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《高等数学》第一学期期末试卷A(精选01)
一、选择题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）
- 设函数 $f(x) = \begin{cases} 1, & |x| < 1 \\ 0, & |x| = 1 \\ -1, & |x| > 1 \end{cases}$，则 $f(f(1)) = (\quad)$
- A. 0
- B. 1
- C. -1
- D. $e$
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答案： B
解析：
- 分析内层函数值：根据分段函数 $f(x)$ 的定义，当 $x=1$ 时，对应条件 $|x|=1$，故 $f(1) = 0$。
- 分析外层函数值：将内层结果代入得 $f(f(1)) = f(0)$。
- 最终求解：对于 $f(0)$，自变量 $0$ 满足 $|0| < 1$，对应函数值为 $1$。 故 $f(f(1)) = 1$。
难度: ⭐
考点: #分段函数 #复合函数
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📖 相关公式/知识点:
- 复合函数求值：按照“由内向外”的顺序依次代入计算。
- 分段函数：必须严格核对自变量所在的区间，选择对应的解析式。
思路分析
遇到这种嵌套的函数求值题，切记不要慌张。先求最里面的 $f(1)$，算出得数后再作为自变量去求外面的 $f$。
🔄 举一反三
- 设 $g(x) = \begin{cases} x+1, & x \ge 0 \\ x-1, & x < 0 \end{cases}$，求 $g(g(-1))$。
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答案：-3解析：
- 内层：$x = -1 < 0$，则 $g(-1) = -1 - 1 = -2$。
- 外层：将 $-2$ 代入，$g(-2) = -2 - 1 = -3$。
- 若 $\lim_{x\to 0}\frac{k\sin{2x}}{x} = 4,$ 则 $k = (\quad)$
- A. 1
- B. 2
- C. $\frac{1}{2}$
- D. $\frac{1}{4}$
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答案： B
解析：
- 等价替换：当 $x \to 0$ 时，$\sin 2x \sim 2x$。
- 代入极限式：$\lim_{x\to 0}\frac{k\sin{2x}}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{k \cdot 2x}{x}$。
- 消去变量：分子分母同时约去 $x$，得 $\lim_{x\to 0} 2k = 2k$。
- 求解 $k$：由题意 $2k = 4$，解得 $k = 2$。
难度: ⭐
考点: #极限 #等价无穷小
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📖 相关知识点:
- 重要等价无穷小：当 $u \to 0$ 时，$\sin u \sim u$。
- 极限运算法则：常数可以提到极限符号外面。
思路分析
看到 $\sin(\text{项})/(\text{项})$ 在趋近于 0 时的极限，第一反应应是等价无穷小替换。注意 $\sin 2x$ 替换的是 $2x$ 而非 $x$。
🔄 举一反三
- 若 $\lim_{x\to 0} \frac{\tan ax}{x} = 3$，求 $a$ 的值。
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答案：a=3解析：当 $x \to 0$ 时，$\tan ax \sim ax$。故极限为 $\lim_{x\to 0} \frac{ax}{x} = a = 3$。
- 下列等式成立的是（$\quad$）
- A. $\frac{1}{\sqrt{x}} dx = d(\sqrt{x} + c)$
- B. $\ln x dx = d\left(\frac{1}{x} + c\right)$
- C. $e^{-x} dx = d(e^{-x} + c)$
- D. $-\sin x dx = d(\cos x + c)$
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答案： D
解析： 逐项验证微分公式 $d(F(x)) = F'(x)dx$：
- A项：$d(\sqrt{x}+c) = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$。少了系数 $1/2$，不成立。
- B项：$d(\frac{1}{x}+c) = -\frac{1}{x^2}dx$。明显与 $\ln x dx$ 不同，不成立。
- C项：$d(e^{-x}+c) = -e^{-x}dx$。漏了负号，不成立。
- D项：$d(\cos x + c) = -\sin x dx$。符号与导数公式完全吻合，成立。
难度: ⭐
考点: #微分 #导数公式
💡 学习锦囊
📖 相关公式:
- $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(e^u)' = e^u \cdot u'$
思路分析
这道题考查的是对微分概念的理解及其与导数的关系。记住 $dy = y'dx$，直接对括号里的内容求导看是否等于 $dx$ 前面的部分即可。
🔄 举一反三
- $x e^{x^2} dx$ 等于以下哪个微分？ A. $d(e^{x^2})$ B. $d(\frac{1}{2} e^{x^2})$
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答案：B解析：$d(\frac{1}{2} e^{x^2}) = \frac{1}{2} e^{x^2} \cdot (x^2)' dx = \frac{1}{2} e^{x^2} \cdot 2x dx = x e^{x^2} dx$，与题目给出的微分式一致。
