4y' + 4y = 0$。

2. 曲面 $x^{2} + 4y^{2} + z^{2} = 4$ 与平面 $x + z = a$ 的交线在 $yz$ 平面上的投影是（ ）
   • A. $\left\{ \begin{array}{l} (a - z)^2 + 4y^2 + z^2 = 4 \\ x = 0 \end{array} \right.$
   • B. $\left\{ \begin{array}{l} x^2 + 4y^2 + (a - x)^2 = 4 \\ z = 0 \end{array} \right.$
   • C. $\left\{ \begin{array}{l} x^{2} + 4y^{2} + (a - x)^{2} = 4 \\ x = 0 \end{array} \right.$
   • D. $(a - z)^2 + 4y^2 + z^2 = 4$

查看答案与解析

答案：A

解析： 本题考查空间曲线在坐标面上的投影方程的求解方法。

第一步：消去指定变量 要求空间曲线在 $yz$ 平面上的投影，实质上是寻找一个包含该曲线且母线平行于 $x$ 轴的柱面（投影柱面）。为此，我们需要从方程组中消去变量 $x$。 已知方程组：

$$\begin{cases} x^2 + 4y^2 + z^2 = 4 & \text{(1)} \\ x + z = a & \text{(2)} \end{cases}$$

由 (2) 得：$x = a - z$。

第二步：得到投影柱面方程 将 $x = a - z$ 代入 (1) 中，消去 $x$：

$$(a - z)^2 + 4y^2 + z^2 = 4$$

这个方程在三维空间中代表一个柱面。

第三步：规范投影曲线表达 投影是位于 $yz$ 平面（方程为 $x = 0$）上的平面曲线。因此，完整的投影方程必须由投影柱面方程与平面方程联立表示：

$$\begin{cases} (a - z)^2 + 4y^2 + z^2 = 4 \\ x = 0 \end{cases}$$

方法总结： 求空间曲线在某坐标面上的投影：

1. 消元：向 $yz$ 面投影消 $x$，向 $xz$ 面投影消 $y$，向 $xy$ 面投影消 $z$。
2. 联立：将消元后的方程与目标坐标平面的方程（如 $x=0$）联立。

对比选项，A 项完全符合规范。

---

难度: ⭐
考点: #空间曲线投影 #二次曲面 #坐标平面

💡 学习锦囊

思路分析

投影在哪一个平面，就消去哪一个平面的法向量对应的变量。投影到 $yz$ 面，就消去 $x$。

🔄 举一反三

1. 曲线 $\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 1 \\ x + y + z = 0 \end{cases}$ 在 $xy$ 平面上的投影方程是（ ）
   • A. $\begin{cases} 2x^2 + 2xy + 2y^2 = 1 \\ z = 0 \end{cases}$
   • B. $\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 1/2 \\ z = 0 \end{cases}$
   • C. $x^2 + y^2 = 1$
   • D. $x^2 + xy + y^2 = 1$
   查看练习答案与解析

   答案：A 解析：由 $z = -(x+y)$ 代入球面得 $x^2+y^2+(x+y)^2=1$，即 $2x^2+2xy+2y^2=1$。投影到 $xy$ 面需联立 $z=0$。

3. 若 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 可微，则下列命题中不成立的是（ ）
   • A. $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 连续。
   • B. $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 两个偏导数都存在。
   • C. $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 沿任何方向的方向导数存在。
   • D. $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 两个偏导数连续。

查看答案与解析

答案：D

解析： 本题考查多元函数可微性与其他性质（连续、偏导、方向导数）之间的逻辑强弱关系。

• A项成立：这是可微性的必要条件。函数在某点可微，则该点必连续。
• B项成立：这也是可微性的必要条件。若 $f$ 可微，则在该点的偏导数 $f_x, f_y$ 必存在。
• C项成立：若 $f$ 可微，则它在该点沿任何方向 $l$ 的方向导数均存在，且可由偏导数线性组合得到：$\frac{\partial f}{\partial l} = f_x \cos\alpha + f_y \cos\beta$。
• D项不成立：偏导数连续是可微的充分条件，但不是必要条件。
  • 即：偏导连续 $\Rightarrow$ 可微，但可微 $\not\Rightarrow$ 偏导连续。

方法总结： 牢记多元函数性质链： 偏导连续 $\Rightarrow$ 可微 $\Rightarrow$ {连续 + 偏导存在 + 方向导数存在}。 注意，性质链的逆向推导（如由可微推偏导连续）是不成立的。

故选 D。

---

难度: ⭐⭐
考点: #可微性 #连续性 #偏导数 #充分必要条件

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 偏导连续 $\Rightarrow$ 可微 $\Rightarrow$ {连续 + 偏导存在 + 方向导数存在}
• 逆向推导均不成立

思路分析

牢记多元函数性质链，可微是最核心的中间环节。偏导连续是充分条件，连续和偏导存在是必要条件。

易错点

• 误以为可微能推出偏导数连续
• 混淆充分条件和必要条件的方向

🔄 举一反三

1. 若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处两个偏导数都存在，则 $f(x,y)$ 在该点（ ）
   • A. 一定连续
   • B. 一定可微
   • C. 不一定连续
   • D. 偏导数一定连续
   查看练习答案与解析

   答案：C 解析：偏导数存在不能保证连续，也不能保证可微。例如 $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 处偏导存在但不连续。

4. 设平面区域 $D = \{(x,y) \mid - a\leq x\leq a, x\leq y\leq a\}$，$D_{1} = \{(x,y)\mid 0\leq x\leq a, x\leq y\leq a\}$。则 $\iint \limits_{D}(\cos x\sin y + xy)dxdy = ()$
   • A. $4\iint \limits_{D_1}(\cos x\sin y + xy)dxdy$
   • B. $2\iint_{D_1}\cos x\sin ydxdy$
   • C. $2 \iint_{D_1} xy \, dx \, dy$
   • D. 0

查看答案与解析

答案：B

解析： 本题核心考查二重积分中对称性与奇偶性的综合应用。

第一步：拆分积分项 根据二重积分的线性性质，原积分可拆分为：

$$I = \iint_D \cos x \sin y dA + \iint_D xy dA = I_1 + I_2$$

第二步：分析 $I_2 = \iint_D xy dA$ 观察积分区域 $D$：$-a \leq x \leq a, x \leq y \leq a$。该区域虽然关于 $y=x$ 对称，但我们直接利用 $x$ 变量的奇偶性计算：

$$I_2 = \int_{-a}^a x \left( \int_x^a y dy \right) dx = \int_{-a}^a \frac{1}{2}x(a^2 - x^2) dx$$

