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《高等数学》第一学期期末试卷(精选03)
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
函数 $f(x) = \ln (4x - 3) + \arcsin (2x - 1)$ 的定义域是（ ）
- A. $(0,1)$
- B. $(\frac{3}{4}, 1]$
- C. $(\frac{3}{4}, + \infty)$
- D. $(\frac{3}{4}, 1)$
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答案：B
解析： 要使函数有意义，需同时满足对数函数和反正弦函数的定义域要求。
第一步：确定对数函数的限制条件
对数函数的真数必须大于 0：
第二步：确定反正弦函数的限制条件
反正弦函数 $\arcsin(u)$ 的定义域为 $[-1, 1]$：
第三步：取各限制条件的交集
将上述两个范围取交集：
方法总结： 求复杂函数的定义域时，应列出所有构成函数的初等函数的限制条件（如对数真数、分母、根号下、反三角函数等），最后求解这些不等式组的交集。
难度: ⭐
考点: #定义域 #反三角函数 #对数函数
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📖 相关公式与知识点:
- $\ln(u)$ 的定义域：$u > 0$
- $\arcsin(u)$ 的定义域：$-1 \leq u \leq 1$
思路分析
看到 $\ln$ 和 $\arcsin$ 组合，立即联想各自的限制条件，通过列不等式组的方式锁定交集区间。
易错点
- 忽视 $\arcsin$ 定义域的闭区间性质。
- 在取交集时，注意开闭区间的端点处理。
🔄 举一反三
- 求 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \ln(x)$ 的定义域。
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答案：$(0, 1)$
解析：- 第一步：根式且在分母，要求 $1-x^2 > 0 \implies x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$。
- 第二步：对数要求 $x > 0$。
- 第三步：取交集得 $(0, 1)$。
以下等式正确的是（ ）
- A. $\lim_{x\to 0}(1 - 2x)^{\frac{1}{x}} = e^{2}$
- B. $\lim_{x\to 0}(1 - 2x)^{-\frac{1}{x} - 2} = e^{-2}$
- C. $\lim_{x\to 0}(1 - 2x)^{\frac{1}{x}} = e^{-2}$
- D. $\lim_{x\to 0}(1 + 2x)^{\frac{2}{x}} = e^{2}$
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答案：C
解析： 本题考查第二个重要极限的变形应用。
第一步：分析极限形式
题目中的极限均为 $1^\infty$ 型，符合第二个重要极限 $\lim_{u \to 0} (1+u)^{\frac{1}{u}} = e$ 的基本结构。
第二步：对选项 C 进行变形推导
根据重要极限，中括号内部趋于 $e$，故结果为 $e^{-2}$。选项 C 正确。
第三步：验证其他选项
- A: 应为 $e^{-2}$。
- B: 指数部分 $-1/x - 2$ 趋于 $\infty$，但符号与 A 不同，结果应为 $e^2$。
- D: 应为 $e^4$。
方法总结： 处理 $1^\infty$ 型极限时，标准做法是“凑”出 $(1 + \alpha)^{1/\alpha}$ 的形式，其中 $\alpha \to 0$。
难度: ⭐
考点: #重要极限 #极限计算 #1的无穷大次方
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📖 相关公式与知识点:
- 重要极限：$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$
- 推广形式：$\lim_{\alpha \to 0} (1 + \alpha)^{\frac{1}{\alpha}} = e$
思路分析
识别 $1^\infty$ 型极限后，通过指数幂的乘除法，将底数中的“无穷小量”与指数中的“无穷大量”凑成倒数关系。
易错点
- 凑倒数时忽略负号：$(1-2x)$ 对应的指数应为 $1/(-2x)$。
- 混淆底数趋于 1 与底数等于 1 的区别。
🔄 举一反三
- 求 $\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{2}{x}}$。
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答案：$e^6$解析：$\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{2}{x}} = \lim_{x \to 0} [(1 + 3x)^{\frac{1}{3x}}]^{6} = e^6$。
函数 $f(x) = \begin{cases} 2x\sin \frac{1}{x} & x > 0 \\ a - 1 & x \leq 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处连续，则 $a = （ ）$
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 0
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答案：A
解析： 函数在某点连续的充要条件是左极限、右极限均存在且等于该点函数值。
第一步：求右极限