- 函数 $y = \ln x$ 及其图形在 $(1, +\infty)$ 上是（$\quad$）
- A. 单调增加且是凸的
- B. 单调增加且是凹的
- C. 单调减少且是凸的
- D. 单调减少且是凹的
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答案： A
解析：
- 单调性判定：求一阶导数 $y' = \frac{1}{x}$。在区间 $(1, +\infty)$ 上，$y' > 0$，因此函数单调增加。
- 凹凸性判定：求二阶导数 $y'' = -\frac{1}{x^2}$。在区间 $(1, +\infty)$ 上，$y'' < 0$。根据国内主流教材定义，$y'' < 0$ 对应图形为凸（Convex/Concave Down）。 综上，选 A。
难度: ⭐
考点: #单调性 #凹凸性
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📖 相关知识点:
- $y' > 0 \implies$ 增；$y' < 0 \implies$ 减。
- $y'' > 0 \implies$ 凹（开口向上）；$y'' < 0 \implies$ 凸（开口向下）。
思路分析
判断图形特征的标准流程：先导看增减，再导看凹凸。注意不同教材对“凹凸”的定义可能存在微小差异，考试时以本校教材为准。
🔄 举一反三
- 函数 $y = x^2$ 在 $(0, +\infty)$ 上的特征是？
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答案：单调增加且是凹的解析：$y' = 2x > 0$，增；$y'' = 2 > 0$，凹。
- 不定积分 $I = \int e^{x}f^{\prime}(e^{x})dx = (\quad)$
- A. $f(x) + c$
- B. $f(e^{x}) + c$
- C. $e^{x}f(e^{x}) + c$
- D. $e^{x}f^{\prime}(e^{x}) + c$
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答案： B
解析：
- 观察结构：积分项中含有 $e^x$ 及其导数 $e^x$。
- 凑微分：注意到 $e^x dx = d(e^x)$。
- 变量代换：原式 $= \int f'(e^x) d(e^x)$。
- 求原函数：令 $u = e^x$，则 $\int f'(u) du = f(u) + C = f(e^x) + C$。
难度: ⭐⭐
考点: #不定积分 #换元积分法
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📖 相关公式:
- 第一换元法（凑微分法）：$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(g(x))d(g(x))$。
思路分析
看到复杂的复合函数积分，寻找“函数与其导数同在”的结构。本题中 $e^x$ 既在括号里，其导数也在外面乘着，是标准的凑微分模型。
🔄 举一反三
- 计算 $\int \frac{1}{x} \cos(\ln x) dx$。
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答案：$\sin(\ln x) + C$解析：注意到 $\frac{1}{x}dx = d(\ln x)$，则原式 $= \int \cos(\ln x) d(\ln x) = \sin(\ln x) + C$。
二、填空题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）
- 函数 $y = \sqrt{5 - x} + \lg (x - 1)$ 的定义域是 $\underline{\quad\quad}$
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答案： $(1, 5]$
解析：
- 根式约束：偶次根号下必须非负，即 $5 - x \ge 0 \implies x \le 5$。
- 对数约束：对数真数必须严格大于 0，即 $x - 1 > 0 \implies x > 1$。
- 求交集：同时满足 $x \le 5$ 且 $x > 1$，得出 $1 < x \le 5$。 写成区间形式为 $(1, 5]$。
难度: ⭐
考点: #定义域
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📖 常见定义域限制:
- 分式：分母 $\ne 0$。
- 根式：$\sqrt[2n]{u} \implies u \ge 0$。
- 对数：$\log_a u \implies u > 0$。
- 反三角：$\arcsin u, \arccos u \implies -1 \le u \le 1$。
思路分析
求复合定义域就是解不等式组。把每一部分的限制条件列出来，最后在数轴上画出它们的公共部分即可。
🔄 举一反三
- 求 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \ln(2-x)$ 的定义域。
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答案：(0, 2)解析：由 $\sqrt{x}$ 在分母知 $x > 0$；由 $\ln(2-x)$ 知 $2-x > 0 \implies x < 2$。交集为 $(0, 2)$。
- $\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = \underline{\quad\quad}$
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答案： $e^{-1}$（或 $1/e$）
解析：
- 识别类型：这是一个 $1^\infty$ 型极限。