由于被积函数 $g(x) = \frac{1}{2}(a^2x - x^3)$ 是关于 $x$ 的奇函数，且积分区间 $[-a, a]$ 对称，故该部分积分为 0。

第三步：分析 $I_1 = \iint_D \cos x \sin y dA$ 被积函数 $h(x, y) = \cos x \sin y$ 关于 $x$ 是偶函数。

$$I_1 = \int_{-a}^a \cos x \left( \int_x^a \sin y dy \right) dx = \int_{-a}^a \cos x (\cos x - \cos a) dx$$

因为 $\cos^2 x - \cos a \cos x$ 是 $x$ 的偶函数，根据对称区间积分性质：

$$I_1 = 2 \int_{0}^a \cos x (\cos x - \cos a) dx$$

而这正好对应了 $D_1$ 区域（即 $x \geq 0$ 部分）上的积分结果的 2 倍：

$$I_1 = 2 \iint_{D_1} \cos x \sin y dA$$

方法总结：

1. 奇抵消：若被积函数关于某变量是奇函数，且区域关于另一轴对称，积分为 0。
2. 偶倍增：若被积函数是偶函数，且区域对称，积分为半个区域积分的 2 倍。
3. 计算技巧：遇到复杂区域，先写成累次积分，通过观察内层积分结果的奇偶性来简化。

故选 B。

---

难度: ⭐⭐⭐
考点: #二重积分 #对称性 #奇偶性

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 奇函数在对称区域上的积分为 0。
• 偶函数在对称区域上的积分为 2 倍。 :::

🔄 举一反三

1. 设 $D$ 是圆域 $x^2 + y^2 \leq a^2$，则 $\iint_D xy^2 \, dxdy =$ （ ）
   • A. $0$
   • B. $\frac{\pi a^4}{4}$
   • C. $\frac{\pi a^4}{8}$
   • D. $\frac{\pi a^4}{2}$
   查看练习答案与解析

   答案：A 解析：被积函数 $xy^2$ 关于 $x$ 是奇函数，积分区域关于 $y$ 轴对称，故积分为 0。

5. 下烈级数中，属于条件收敛的是（ ）
   • A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (n+1)}{n}$
   • B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin n}{n^2}$
   • C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$
   • D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n + 1}$

查看答案与解析

答案：D

解析： 本题考查级数绝对收敛与条件收敛的判定。

• A项：一般项 $u_n = \frac{(-1)^n (n+1)}{n}$。由于 $\lim_{n \to \infty} |u_n| = 1 \neq 0$，级数的一般项不趋于 0，故级数发散。
• B项：考虑绝对值级数 $\sum \frac{|\sin n|}{n^2}$。由于 $\frac{|\sin n|}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}$，而 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛 ($p=2>1$)，故原级数绝对收敛。
• C项：绝对值级数 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，故原级数绝对收敛。
• D项：
  1. 收敛性：原级数是交错级数，其一般项单调递减趋于 0，由莱布尼茨准则知级数收敛。
  2. 绝对收敛性：其绝对值级数 $\sum \frac{1}{3n+1}$ 与调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 同阶，级数发散。
  3. 结论：原级数收敛但绝对值级数发散，属于条件收敛。

方法总结：

1. 先判绝对收敛：若 $\sum |u_n|$ 收敛，直接结论“绝对收敛”。
2. 再判一般项极限：若 $\lim u_n \neq 0$，直接结论“发散”。
3. 后判条件收敛：若绝对值级数发散，但原级数（通常为交错级数）通过莱布尼茨准则判定收敛，则结论为“条件收敛”。

故选 D。

---

难度: ⭐⭐
考点: #级数收敛 #条件收敛 #绝对收敛 #莱布尼茨准则

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 绝对收敛：$\sum |u_n|$ 收敛。
• 条件收敛：$\sum u_n$ 收敛但 $\sum |u_n|$ 发散。
• 交错级数判定（Leibniz）：若 $u_n \geq u_{n+1} > 0$ 且 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$，则 $\sum (-1)^n u_n$ 收敛。

思路分析

判定步骤：

1. 先看一般项是否趋于 0（不趋于 0 直接发散）。
2. 加绝对值看是否收敛（收敛则绝对收敛）。
3. 如果绝对值发散但原级数收敛，则为条件收敛。

🔄 举一反三

1. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2+1}$ 的收敛性。
   查看练习答案与解析

   答案：条件收敛 解析：$\frac{n}{n^2+1} \sim \frac{1}{n}$，绝对值级数发散。但原级数为交错级数，$u_n = \frac{n}{n^2+1}$ 单调递减趋于 0，由莱布尼茨准则知收敛，故条件收敛。

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。不写解答过程，请将正确答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。）

1. 微分方程 $y^{\prime\prime} - 5y^{\prime} + 6y = xe^{2x}$ 的特解 $y^*$ 形式为 $(Ax^2 + Bx)e^{2x}$。

查看答案与解析

答案：$(Ax^2 + Bx)e^{2x}$

解析： 本题考查常系数非齐次线性微分方程待定系数法的特解设法。

第一步：求齐次方程的特征根 对应的齐次方程为 $y^{\prime\prime} - 5y^{\prime} + 6y = 0$。 特征方程：$r^2 - 5r + 6 = 0 \Rightarrow (r - 2)(r - 3) = 0$。 特征根为 $r_1 = 2, r_2 = 3$。

第二步：分析自由项 自由项 $f(x) = xe^{2x}$ 属于 $P_n(x)e^{\alpha x}$ 类型，其中 $n=1$（一次多项式）, $\alpha = 2$。

第三步：确定特解形式 由于 $\alpha = 2$ 是特征方程的一个单根，根据待定系数法规则，特解应设为：

$$y^* = x^1 \cdot (Ax + B)e^{2x} = (Ax^2 + Bx)e^{2x}$$

方法总结：

1. 找根：求齐次方程特征根。
2. 对号：观察自由项 $e^{\alpha x}$ 中的 $\alpha$。
3. 定 $k$：若 $\alpha$ 不是根，$k=0$；单根 $k=1$；重根 $k=2$。
4. 写形式：$y^* = x^k Q_n(x) e^{\alpha x}$。

---

难度: ⭐
考点: #微分方程特解 #待定系数法

💡 学习锦囊

思路分析

特解形式的核心在于判断 $\alpha$ 是否为特征根。若是特征根，则必须补乘 $x$ 或 $x^2$。

🔄 举一反三

1. 微分方程 $y'' - 3y' + 2y = e^x$ 的特解形式应设为（ ）
   • A. $Ae^x$
   • B. $Axe^x$
   • C. $Ax^2e^x$
   • D. $(Ax+B)e^x$
   查看练习答案与解析