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 2x \sin \frac{1}{x}$。 因为 $|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$（有界量），且 $\lim_{x \to 0^+} 2x = 0$（无穷小量）。 根据“无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量”定理，右极限为 $0$。
第二步：确定左极限与函数值
根据定义，$f(0) = a - 1$，且左极限 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = a - 1$。
第三步：列方程求解
要使函数在 $x=0$ 处连续，必有：
方法总结： 判断分段函数连续性的标准套路：分别求分界点处的左、右极限，并令其相等。
难度: ⭐⭐
考点: #函数连续性 #分段函数 #夹逼定理
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📖 相关公式与知识点:
- 连续定义：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
- 结论：$\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$
易错点
容易误用重要极限 $\frac{\sin x}{x} \to 1$，注意本题中自变量趋于 0 时，$\sin$ 内部趋于 $\infty$，属于震荡情况。
🔄 举一反三
- 设 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ k & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处连续，求 $k$。
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答案：$k = 0$解析：$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$（无穷小量乘有界量），故 $k = 0$。
下列等式不成立的是（ ）
- A. $\frac{1}{\sqrt{x}} dx = d(2\sqrt{x} + c)$
- B. $\frac{1}{x} dx = d(\ln |x| + c)$
- C. $e^{-x} dx = d(e^{-x} + c)$
- D. $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = d(-\arccos x + c)$
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答案：C
解析： 本题通过微分的形式考查基本导数公式。
第一步：验证选项 A
$d(2\sqrt{x} + c) = (2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}) dx = \frac{1}{\sqrt{x}} dx$。成立。
第二步：验证选项 B
$d(\ln |x| + c) = \frac{1}{x} dx$。成立。
第三步：验证选项 C
$d(e^{-x} + c) = e^{-x} \cdot (-x)' dx = -e^{-x} dx$。 由于 $-e^{-x} dx \neq e^{-x} dx$，故 C 不成立。
第四步：验证选项 D
$d(-\arccos x + c) = -(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) dx = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$。成立。
方法总结： 利用微分形式 $d(f(x)) = f'(x)dx$，将选项右侧求导后看是否等于左侧被积表达式。
难度: ⭐
考点: #微分 #基本导数公式 #复合函数求导
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易错点
- 复合函数求导忘记对内层函数（如 $-x$）求导产生的负号。
- 混淆 $\arccos x$ 与 $\arcsin x$ 的导数符号。
🔄 举一反三
- 验证 $\sin 2x \, dx = d(-\frac{1}{2}\cos 2x + C)$ 是否成立。
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答案：成立 解析：$d(-\frac{1}{2}\cos 2x + C) = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 \, dx = \sin 2x \, dx$。
函数 $f(x) = \frac{1 + x^2}{x}$ 在 $x > 0$ 时是（ ）
- A. 单调增加
- B. 单调减小
- C. 凸函数
- D. 凹函数
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答案：D
解析： 通过求一阶和二阶导数来分析函数的单调性与凹凸性。
第一步：化简并求一阶导数
$f(x) = \frac{1}{x} + x$。 $f'(x) = -\frac{1}{x^2} + 1$。 令 $f'(x) = 0 \implies x = 1$。 在 $(0, 1)$ 内 $f'(x) < 0$（减），在 $(1, +\infty)$ 内 $f'(x) > 0$（增）。故 A、B 错误。
第二步：求二阶导数
$f''(x) = \frac{2}{x^3}$。
第三步：判断凹凸性
当 $x > 0$ 时，$f''(x) > 0$。 根据二阶导数判别法，此时函数为凹函数。
方法总结：
- $f' > 0$ 增，$f' < 0$ 减。
- $f'' > 0$ 凹（向上弯曲），$f'' < 0$ 凸（向下弯曲）。
难度: ⭐⭐
考点: #导数应用 #凹凸性 #单调性