- 变形结构：$\frac{x}{x+1} = \frac{(x+1)-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$。
- 利用重要极限：原式 $= \lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{-1}{x+1}\right)^x$。
- 配凑指数：指数位置需要 $-(x+1)$。 $= \lim_{x\to \infty} \left[ \left(1 + \frac{-1}{x+1}\right)^{-(x+1)} \right]^{\frac{x}{-(x+1)}}$
- 计算结果：中括号内趋向于 $e$，指数 $\frac{-x}{x+1}$ 趋向于 $-1$。故结果为 $e^{-1}$。
难度: ⭐⭐
考点: #极限 #重要极限
💡 学习锦囊
📖 相关公式:
- 重要极限：$\lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^u = e$。
- $1^\infty$ 型通用公式：$\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x)[f(x)-1]}$。
思路分析
对于 $1^\infty$ 型，最稳妥的方法是利用公式 $e^{\lim g(x)(f(x)-1)}$。本题中 $g=x, f=x/(x+1)$，$f-1 = -1/(x+1)$，直接计算 $x \cdot (-1/(x+1)) \to -1$ 即可秒杀。
🔄 举一反三
- 计算 $\lim_{x\to \infty} (\frac{x+2}{x})^x$。
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答案：$e^2$解析：原式 $= \lim (1 + 2/x)^x = e^{\lim x \cdot (2/x)} = e^2$。
- 设 $f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx, & x < 1 \\ 3, & x = 1 \\ 2a - bx, & x > 1 \end{cases}$ 在 $x = 1$ 连续，则 $a = \underline{\quad\quad}$，$b = \underline{\quad\quad}$。
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答案： $a=2, b=1$
解析：
- 连续定义：在 $x=1$ 连续要求 $\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^+} f(x) = f(1)$。
- 求左极限：$\lim_{x\to 1^-} (ax^2 + bx) = a + b$。
- 求右极限：$\lim_{x\to 1^+} (2a - bx) = 2a - b$。
- 列方程组：
- $a + b = 3$ (由左极限 = 函数值)
- $2a - b = 3$ (由右极限 = 函数值)
- 求解：两式相加得 $3a = 6 \implies a = 2$。代入得 $b = 1$。
难度: ⭐⭐
考点: #连续性
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📖 相关知识点:
- 函数在某点连续的充要条件是左右极限存在、相等且等于该点函数值。
思路分析
这种题目是分段函数的经典考法。看到“连续”二字，脑子里就要立刻跳出“左=右=值”这三个字，然后列方程组解出参数。
🔄 举一反三
- 若 $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x < 0 \\ k, & x \ge 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 连续，求 $k$。
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答案：k=1解析：$\lim_{x\to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1$。要连续则 $k = 1$。
- 设 $f^{\prime}(1) = 1$，则 $\lim_{h\to 0}\frac{h}{f(1 - h) - f(1)} = \underline{\quad\quad}$
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答案： -1
解析：
- 回顾导数定义：$f'(1) = \lim_{h\to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = 1$。
- 构造形式：题目求的是 $\lim_{h\to 0} \frac{h}{f(1-h) - f(1)}$。
- 代换变量：令 $\Delta x = -h$，则当 $h \to 0$ 时 $\Delta x \to 0$。
- 变形：原式可写为 $\lim_{\Delta x\to 0} \frac{-\Delta x}{f(1+\Delta x) - f(1)} = - \frac{1}{\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(1+\Delta x) - f(1)}{\Delta x}}$。
- 计算：分母部分正是 $f'(1)$，故结果为 $- \frac{1}{1} = -1$。
难度: ⭐⭐
考点: #导数定义
💡 学习锦囊
📖 相关公式:
- $f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$。
思路分析
看到 $\lim \frac{\Delta f}{\Delta x}$ 形式的极限，一定要往导数定义上靠。注意变量的符号（是 $h$ 还是 $-h$），确保分母的增量与函数括号内的增量完全一致。
🔄 举一反三