   答案：B 解析：特征根为 $r=1,2$，$\alpha=1$ 是单根，故特解设为 $Axe^x$。

2. 已知 $\frac{\partial z}{\partial x} = x^2 + y^2$，且 $z(1, y) = y^2$，则 $z(x, y) = $ $\frac{1}{3}x^3 + xy^2 - \frac{1}{3}$。

查看答案与解析

答案：$\frac{1}{3}x^3 + xy^2 - \frac{1}{3}$

解析： 本题考查已知偏导数求原函数的方法。

第一步：积分求原函数 已知 $\frac{\partial z}{\partial x} = x^2 + y^2$，对 $x$ 求偏积分（此时 $y$ 视为常数）：

$$z(x, y) = \int (x^2 + y^2) dx = \frac{1}{3}x^3 + xy^2 + C(y)$$

注意：积分常数应为关于 $y$ 的函数 $C(y)$。

第二步：利用初值条件确定 $C(y)$ 已知 $z(1, y) = y^2$，代入上式：

$$\frac{1}{3}(1)^3 + (1)y^2 + C(y) = y^2 \Rightarrow \frac{1}{3} + y^2 + C(y) = y^2$$

解得 $C(y) = -\frac{1}{3}$。

第三步：写出最终表达式

$$z(x, y) = \frac{1}{3}x^3 + xy^2 - \frac{1}{3}$$

方法总结：

1. 偏积分：对已知偏导数的变量进行积分，常数项设为另一变量的函数。
2. 代入初值：利用已知点的值求出该函数。

---

难度: ⭐
考点: #偏积分 #初值问题

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 偏积分：对 $x$ 积分时 $y$ 视为常数，积分常数应为 $\varphi(y)$
• 利用初值条件确定待定函数

思路分析

已知偏导数求原函数，先对已知偏导数的变量积分，常数设为另一变量的函数，再代入初值条件确定。

🔄 举一反三

1. 已知 $\frac{\partial z}{\partial y} = 2y + x$，且 $z(x, 0) = x$，求 $z(x, y)$。
   查看练习答案与解析

   答案：$z = y^2 + xy + x$解析：$z = \int (2y+x) dy = y^2 + xy + C(x)$。由 $z(x,0)=x$ 得 $C(x)=x$，故 $z = y^2 + xy + x$。

3. 曲面 $x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 36$ 在点 $(1, 2, 3)$ 处的切平面方程为 $x + 4y + 9z = 36$。

查看答案与解析

答案：$x + 4y + 9z = 36$

解析： 本题考查隐函数曲面的切平面方程求法。

第一步：求法向量 令 $F(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 36$。 计算偏导数： $F_x = 2x, F_y = 4y, F_z = 6z$。 在点 $(1, 2, 3)$ 处的法向量 $\vec{n} = (2(1), 4(2), 6(3)) = (2, 8, 18)$。 为简化计算，取方向向量 $\vec{v} = (1, 4, 9)$。

第二步：写出平面方程 利用点法式方程：

$$1(x - 1) + 4(y - 2) + 9(z - 3) = 0$$

展开整理：

$$x - 1 + 4y - 8 + 9z - 27 = 0 \Rightarrow x + 4y + 9z = 36$$

方法总结：

1. 构造函数：将曲面方程化为 $F(x,y,z)=0$。
2. 求梯度：计算各偏导数得到法向量。
3. 点法式：代入点法式公式并化简。

---

难度: ⭐
考点: #切平面 #法向量

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 曲面 $F(x,y,z)=0$ 在点 $P_0$ 的切平面：$F_x(P_0)(x-x_0) + F_y(P_0)(y-y_0) + F_z(P_0)(z-z_0) = 0$
• 法向量 $\vec{n} = (F_x, F_y, F_z)$

思路分析

构造函数 $F(x,y,z)$，求梯度得法向量，代入点法式即得切平面方程。

🔄 举一反三

1. 求曲面 $z = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 1, 2)$ 处的切平面方程。
   查看练习答案与解析

   答案：$2x + 2y - z = 2$解析：$F = x^2 + y^2 - z$，$\nabla F = (2x, 2y, -1)$，在 $(1,1,2)$ 处为 $(2,2,-1)$。切平面：$2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0$。

4. 函数 $u = x^{2}y^{2}z$ 在点 $P(1, 1, 1)$ 处的梯度为 $(2, 2, 1)$。

查看答案与解析

答案：$(2, 2, 1)$

解析： 本题考查多元函数梯度的定义与计算。

第一步：求偏导数$\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy^2z \Rightarrow 2(1)(1)^2(1) = 2$$\frac{\partial u}{\partial y} = 2x^2yz \Rightarrow 2(1)^2(1)(1) = 2$$\frac{\partial u}{\partial z} = x^2y^2 \Rightarrow (1)^2(1)^2 = 1$

第二步：写出梯度向量 根据定义 $\text{grad}\, u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)$。 代入得：$\text{grad}\, u = (2, 2, 1)$。

方法总结： 梯度是由函数在某点处的所有一阶偏导数组成的向量。

---

难度: ⭐
考点: #梯度

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 梯度：$\nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})$
• 梯度方向是函数增长最快的方向

思路分析

求梯度就是求各偏导数组成的向量。先求偏导，再代入点坐标。

🔄 举一反三

1. 求 $u = \ln(x^2 + y^2 + z^2)$ 在点 $(1, 1, 1)$ 处的梯度。
   查看练习答案与解析

   答案：$\nabla u = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$解析：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{x^2+y^2+z^2}$，代入 $(1,1,1)$ 得 $\frac{2}{3}$，同理 $y,z$ 分量。

5. 已知椭圆 $L: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ 周长为 $a$，则积分 $\oint_{L} (9x^2 + 4y^2 + 3xy) ds =$ $36a$。

查看答案与解析

答案：$36a$

解析： 本题考查第一类曲线积分的对称性与代换技巧。

第一步：利用曲线方程简化被积函数 在曲线 $L$ 上，满足 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$。 等式两边同乘以 36 得：$9x^2 + 4y^2 = 36$。 因此被积函数简化为 $36 + 3xy$。