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思路分析
看到单调性和凹凸性选项，第一反应是求出一阶和二阶导数。注意分母 $x>0$ 的限制条件简化了符号判断。
🔄 举一反三
- 判断 $f(x) = x^3 - 3x$ 在 $(0, 1)$ 上的单调性和凹凸性。
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答案：单调减少，凹函数（下凸） 解析：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)$，在 $(0,1)$ 上 $f' < 0$，单调减少。$f''(x) = 6x > 0$，凹函数。
设不定积分 $I = \int \frac{2 - x}{\sqrt[3]{2 - x}} dx = $（ ）
- A. $-\frac{3}{5} (2 - x)^{\frac{5}{3}} + c$
- B. $\frac{3}{5} (2 - x)^{\frac{5}{3}} + c$
- C. $-\frac{3}{2} (2 - x)^{\frac{2}{3}} + c$
- D. $\frac{3}{2} (2 - x)^{\frac{2}{3}} + c$
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答案：A
解析： 利用幂函数的积分公式和第一换元法。
第一步：化简被积函数
$\frac{2 - x}{(2 - x)^{1/3}} = (2 - x)^{1 - 1/3} = (2 - x)^{2/3}$。
第二步：求积分
设 $u = 2 - x$，则 $du = -dx \implies dx = -du$。 $I = \int u^{2/3} (-du) = - \int u^{2/3} du$。 根据幂函数积分公式 $\int u^n du = \frac{1}{n+1} u^{n+1}$： $I = - \frac{1}{2/3 + 1} u^{2/3 + 1} + c = - \frac{3}{5} u^{5/3} + c$。
第三步：代回原变量
$I = -\frac{3}{5} (2 - x)^{5/3} + c$。
方法总结： 积分前先化简表达式为幂函数形式，注意线性复合函数换元时产生的常数系数（本题为 $-1$）。
难度: ⭐
考点: #不定积分 #第一换元法 #幂函数积分
💡 学习锦囊
易错点
在对线性复合函数 $(2-x)$ 进行积分时，由于 $x$ 的系数为 $-1$，积分结果前必须补上负号。
🔄 举一反三
- 求 $\int \frac{1}{\sqrt[3]{3x+1}} dx$。
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答案：$\frac{1}{2}(3x+1)^{2/3} + C$解析：$\int (3x+1)^{-1/3} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}(3x+1)^{2/3} + C = \frac{1}{2}(3x+1)^{2/3} + C$。
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
- 若 $f(e^{x} - 1) = x$，则 $f(x) =$ ________。
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答案：$\ln(1+x)$
解析： 求复合函数解析式常使用换元法。
第一步：设置辅助变量（换元）
设 $t = e^x - 1$。为了求出 $f(x)$，我们需要用 $t$ 来表示 $x$。
第二步：反解自变量
由 $t = e^x - 1$ 得 $e^x = t + 1$。 对等式两边取自然对数，得 $x = \ln(t + 1)$。
第三步：代入原式得出解析式
将上述关系代入原方程 $f(e^x - 1) = x$，得： $f(t) = \ln(t + 1)$。 将变量 $t$ 替换回 $x$，即得 $f(x) = \ln(1 + x)$。
方法总结： 求 $f(g(x))$ 类型题目的通用方法是令 $t=g(x)$，解出 $x=g^{-1}(t)$，最后代入化简。注意换元后的定义域范围。
难度: ⭐
考点: #复合函数 #解析式求法 #换元法
💡 学习锦囊
思路分析
看到括号内是一个表达式时，通过换元将其“简单化”是标准思路。
易错点
换元后容易忘记检查新变量 $t$ 的取值范围。由于 $e^x > 0$，故 $t = e^x - 1 > -1$。
🔄 举一反三
- 若 $f(\ln x) = x + 1$，求 $f(x)$。
查看练习答案与解析
答案：$f(x) = e^x + 1$解析：设 $t = \ln x$，则 $x = e^t$，代入得 $f(t) = e^t + 1$，即 $f(x) = e^x + 1$。
- 设函数 $f(x)$ 连续可导，$f(0) = 0, f'(0) = 2$，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f(2x)}{x} =$ ________。
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答案：4
解析： 本题可以通过导数定义或洛必达法则求解。
第一步：识别极限类型
当 $x \to 0$ 时，分子 $f(2x) \to f(0) = 0$，分母 $x \to 0$。属于 $\frac{0}{0}$ 型。
第二步：利用导数定义法（推荐）
为了凑出导数定义 $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$，我们将原式变形：
令 $u = 2x$，当 $x \to 0$ 时 $u \to 0$，则：
第三步：计算结果
代入已知条件 $f'(0) = 2$：
方法总结： 看到带有函数值的抽象函数极限，优先考虑凑导数定义。
难度: ⭐
考点: #导数定义 #洛必达法则 #极限计算
💡 学习锦囊
易错点