- 设 $f'(x_0) = a$，求 $\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+2h) - f(x_0)}{h}$。
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答案：2a解析：原式 $= 2 \cdot \lim_{2h\to 0} \frac{f(x_0+2h) - f(x_0)}{2h} = 2f'(x_0) = 2a$。
- $\int x^{2} \sqrt[3]{x} dx = \underline{\quad\quad}$
查看答案与解析
答案： $\frac{3}{10}x^{\frac{10}{3}} + C$
解析：
- 合并幂次：$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$，则 $x^2 \cdot \sqrt[3]{x} = x^2 \cdot x^{1/3} = x^{2 + 1/3} = x^{7/3}$。
- 套用公式：使用幂函数积分公式 $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$。
- 计算结果：$\int x^{7/3} dx = \frac{1}{7/3 + 1} x^{7/3 + 1} = \frac{1}{10/3} x^{10/3} = \frac{3}{10} x^{10/3} + C$。
难度: ⭐
考点: #不定积分 #基本积分公式
💡 学习锦囊
📖 相关公式:
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (针对 $n \ne -1$)。
思路分析
遇到各种根号和乘方的乘积积分，第一步永远是转化成单一的指数形式 $x^n$，然后套公式。别忘了加积分常数 $C$。
🔄 举一反三
- 计算 $\int \frac{1}{x \sqrt{x}} dx$。
查看练习答案与解析
答案：$-2x^{-1/2} + C$解析：原式 $= \int x^{-3/2} dx = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = -2x^{-1/2} + C$。
三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 7 分，共 49 分）
- $\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1 - x} - \frac{2}{1 - x^2}\right)$
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答案： $-1/2$
解析：
- 识别类型：这是一个 $\infty - \infty$ 型极限。
- 通分化简：注意到 $1-x^2 = (1-x)(1+x)$。 原式 $= \lim_{x\to 1} \frac{(1+x) - 2}{(1-x)(1+x)}$。
- 合并分子：分子为 $x - 1$。
- 消除零因子：原式 $= \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{-(x-1)(x+1)}$。
- 求限：约去 $(x-1)$ 得 $\lim_{x\to 1} \frac{-1}{x+1} = -\frac{1}{2}$。
难度: ⭐⭐
考点: #极限 #分式化简
💡 学习锦囊
📖 相关知识点:
- 处理 $\infty - \infty$ 型最常用的手段就是“通分”。
- 遇到多项式分式，尽量先进行因式分解以寻找可以约去的零因子。
思路分析
看到分式相减求极限，先别急着洛必达。通分往往能化繁为简。本题通分后分子分母直接就能约掉零因子。
🔄 举一反三
- 计算 $\lim_{x\to 2} (\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4})$。
查看练习答案与解析
答案：1/4解析：通分得 $\frac{(x+2)-4}{x^2-4} = \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x+2} \to 1/4$。
- $\lim_{x\to 0}\frac{e^x + \sin x - 1}{\ln(x + 1)}$
查看答案与解析
答案： 2
解析：方法一：洛必达法则（推荐）
- 检查类型：$x \to 0$ 时，分子趋于 $1+0-1=0$，分母趋于 $\ln 1=0$。
- 求导：原式 $= \lim_{x\to 0} \frac{(e^x + \sin x - 1)'}{(\ln(x+1))'}$。
- 计算：$= \lim_{x\to 0} \frac{e^x + \cos x}{1/(x+1)}$。
- 代入：$= \frac{e^0 + \cos 0}{1/(0+1)} = \frac{1+1}{1} = 2$。
方法二：泰勒公式/等价替换
- 替换：$\ln(1+x) \sim x$，$e^x \sim 1+x$，$\sin x \sim x$。
- 代入：原式 $\approx \lim_{x\to 0} \frac{(1+x) + x - 1}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{2x}{x} = 2$。
难度: ⭐⭐
考点: #极限 #洛必达法则 #泰勒公式
💡 学习锦囊
📖 相关公式:
- 洛必达法则：适用 $0/0$ 或 $\infty/\infty$。
- 基本等价无穷小：$e^x-1 \sim x, \sin x \sim x, \ln(1+x) \sim x$。
思路分析
对于简单的 $0/0$ 型极限，洛必达法则是万能的。但如果分子分母项较多且都是一级无穷小，用等价替换往往更快。
🔄 举一反三
- 计算 $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x \sin x}$。
查看练习答案与解析
答案：1/2解析：$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$\sin x \sim x$。原式 $= \lim \frac{1/2 x^2}{x^2} = 1/2$。