第二步：拆分并利用对称性计算

$$\oint_L (36 + 3xy) ds = 36 \oint_L ds + 3 \oint_L xy ds$$

1. $\oint_L ds$ 即为曲线 $L$ 的周长，已知为 $a$。故第一项为 $36a$。
2. 对于 $\oint_L xy ds$，由于椭圆 $L$ 关于坐标轴对称，而函数 $xy$ 具有奇函数性质（关于 $x$ 或 $y$ 均为奇），由第一类曲线积分的性质可知，积分为 0。

结论：原式 = $36a$。

方法总结：

1. 代入方程：若被积函数含有曲线方程的部分，优先代入简化。
2. 观察对称性：第一类曲线积分中，奇函数在对称路径上的积分为 0。

---

难度: ⭐⭐
考点: #第一类曲线积分 #对称性

💡 学习锦囊

思路分析

看到“周长为 a”这个条件，就要警惕是否需要直接利用周长定义来消掉积分号。

🔄 举一反三

1. 计算 $\int_L (x+y) ds$，其中 $L$ 为连接 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 的直线段。
   查看练习答案与解析

   答案：$\sqrt{2}$解析：$L: y=x, 0 \leq x \leq 1$，$ds = \sqrt{1+1}dx = \sqrt{2}dx$。$\int_L (x+y)ds = \int_0^1 2x \cdot \sqrt{2}dx = \sqrt{2}$。

三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分）

1. 求微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x}$ 的通解。

查看答案与解析

答案：$\sin \frac{y}{x} = Cx$

解析： 本题考查一阶齐次微分方程的解法。

第一步：变量替换 由于方程右端是 $\frac{y}{x}$ 的函数，这是一个齐次方程。 令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$。 对 $x$ 求导得：$\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$。

第二步：代入原方程并简化 将变换式代入原方程：

$$u + x \frac{du}{dx} = u + \tan u$$

消去 $u$ 得：

$$x \frac{du}{dx} = \tan u$$

第三步：分离变量并积分 将方程变形为：

$$\frac{1}{\tan u} du = \frac{1}{x} dx \Rightarrow \cot u du = \frac{1}{x} dx$$

两边同时积分：

$$\int \cot u du = \int \frac{1}{x} dx \Rightarrow \ln |\sin u| = \ln |x| + \ln |C|$$

取指数得：

$$\sin u = Cx$$

第四步：还原变量 将 $u = \frac{y}{x}$ 代回，得通解为：

$$\sin \frac{y}{x} = Cx$$

方法总结：

1. 识别类型：形如 $y' = f(y/x)$ 的方程为齐次方程。
2. 换元：令 $u = y/x$，转化为可分离变量方程。
3. 还原：最后务必将 $u$ 还原回 $y/x$。

---

难度: ⭐
考点: #一阶齐次微分方程 #变量替换法

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 齐次方程标准形：$y' = f(\frac{y}{x})$
• 变量替换：令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y' = u + xu'$

思路分析

看到 $\frac{y}{x}$ 和 $\tan\frac{y}{x}$ 的组合，立即识别为齐次方程，用 $u = y/x$ 换元。

🔄 举一反三

1. 求微分方程 $y' = \frac{x+y}{x-y}$ 的通解。
   查看练习答案与解析

   答案：$\arctan \frac{y}{x} = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) + C$解析：

   1. 令 $y = ux \Rightarrow y' = u + xu'$。
   2. $u + xu' = \frac{1+u}{1-u} \Rightarrow xu' = \frac{1+u^2}{1-u}$。
   3. 分离变量：$\frac{1-u}{1+u^2} du = \frac{1}{x} dx$。
   4. 积分得：$\arctan u - \frac{1}{2}\ln(1+u^2) = \ln |x| + C'$。
   5. 还原得：$\arctan \frac{y}{x} = \ln \sqrt{x^2+y^2} + C$。

2. 求通过直线 $L: \begin{cases} 3x - 2y + 2 = 0 \\ x - 2y - z + 6 = 0 \end{cases}$ 且与点 $(1, 2, 1)$ 的距离为 1 的平面方程。

查看答案与解析

答案：$x + 2y + 2z - 10 = 0$ 或 $4y + 3z - 16 = 0$

解析： 本题考查平面束方程的应用及点到平面的距离公式。

第一步：设出平面束方程 通过已知直线 $L$ 的所有平面（除第二个平面本身外）可表示为：

$$(3x - 2y + 2) + \lambda(x - 2y - z + 6) = 0$$

整理项：

$$(3 + \lambda)x - (2 + 2\lambda)y - \lambda z + (2 + 6\lambda) = 0$$

第二步：利用距离条件求解 $\lambda$ 点 $(1, 2, 1)$ 到平面的距离 $d = 1$，由点到平面距离公式：

$$d = \frac{|(3 + \lambda)(1) - (2 + 2\lambda)(2) - \lambda(1) + (2 + 6\lambda)|}{\sqrt{(3 + \lambda)^2 + (2 + 2\lambda)^2 + (-\lambda)^2}} = 1$$

分子化简：$|3 + \lambda - 4 - 4\lambda - \lambda + 2 + 6\lambda| = |2\lambda + 1|$。 分母化简：$\sqrt{(3+\lambda)^2 + 4(1+\lambda)^2 + \lambda^2} = \sqrt{6\lambda^2 + 14\lambda + 13}$。 两边平方：

$$(2\lambda + 1)^2 = 6\lambda^2 + 14\lambda + 13 \Rightarrow 4\lambda^2 + 4\lambda + 1 = 6\lambda^2 + 14\lambda + 13$$

整理得：$2\lambda^2 + 10\lambda + 12 = 0 \Rightarrow \lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0$。 解得 $\lambda_1 = -2, \lambda_2 = -3$。

第三步：写出对应的平面方程

1. 当 $\lambda = -2$ 时：$(3-2)x - (2-4)y + 2z + (2-12) = 0 \Rightarrow x + 2y + 2z - 10 = 0$。
2. 当 $\lambda = -3$ 时：$(3-3)x - (2-6)y + 3z + (2-18) = 0 \Rightarrow 4y + 3z - 16 = 0$。

方法总结：

1. 平面束法：已知直线方程 $\begin{cases} \Pi_1=0 \\ \Pi_2=0 \end{cases}$，过该直线的平面设为 $\Pi_1 + \lambda \Pi_2 = 0$。
2. 几何约束：代入距离、夹角等几何条件解出待定系数 $\lambda$。

---

难度: ⭐⭐
考点: #平面束 #点到平面距离

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 平面束：过直线 $\begin{cases} \Pi_1=0 \\ \Pi_2=0 \end{cases}$ 的平面为 $\Pi_1 + \lambda \Pi_2 = 0$
• 点到平面距离：$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

思路分析

已知直线求过该直线的平面，用平面束法设出含参平面，再利用几何条件（距离）解出参数。

🔄 举一反三

1. 求过直线 $\begin{cases} x + y - z = 0 \\ x - y + z = 0 \end{cases}$ 且与平面 $x + y + z = 1$ 垂直的平面方程。
   查看练习答案与解析

   答案：$x - y + z = 0$解析：设平面束 $(x+y-z) + \lambda(x-y+z) = 0$，法向量 $(1+\lambda, 1-\lambda, -1+\lambda)$ 与 $(1,1,1)$ 垂直，点积为 0 得 $\lambda = -1$，代入得 $2y - 2z = 0$ 即 $y = z$。

3. 已知 $z = f(xy, x + y) + g\left(\frac{y}{x}\right)$，$f, g$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

查看答案与解析

答案：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = xy f_{11} + (x+y) f_{12} + f_{22} + f_1 - \frac{1}{x^2} g^{\prime} - \frac{y}{x^3} g^{\prime\prime}$

解析： 本题考查多元复合函数的二阶偏导数计算，需严格遵守链式法则。

第一步：求一阶偏导 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 令 $u = xy, v = x+y, w = \frac{y}{x}$。

$$\frac{\partial z}{\partial x} = f_1 \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_2 \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + g^{\prime}(w) \cdot \frac{\partial w}{\partial x}$$

$$\frac{\partial z}{\partial x} = f_1 \cdot y + f_2 \cdot 1 + g^{\prime} \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right) = y f_1 + f_2 - \frac{y}{x^2} g^{\prime}$$

第二步：求二阶混合偏导 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 再关于 $y$ 求导：

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y f_1) + \frac{\partial f_2}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{x^2} g^{\prime} \right)$$

1. $\frac{\partial}{\partial y}(y f_1) = 1 \cdot f_1 + y \cdot \frac{\partial f_1}{\partial y} = f_1 + y (f_{11} x + f_{12} 1) = f_1 + xy f_{11} + y f_{12}$。
2. $\frac{\partial f_2}{\partial y} = f_{21} \cdot x + f_{22} \cdot 1 = x f_{12} + f_{22}$（因 $f_{12} = f_{21}$）。
3. $\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{x^2} g^{\prime} \right) = \frac{1}{x^2} g^{\prime} + \frac{y}{x^2} g^{\prime\prime} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} g^{\prime} + \frac{y}{x^3} g^{\prime\prime}$。

第三步：合并各项

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = (f_1 + xy f_{11} + y f_{12}) + (x f_{12} + f_{22}) - \left( \frac{1}{x^2} g^{\prime} + \frac{y}{x^3} g^{\prime\prime} \right)$$

整理得：

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = xy f_{11} + (x+y) f_{12} + f_{22} + f_1 - \frac{1}{x^2} g^{\prime} - \frac{y}{x^3} g^{\prime\prime}$$

方法总结：

1. 链式展开：对每一层复合函数分别求导，不漏掉中间变量。
2. 注意阶数：一阶导数结果中若仍含复合项，求二阶导时需再次运用链式法则。
3. 算子顺序：混合偏导在二阶连续偏导条件下与求导顺序无关。

---

难度: ⭐⭐⭐
考点: #链式法则 #二阶偏导数

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 链式法则：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
• 混合偏导在连续条件下与求导顺序无关：$f_{12} = f_{21}$

思路分析

抽象复合函数求偏导，先设中间变量，用链式法则逐层展开。求二阶导时注意一阶导结果中仍含复合项。

🔄 举一反三

1. 设 $z = f(x^2 + y^2)$，$f$ 二阶可导，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。
   查看练习答案与解析

   答案：$4xy f''(x^2+y^2)$解析：$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x f'$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 2x \cdot f'' \cdot 2y = 4xy f''$。

4. 计算 $\oint_{L} (e^{x} \sin y - my) dx + (e^{x} \cos y - m) dy$，其中 $L$ 为从点 $(a, 0)$ 到点 $(0, 0)$ 的上半圆周 $x^{2} + y^{2} = ax, y \geq 0$。

查看答案与解析

答案：$\frac{m \pi a^2}{8}$

解析： 本题考查格林公式在曲线积分中的应用，特别是非闭合曲线的补全技巧。

第一步：补全曲线使之封闭 已知路径 $L$ 是圆心在 $(a/2, 0)$、半径为 $a/2$ 的上半圆周，方向从 $(a, 0)$ 到 $(0, 0)$。 为了使用格林公式，我们添加一条从 $(0, 0)$ 到 $(a, 0)$ 的直线段 $L_1$（沿 $x$ 轴）。 此时，$L + L_1$ 围成了一个闭合区域 $D$（半圆），且方向为逆时针方向。

第二步：利用格林公式计算闭合曲线积分 设 $P = e^{x} \sin y - my, Q = e^{x} \cos y - m$。 计算偏导数： $\frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y$$\frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - m$ 由格林公式：

$$\oint_{L+L_1} P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA = \iint_D m dA$$

由于 $D$ 是半径为 $a/2$ 的半圆，面积为 $\frac{1}{2} \pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{\pi a^2}{8}$。 故 $\oint_{L+L_1} = m \cdot \frac{\pi a^2}{8}$。

第三步：计算辅助线段 $L_1$ 上的积分 在 $L_1$ 上，$y = 0 \Rightarrow dy = 0$。 代入积分式：

$$\int_{L_1} (e^x \sin 0 - m \cdot 0) dx + 0 = \int_0^a 0 dx = 0$$

第四步：得出原积分结果

$$\int_L = \oint_{L+L_1} - \int_{L_1} = \frac{m \pi a^2}{8} - 0 = \frac{m \pi a^2}{8}$$

方法总结：

1. 补全路径：非闭合曲线优先考虑通过直线补全为闭合路径。
2. 格林公式：计算 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$，简化为二重积分。
3. 剔除辅助线：减去补全部分的积分值。

---

难度: ⭐⭐⭐
考点: #格林公式 #补齐路径

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 格林公式：$\oint_L Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dA$
• 非闭合曲线需补全路径后再减去辅助线积分

思路分析

非闭合曲线积分优先考虑补全为闭合路径，用格林公式转化为二重积分，再减去辅助线积分。

🔄 举一反三

1. 计算 $\oint_L y^2 dx + x^2 dy$，其中 $L$ 为圆周 $x^2 + y^2 = a^2$ 的逆时针方向。
   查看练习答案与解析