- 设函数 $y = \sqrt{1 + x^2} + x^{\frac{1}{x}} + \ln 2$，求 $y^\prime$。
查看答案与解析
答案： $y' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln x)$
解析：
- 分项求导：
- 第一项 $\sqrt{1+x^2}$：由复合函数求导法则，$y_1' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot (1+x^2)' = \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。
- 第二项 $x^{1/x}$：这是幂指函数。设 $u = x^{1/x}$，取对数 $\ln u = \frac{1}{x} \ln x$。 两边对 $x$ 求导：$\frac{u'}{u} = -\frac{1}{x^2} \ln x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1-\ln x}{x^2}$。 故 $u' = x^{1/x} \cdot \frac{1-\ln x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln x)$。
- 第三项 $\ln 2$：这是常数，导数为 $0$。
- 汇总结果：$y' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln x)$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #复合函数导数 #对数求导法
💡 学习锦囊
📖 相关公式:
- 对数求导法：处理 $f(x)^{g(x)}$ 型函数的利器。
- $\sqrt{u}$ 的导数：$\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$。
思路分析
遇到加法连接的求导题，逐个击破即可。最难点在于幂指函数 $x^{1/x}$，记得先化为 $e^{(1/x)\ln x}$ 或者用对数求导法。
🔄 举一反三
- 求 $y = (1+x)^x$ 的导数。
查看练习答案与解析
答案：$(1+x)^x (\ln(1+x) + \frac{x}{1+x})$解析：$\ln y = x \ln(1+x) \implies y'/y = \ln(1+x) + x/(1+x)$。
- 求函数 $f(x) = x + 2\cos x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 的最大值，最小值。
查看答案与解析
答案： 最大值为 $\frac{\pi}{6} + \sqrt{3}$，最小值为 $\frac{\pi}{2}$。
解析：
- 寻找驻点：求导 $f'(x) = 1 - 2\sin x$。 令 $f'(x) = 0 \implies \sin x = 1/2$。 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 内，唯一的解为 $x = \frac{\pi}{6}$。
- 计算各点函数值：
- 驻点值：$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} + 2\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} \approx 2.25$。
- 端点值：$f(0) = 0 + 2\cos 0 = 2$。
- 端点值：$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + 2\cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$。
- 比较大小： 比较 $2, 2.25, 1.57$，显然最大值在 $x = \frac{\pi}{6}$ 处取得，最小值在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处取得。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #最值 #导数应用
💡 学习锦囊
📖 闭区间最值求法:
- 求出区间内的所有驻点和不可导点。
- 计算这些点以及区间端点的函数值。
- 比较所有结果，最大即为最大值，最小即为最小值。
思路分析
求最值就是“比大小”。关键是别漏掉端点值！有时候最大值就在端点处。
🔄 举一反三
- 求 $f(x) = x^3 - 3x$ 在 $[0, 2]$ 上的最值。
查看练习答案与解析
答案：最大值2 (在x=2)，最小值-2 (在x=1)解析：$f'=3x^2-3=0 \to x=1$。$f(0)=0, f(1)=-2, f(2)=2$。
- 设隐函数方程由 $x^{3} + y^{3} - xy = 7$ 确定，求 $dy|_{(1,2)}$。
查看答案与解析
答案： $dy|_{(1,2)} = -\frac{1}{11} dx$
解析：
- 隐函数求导：方程两边同时对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）： $3x^2 + 3y^2 y' - (1 \cdot y + x \cdot y') = 0$。
- 整理求 $y'$：把含 $y'$ 的项移到一边： $(3y^2 - x)y' = y - 3x^2 \implies y' = \frac{y - 3x^2}{3y^2 - x}$。
- 代入坐标：将 $x=1, y=2$ 代入： $y'|_{(1,2)} = \frac{2 - 3(1)^2}{3(2^2) - 1} = \frac{2-3}{12-1} = -\frac{1}{11}$。
- 求微分：根据微分定义 $dy = y' dx$，得 $dy = -\frac{1}{11} dx$。
难度: ⭐⭐
考点: #隐函数求导 #微分