   答案：0 解析：

   1. 利用格林公式：$\iint_D (\frac{\partial(x^2)}{\partial x} - \frac{\partial(y^2)}{\partial y}) dA = \iint_D (2x - 2y) dA$。
   2. 区域 $D$ 是关于原点对称的圆盘。
   3. 由于被积函数 $2x$ 和 $-2y$ 均为关于坐标轴对称的奇函数，在对称区域上的积分为 0。

5. 计算 $\iint_{\Sigma} \sqrt{1 + x^2 + y^2} dS$，其中 $\Sigma$ 是 $z = xy$ 被 $x^2 + y^2 \leq R^2$ 所截在第一卦限中的部分。

查看答案与解析

答案：$\frac{\pi R^2(2 + R^2)}{8}$

解析： 本题考查第一类曲面积分的计算，重点在于面积元素的转化。

第一步：确定面积元素 $dS$ 曲面方程为 $z = xy$，其一阶偏导数为 $z_x = y, z_y = x$。 根据公式 $dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dA$：

$$dS = \sqrt{1 + y^2 + x^2} dxdy$$

第二步：代入积分式并确定投影区域 $D$

$$\iint_\Sigma \sqrt{1 + x^2 + y^2} dS = \iint_D \sqrt{1 + x^2 + y^2} \cdot \sqrt{1 + x^2 + y^2} dxdy = \iint_D (1 + x^2 + y^2) dxdy$$

其中投影区域 $D$ 是 $x^2 + y^2 \leq R^2$ 在第一象限的部分。

第三步：利用极坐标计算二重积分 令 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，则 $D = \{0 \leq r \leq R, 0 \leq \theta \leq \pi/2\}$。

$$I = \int_0^{\pi/2} d\theta \int_0^R (1 + r^2) r dr = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{2}r^2 + \frac{1}{4}r^4 \right]_0^R = \frac{\pi}{2} \left( \frac{R^2}{2} + \frac{R^4}{4} \right)$$

整理得：$I = \frac{\pi (2R^2 + R^4)}{8} = \frac{\pi R^2(2 + R^2)}{8}$。

方法总结：

1. 投影法：将曲面积分转化为投影面上的二重积分。
2. dS 换元：牢记 $dS$ 与 $dxdy$ 的比例系数 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$。
3. 坐标选择：圆域投影优先使用极坐标。

---

难度: ⭐⭐
考点: #第一类曲面积分 #极坐标

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 第一类曲面积分：$\iint_\Sigma f(x,y,z) dS = \iint_D f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} dxdy$
• 面积元素：$dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} dxdy$

思路分析

将曲面积分投影到 $xy$ 平面，$dS$ 与 $dxdy$ 的转换系数恰好与被积函数中的根号抵消，简化计算。

🔄 举一反三

1. 计算 $\iint_\Sigma z dS$，其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$。
   查看练习答案与解析

   答案：$\pi a^3$解析：$dS = \frac{a}{z} dxdy$，$\iint_\Sigma z dS = \iint_D a dxdy = a \cdot \pi a^2 = \pi a^3$。

6. 计算 $\iint_{\Sigma} (x^3 + y) dy dz + (y^3 - z) dz dx + 2(x + y) dx dy$，其中曲面 $\Sigma$ 为圆锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ ($0 \leq z \leq 1$) 的下侧。

查看答案与解析

答案：$\frac{3\pi}{10}$

解析： 本题考查第二类曲面积分的计算，使用高斯公式是最高效的方法。

第一步：补全曲面使之封闭 曲面 $\Sigma$ 是圆锥侧面。补上顶面 $\Sigma_1: z = 1$ ($x^2 + y^2 \leq 1$)。 设定 $\Sigma_1$ 取上侧（向外），已知 $\Sigma$ 取下侧（也是向外）。 此时 $\Sigma + \Sigma_1$ 围成了闭合区域 $\Omega$。

第二步：利用高斯公式计算闭合曲面积分 设 $P = x^3 + y, Q = y^3 - z, R = 2(x + y)$。

$$\oint_{\Sigma+\Sigma_1} P dydz + Q dzdx + R dxdy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$$

计算散度：$\text{div} \vec{F} = 3x^2 + 3y^2 + 0 = 3(x^2 + y^2)$。 利用柱坐标计算三重积分：

$$I_{total} = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 dz \int_0^z 3r^2 \cdot r dr = 2\pi \int_0^1 \frac{3}{4}z^4 dz = 2\pi \cdot \frac{3}{20} = \frac{3\pi}{10}$$

第三步：计算辅助面 $\Sigma_1$ 上的积分 在 $\Sigma_1$ 上，$z = 1 \Rightarrow dz = 0$。因此 $dydz = 0, dzdx = 0$。

$$\iint_{\Sigma_1} 2(x + y) dxdy = 2 \iint_{x^2+y^2 \leq 1} (x + y) dxdy$$

由于积分区域关于原点对称，被积函数 $x+y$ 是奇函数，故积分为 0。

第四步：得出结论

$$\iint_\Sigma = I_{total} - \iint_{\Sigma_1} = \frac{3\pi}{10} - 0 = \frac{3\pi}{10}$$

方法总结：

1. 高斯公式：封闭曲面上的第二类曲面积分优先考虑散度计算。
2. 方向判断：注意曲面的“内侧”或“下侧”对应的法向量方向，确保符合高斯公式的要求。
3. 奇偶抵消：平面部分的积分经常可以通过对称性直接判定为 0。

---

难度: ⭐⭐⭐
考点: #高斯公式 #补齐曲面 #第二类曲面积分

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 高斯公式：$\oiint_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) dV$
• 非封闭曲面需补全后再减去辅助面积分

思路分析

第二类曲面积分优先考虑高斯公式。非封闭曲面补上顶面使之封闭，计算散度的三重积分，再减去辅助面积分。

🔄 举一反三

1. 计算 $\iint_\Sigma x dydz + y dzdx + z dxdy$，其中 $\Sigma$ 为上半球面 $x^2+y^2+z^2=a^2, z \geq 0$ 的上侧。
   查看练习答案与解析

   答案：$\frac{2}{3}\pi a^3$解析：补底面 $\Sigma_1: z=0$（下侧），散度 $=3$，$\iiint_\Omega 3 dV = 3 \cdot \frac{2}{3}\pi a^3 = 2\pi a^3$。底面 $\iint_{\Sigma_1} z dxdy = 0$，故结果为 $2\pi a^3$。

7. 将函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 6}$ 展开为 $(x - 1)$ 的幂级数。

查看答案与解析

答案：$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5} \left[ -\frac{1}{2^{n+1}} - \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} \right] (x - 1)^n$

解析： 本题考查函数的幂级数展开，重点是部分分式分解与变量平移。

第一步：部分分式分解

$$f(x) = \frac{1}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 2} \right)$$

第二步：凑出 $(x - 1)$ 形式 令 $t = x - 1$，则 $x = t + 1$。

1. 处理 $\frac{1}{x - 3}$：
   $$\frac{1}{x - 3} = \frac{1}{(t + 1) - 3} = \frac{1}{t - 2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - t/2} = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{t}{2} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{2^{n+1}} t^n$$
2. 处理 $\frac{1}{x + 2}$：
   $$\frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(t + 1) + 2} = \frac{1}{t + 3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + t/3} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{t}{3} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} t^n$$

第三步：合并结果并还原变量

$$f(x) = \frac{1}{5} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{2^{n+1}} t^n - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} t^n \right]$$

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5} \left[ -\frac{1}{2^{n+1}} - \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} \right] (x - 1)^n$$

方法总结：

1. 分解：分式函数优先进行部分分式分解。
2. 换元：展开为 $(x-x_0)$ 的级数，令 $t = x-x_0$ 简化计算。
3. 套用公式：利用 $\frac{1}{1-u} = \sum u^n$ 的标准展开式。

---

难度: ⭐⭐
考点: #幂级数展开 #部分分式

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 标准展开：$\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$（$|u|<1$）
• 部分分式分解：将有理分式拆分为简单分式之和

思路分析

展开为 $(x-x_0)$ 的幂级数，先令 $t = x-x_0$ 平移变量，再通过部分分式分解和等比级数公式展开。

🔄 举一反三

1. 将 $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$ 展开为 $x$ 的幂级数。
   查看练习答案与解析

   答案：$\sum_{n=0}^{\infty} (1 - \frac{1}{2^{n+1}}) x^n$（$|x|<1$） 解析：$f(x) = \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2-x} = \sum x^n - \frac{1}{2}\sum (\frac{x}{2})^n$。

四、综合题（本大题共 2 小题，共 15 分）

1. 设立体 $\Omega$ 由曲面 $z = -(1 + x^2 + y^2)$ 及平面 $z = -2x - 1$ 所围成，求体积 $V$。（8 分）

查看答案与解析

答案：$\frac{\pi}{2}$

解析： 本题考查利用二重积分计算空间立体的体积，关键在于确定投影区域。

第一步：确定投影区域 $D$ 通过联立两个曲面方程来确定它们的交线：

$$-(1 + x^2 + y^2) = -2x - 1 \Rightarrow 1 + x^2 + y^2 = 2x + 1$$

整理得：$x^2 - 2x + y^2 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 + y^2 = 1$。 由此可见，交线在 $xy$ 平面上的投影区域 $D$ 是以 $(1, 0)$ 为圆心、1 为半径的圆盘。

第二步：确定体积的二重积分表达式 在区域 $D$ 内，抛物面 $z_1 = -(1 + x^2 + y^2)$ 位于平面 $z_2 = -2x - 1$ 的上方（代入圆心 $(1, 0)$ 可证：$z_1 = -2, z_2 = -3$）。 体积 $V = \iint_D [z_1(x, y) - z_2(x, y)] dA$：

$$V = \iint_D [-(1 + x^2 + y^2) - (-2x - 1)] dA = \iint_D (2x - x^2 - y^2) dA$$

第三步：计算二重积分 利用配方法简化被积函数：$2x - x^2 - y^2 = 1 - (x^2 - 2x + 1 + y^2) = 1 - [(x - 1)^2 + y^2]$。 令 $u = x - 1, v = y$，则积分区域变为单位圆盘 $u^2 + v^2 \leq 1$。 利用极坐标：

$$V = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (1 - r^2) r dr = 2\pi \left[ \frac{1}{2}r^2 - \frac{1}{4}r^4 \right]_0^1 = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$$

方法总结：

1. 求交线：联立方程确定投影区域。
2. 定上下：判断哪个面在上，列出 $z_{top} - z_{bottom}$。
3. 坐标变换：根据区域形状（如偏心圆）选择平移或极坐标变换。

---

难度: ⭐⭐⭐
考点: #二重积分求体积 #空间图形交线

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 体积公式：$V = \iint_D [z_{top}(x,y) - z_{bottom}(x,y)] dA$
• 投影区域由两曲面交线在 $xy$ 平面的投影确定

思路分析

求体积先联立方程确定投影区域，再判断上下曲面，最后用二重积分（极坐标）计算。

🔄 举一反三

1. 设立体由 $z = x^2 + y^2$ 与 $z = 1$ 围成，求体积。
   查看练习答案与解析

   答案：$\frac{\pi}{2}$解析：

   1. 投影区域 $D$ 为 $x^2 + y^2 \leq 1$。
   2. $V = \iint_D (z_{top} - z_{bottom}) dA = \iint_D (1 - (x^2+y^2)) dA$。
   3. 极坐标计算：$\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (1-r^2)r dr = 2\pi [\frac{1}{2}r^2 - \frac{1}{4}r^4]_0^1 = \frac{\pi}{2}$。

2. 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n 2^n}$ 的和函数。（7 分）

查看答案与解析

答案：$S(x) = \ln \frac{2}{2 - x}, x \in [-2, 2)$

解析： 本题考查幂级数求和函数，通常采用逐项求导或逐项积分法。

第一步：确定收敛域 一般项 $u_n(x) = \frac{1}{n} (\frac{x}{2})^n$。 利用比值判别法或观察法可知，该级数收敛半径 $R = 2$。

• 当 $x = -2$ 时，级数为 $\sum \frac{(-1)^n}{n}$，收敛。
• 当 $x = 2$ 时，级数为 $\sum \frac{1}{n}$，发散。 故收敛域为 $[-2, 2)$。

第二步：利用求导积分法求和 设和函数为 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} (\frac{x}{2})^n$。 对 $x$ 求导：

$$S^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} (\frac{x}{2})^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot n (\frac{x}{2})^{n-1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{x}{2})^{n-1}$$

这是一个首项为 $1/2$、公比为 $x/2$ 的等比级数（在收敛区间 $|x|<2$ 内）：

$$S^{\prime}(x) = \frac{1/2}{1 - x/2} = \frac{1}{2 - x}$$

第三步：还原和函数 由于 $S(0) = 0$，通过对导函数积分还原：

$$S(x) = \int_0^x S^{\prime}(t) dt = \int_0^x \frac{1}{2 - t} dt = [-\ln(2 - t)]_0^x = \ln 2 - \ln(2 - x) = \ln \frac{2}{2 - x}$$