💡 学习锦囊
📖 相关技巧:
- 在对含 $y$ 的项（如 $y^3$）求导时，记住复合函数法则，一定要乘上一个 $y'$。
- 若只要求某点的导数，可以先求导不整理，直接代入数值再解 $y'$，通常更简单。
思路分析
隐函数求导的核心就是“两边开导”，看到 $y$ 就当成 $y(x)$。最后求的是微分 $dy$，别忘了在导数后面挂上 $dx$。
🔄 举一反三
- 曲线 $x^2 + y^2 = 25$ 在点 $(3, 4)$ 处的导数是多少？
查看练习答案与解析
答案：-3/4解析：$2x + 2yy' = 0 \implies y' = -x/y$。代入 $(3,4)$ 得 $-3/4$。
- 求不定积分 $\int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} dx$。
查看答案与解析
答案： $\frac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}} + 2\sqrt{x-1} + C$
解析：
- 选择方法：根号下含有线性项，优先考虑第二换元法（根式代换）。
- 设置变量：令 $u = \sqrt{x-1}$。则 $x-1 = u^2 \implies x = u^2 + 1$。
- 计算微分：$dx = 2u du$。
- 代入积分：$\int \frac{u^2+1}{u} \cdot 2u du = 2 \int (u^2 + 1) du$。
- 计算原函数：$2 (\frac{1}{3}u^3 + u) + C = \frac{2}{3}u^3 + 2u + C$。
- 变量还原：将 $u = \sqrt{x-1}$ 代回得 $\frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + 2\sqrt{x-1} + C$。
难度: ⭐⭐
考点: #不定积分 #换元积分法
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📖 相关方法:
- 根式代换：看到 $\sqrt[n]{ax+b}$ 这种结构，令 $u = \sqrt[n]{ax+b}$ 往往能把根号消掉，化为多项式积分。
思路分析
这题也可以用凑微分：$\int \frac{(x-1)+1}{\sqrt{x-1}} dx = \int (\sqrt{x-1} + \frac{1}{\sqrt{x-1}}) dx$。直接积分可能比换元还快！
🔄 举一反三
- 计算 $\int \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx$。
查看练习答案与解析
答案：$2\sqrt{x} - 2\ln(1+\sqrt{x}) + C$解析：令 $u=\sqrt{x}, dx=2u du$。积分变为 $\int \frac{2u}{1+u} du = 2\int (1 - \frac{1}{1+u}) du = 2u - 2\ln(1+u) + C$。
- 求定积分 $\int_{0}^{1} \ln (x + 1) dx$。
查看答案与解析
答案： $2\ln 2 - 1$
解析：
- 选择方法：被积函数只有 $\ln$，且其原函数不易直接看出，考虑分部积分法。
- 设定 $u, v$：令 $u = \ln(x+1), dv = dx \implies du = \frac{1}{x+1}dx, v = x+1$（此处技巧：设 $v=x+1$ 比设 $v=x$ 能直接消掉分母）。
- 分部积分：$\int u dv = uv - \int v du$。 原式 $= [(x+1)\ln(x+1)]_0^1 - \int_0^1 (x+1) \cdot \frac{1}{x+1} dx$。
- 化简：$= (2\ln 2 - 1\ln 1) - \int_0^1 1 dx$。
- 最终计算：$= 2\ln 2 - [x]_0^1 = 2\ln 2 - 1$。
难度: ⭐⭐
考点: #定积分 #分部积分法
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📖 相关公式:
- 分部积分法：$\int_a^b u dv = [uv]_a^b - \int_a^b v du$。
- LIATE原则：通常选对数、反三角为 $u$。
思路分析
分部积分最巧妙的地方在于 $v$ 的选取。如果被积函数中有 $1/(x+1)$，那么把 $v$ 选成 $x+1$ 往往有奇效，可以直接把后面的积分项简化。
🔄 举一反三
- 计算 $\int_0^1 x e^x dx$。
查看练习答案与解析
答案：1解析：$u=x, dv=e^xdx \implies [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1$。
四、应用题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）
- 设曲线方程为 $\begin{cases} x = 2e^{t} \\ y = e^{-t} \end{cases}$，求该曲线在 $t = 0$ 处的切线方程与法线方程。
查看答案与解析
答案： 切线方程：$x + 2y - 4 = 0$；法线方程：$2x - y - 3 = 0$。
解析：
- 确定切点：将 $t = 0$ 代入参数方程： $x_0 = 2e^0 = 2$，$y_0 = e^0 = 1$。即切点为 $(2, 1)$。
- 求导数（斜率）： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(e^{-t})'}{(2e^t)'} = \frac{-e^{-t}}{2e^t} = -\frac{1}{2} e^{-2t}$。
- 计算具体斜率：在 $t = 0$ 处，$k = -\frac{1}{2} e^0 = -\frac{1}{2}$。
- 求切线方程： $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2) \implies 2y - 2 = -x + 2 \implies x + 2y - 4 = 0$。
- 求法线方程： 法线斜率 $k_n = -1/k = 2$。 $y - 1 = 2(x - 2) \implies y - 1 = 2x - 4 \implies 2x - y - 3 = 0$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #参数方程求导 #切线法线
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📖 相关公式:
- 参数方程求导：$\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$。
- 切线：$y-y_0 = k(x-x_0)$；法线：$y-y_0 = -\frac{1}{k}(x-x_0)$。
思路分析
求切线的三个关键：点、导数（斜率）、方程。参数方程只是求导的方式变了，本质逻辑和普通函数切线一模一样。
🔄 举一反三
- 求圆 $x=\cos t, y=\sin t$ 在 $t=\pi/4$ 处的切线斜率。
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答案：-1解析：$dy/dx = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t$。在 $\pi/4$ 处为 $-1$。
- 求由曲线 $y = x^2$ 与曲线 $x = y^2$ 围成平面图形的面积。
查看答案与解析
答案： $1/3$
解析：
- 求交点：解方程组 $\begin{cases} y = x^2 \\ x = y^2 \end{cases}$。 代入得 $x = (x^2)^2 \implies x = x^4 \implies x(x^3 - 1) = 0$。 交点为 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$。
- 确定积分区间与函数关系：在 $x \in [0, 1]$ 上，$x = y^2$ 对应 $y = \sqrt{x}$，且 $\sqrt{x} \ge x^2$。
- 列积分式：面积 $S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx$。
- 计算： $S = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3]_0^1 = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) - 0 = \frac{1}{3}$。
难度: ⭐⭐
考点: #定积分应用 #面积计算
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📖 面积计算公式:
- $S = \int_a^b [f_{upper}(x) - f_{lower}(x)] dx$。
思路分析
求面积三步走：画草图、求交点、算定积分。如果不确定谁在上谁在下，可以取中间一个点（如 $0.5$）代入比一下大小，或者直接加绝对值求积分。
🔄 举一反三
- 求 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成的图形面积。
查看练习答案与解析
答案：1/6解析：交点为 0, 1。$S = \int_0^1 (x - x^2) dx = [x^2/2 - x^3/3]_0^1 = 1/2 - 1/3 = 1/6$。
五、证明题（5 分）
证明：当 $x > 0$ 时，$\ln (1 + x) > x - \frac{x^2}{2}$。
查看答案与解析
【证明】
- 构造辅助函数：设 $f(x) = \ln(1 + x) - (x - \frac{x^2}{2})$，定义域为 $[0, +\infty)$。
- 计算特殊值：$f(0) = \ln(1+0) - 0 + 0 = 0$。
- 考察导数符号： $f'(x) = (\ln(1+x))' - (x)' + (\frac{x^2}{2})'$$f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x$。
- 通分化简： $f'(x) = \frac{1 - (1+x) + x(1+x)}{1+x} = \frac{1 - 1 - x + x + x^2}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$。
- 分析结论：由于 $x > 0$，明显有 $x^2 > 0$ 且 $1+x > 0$，故 $f'(x) > 0$。
- 判定单调性：根据导数正负与单调性关系，$f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调增加。
- 完成证明：因为 $f(x)$ 单调增且 $f(0) = 0$，所以当 $x > 0$ 时，$f(x) > f(0) = 0$。 即 $\ln(1+x) - (x - \frac{x^2}{2}) > 0$，原不等式成立。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #不等式证明 #导数应用
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📖 相关技巧:
- 辅助函数法：证明 $A > B$ 转化为证明 $f(x) = A - B > 0$。
- 利用单调性：如果 $f'(x) > 0$ 且 $f(a) = 0$，则在 $x > a$ 时 $f(x) > 0$。
思路分析
不等式证明是导数应用的必考题。核心逻辑就是把“比大小”转化为“看增减”。通分是整理导数式的关键，一定要化成最简的分式形式。
🔄 举一反三
- 证明 $x > 0$ 时，$e^x > 1 + x$。
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证明提示：设 $f(x) = e^x - 1 - x$。$f(0)=0, f'(x) = e^x - 1 > 0$（当 $x>0$ 时）。故 $f(x)$ 单增，即 $f(x)>0$。