方法总结：

1. 收敛域：先定收敛范围。
2. 变换：若分母含有 $n$，通常求导消去 $n$ 转化为等比级数。
3. 还原：求导后的结果需再积分，注意初始值（通常 $S(0)$）。

---

难度: ⭐⭐
考点: #幂级数和函数 #逐项求导积分

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 逐项求导法：分母含 $n$ 时求导消去 $n$，化为等比级数
• 逐项积分法：分子含 $n$ 时积分消去 $n$

思路分析

分母有 $n$，先求导消去 $n$ 得等比级数求和，再积分还原。注意利用 $S(0)$ 确定积分常数。

🔄 举一反三

1. 求 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ 的和函数。
   查看练习答案与解析

   答案：$\frac{1}{(1-x)^2}$（$|x|<1$） 解析：$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{d}{dx}(\sum_{n=0}^{\infty} x^n) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{1-x}) = \frac{1}{(1-x)^2}$。

五、证明题（本大题共 13 分）

1. 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内具有连续导数，$L$ 是上半平面内的有向光滑曲线，其起点为 $A(a, b)$，终点为 $B(c, d)$。又设曲线积分
   $$I = \int_L \frac{1}{y} [1 + y^2 f(xy)] dx + \frac{x}{y^2} [y^2 f(xy) - 1] dy$$
   (1) 证明 $I$ 与路径 $L$ 无关； (2) 当 $ab = cd$ 时，证明 $I = \frac{c}{d} - \frac{a}{b}$。（7 分）

查看答案与解析

解析：证明 (1)： 设 $P(x, y) = \frac{1}{y} + y f(xy), Q(x, y) = x f(xy) - \frac{x}{y^2}$。 在上半平面 $y > 0$ 内，$P, Q$ 具有连续偏导数。 计算交叉偏导：

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = f(xy) + x f^{\prime}(xy) y - \frac{1}{y^2}$$

$$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{y^2} + f(xy) + y f^{\prime}(xy) x$$

可见 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。 根据等价条件，积分 $I$ 在上半平面内与路径 $L$ 无关。

证明 (2)： 由于积分与路径无关，必存在原函数 $U(x, y)$ 使得 $dU = Pdx + Qdy$。 利用偏积分法求原函数：

$$U(x, y) = \int P dx = \int (\frac{1}{y} + y f(xy)) dx = \frac{x}{y} + F(xy) + C(y)$$

其中 $F(u)$ 为 $f(u)$ 的原函数。 对 $y$ 求导对照 $Q$：

$$\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} + x f(xy) + C^{\prime}(y) = Q \Rightarrow C^{\prime}(y) = 0$$

取 $C(y) = 0$，则 $U(x, y) = \frac{x}{y} + F(xy)$。 则积分 $I = U(c, d) - U(a, b) = (\frac{c}{d} + F(cd)) - (\frac{a}{b} + F(ab))$。 若 $ab = cd$，则 $F(ab) = F(cd)$。 故 $I = \frac{c}{d} - \frac{a}{b}$。证毕。

方法总结：

1. 无关性证明：验证 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。
2. 计算方法：路径无关积分通常采用原函数法（势函数法）计算。

---

难度: ⭐⭐⭐
考点: #路径无关 #原函数

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 路径无关等价条件：$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$
• 原函数法：$I = U(B) - U(A)$，其中 $dU = Pdx + Qdy$

思路分析

证明路径无关只需验证 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。计算积分值用原函数法，求 $U(x,y)$ 使 $dU = Pdx + Qdy$。

🔄 举一反三

1. 验证 $\int_L (2xy dx + x^2 dy)$ 与路径无关，并求从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的积分值。
   查看练习答案与解析

   答案：$1$解析：$P=2xy, Q=x^2$，$\frac{\partial Q}{\partial x}=2x=\frac{\partial P}{\partial y}$，与路径无关。$U=x^2y$，$I=U(1,1)-U(0,0)=1$。

2. 设 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^3}{y} & y \neq 0 \\ 0 & y = 0 \end{cases}$，证明 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处沿任何方向的方向导数存在，但 $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 不连续。（6 分）

查看答案与解析

解析：第一步：证明各方向方向导数存在 设方向 $l$ 的单位向量为 $(\cos\theta, \sin\theta)$。由定义：

$$\frac{\partial f(0, 0)}{\partial l} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - f(0, 0)}{t}$$

1. 若 $\sin\theta \neq 0$：
   $$\frac{\partial f(0, 0)}{\partial l} = \lim_{t \to 0^+} \frac{(t\cos\theta)^3 / (t\sin\theta)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{t^2 \cos^3\theta}{\sin\theta} = 0$$
2. 若 $\sin\theta = 0$（即沿 $x$ 轴方向）：
   $$\frac{\partial f(0, 0)}{\partial l} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(\pm t, 0) - 0}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{0}{t} = 0$$

综上，函数在该点沿任何方向的方向导数均存在且为 0。

第二步：证明不连续性 考查路径 $(x, y) \to (0, 0)$。 令 $y = x^3$，$x \to 0$。 则 $f(x, x^3) = \frac{x^3}{x^3} = 1$。 而 $f(0, 0) = 0$。 由于沿不同路径趋近于原点时极限不一致（或不等于函数值），故 $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 处不连续。

方法总结：

1. 方向导数：严格按定义 $\lim_{t \to 0^+} \frac{\Delta f}{t}$ 计算。
2. 不连续性：寻找特殊路径（如 $y=x^k$）使得极限值不等于函数值。

---

难度: ⭐⭐⭐
考点: #方向导数 #连续性

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 方向导数定义：$\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(x_0+t\cos\theta, y_0+t\sin\theta) - f(x_0,y_0)}{t}$
• 方向导数存在不能推出连续，这是多元函数与一元函数的重要区别

思路分析

按定义计算各方向的方向导数。证明不连续只需找一条路径使极限不等于函数值。

🔄 举一反三

1. 讨论 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}$ 在 $(0,0)$ 处的方向导数的存在性与连续性。
   查看练习答案与解析

   解析：沿方向 $(\cos\theta,\sin\theta)$，$\lim_{t\to 0} \frac{t^2\cos\theta\sin\theta}{t^2 \cdot t} = \frac{\cos\theta\sin\theta}{t} \to \infty$（$\sin\theta\cos\theta \neq 0$），方向导数不存在。沿 $y=kx$ 极限为 $\frac{k}{1+k^2}$，不连续。