容易忽略 $f(2x)$ 求导产生的系数 $2$。使用导数定义凑项时，分母必须与括号内的改变量保持一致。
🔄 举一反三
- 设 $f(0)=0$ 且 $f'(0)$ 存在，求 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{x^2}$。
查看练习答案与解析
答案：$f'(0)$
解析：令 $t=x^2$，当 $x \to 0$ 时 $t \to 0^+$。原式变为 $\lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)-f(0)}{t} = f'(0)$。
- 函数 $f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x^2 + x - 6}$ 的间断点为 ________。
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答案：$x = 2$ 和 $x = -3$
解析： 间断点通常发生在函数无定义的点。
第一步：寻找分母为 0 的点
令 $x^2 + x - 6 = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0$。 解得候选间断点 $x_1 = -3, x_2 = 2$。
第二步：判定 $x = 2$ 的类型
当 $x \to 2$ 时，分母趋于 0，分子 $2^3 + 3(2^2) - 2 - 3 = 15 \neq 0$。 故 $\lim_{x \to 2} f(x) = \infty$，该点为第二类无穷间断点。
第三步：判定 $x = -3$ 的类型
当 $x \to -3$ 时，分子为 0，属于 $\frac{0}{0}$ 型。 化简分子：$x^3 + 3x^2 - x - 3 = x^2(x+3) - (x+3) = (x^2-1)(x+3)$。 则 $f(x) = \frac{(x^2-1)(x+3)}{(x-2)(x+3)} = \frac{x^2-1}{x-2}$ （当 $x \neq -3$）。 $\lim_{x \to -3} f(x) = \frac{(-3)^2 - 1}{-3 - 2} = -\frac{8}{5}$。 极限存在且为有限值，故该点为第一类可去间断点。
方法总结： 求间断点：1. 找无定义点；2. 求该点极限；3. 根据极限是否存在及是否无穷进行分类。
难度: ⭐⭐
考点: #间断点分类 #第一类间断点 #第二类间断点
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 第一类间断点：左右极限均存在（可去：极限相等；跳跃：极限不等）
- 第二类间断点：至少一侧极限不存在（无穷、震荡等）
思路分析
找间断点先看分母为零的点，再分别求极限判断类型。若分子分母有公因式，约分后可能为可去间断点。
易错点
- 忘记先检查分子分母是否有公因式可约分
- 混淆第一类和第二类间断点的定义
🔄 举一反三
- 求 $f(x) = \frac{x-1}{x^2-1}$ 的间断点并分类。
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答案：$x=1$（可去），$x=-1$（无穷）。
解析：- $x=1$ 时，$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = 1/2$，第一类可去间断点。
- $x=-1$ 时，极限为 $\infty$，第二类无穷间断点。
- 函数 $y = e^{-x^2}$ 的拐点坐标为 ________。
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答案：$(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-1/2})$
解析： 求拐点需通过二阶导数的零点及其两侧变号来判断。
第一步：求一阶导数
$y' = e^{-x^2} \cdot (-x^2)' = -2x e^{-x^2}$。
第二步：求二阶导数
利用乘积法则： $y'' = (-2x)' e^{-x^2} + (-2x) (e^{-x^2})' = -2 e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2})$$y'' = (4x^2 - 2) e^{-x^2}$。
第三步：求二阶导零点并验证
令 $y'' = 0 \implies 4x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。 在 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 两侧，$y''$ 符号从负变正；在 $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ 两侧从正变负。均为拐点。
第四步：求对应纵坐标
代入原方程：$y = e^{-(\pm \sqrt{2}/2)^2} = e^{-1/2}$。 坐标为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-1/2})$ 和 $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-1/2})$。
方法总结： 拐点是点，必须写成 $(x, y)$ 形式。判定条件是二阶导数为 0（或不存在）且两侧凹凸性改变。
难度: ⭐⭐
考点: #拐点 #二阶导数 #导数计算
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 拐点判定：$f''(x_0) = 0$ 且 $f''(x)$ 在 $x_0$ 两侧变号
- 拐点是平面上的点，必须写成 $(x, y)$ 形式
思路分析
求拐点先求二阶导数，令其为零解出可疑点，再验证两侧二阶导数是否变号。
易错点
- 只给出 $x$ 坐标而忘记求 $y$ 坐标
- 混淆拐点和极值点的判定条件
:::: note 重要说明 拐点是一个点，必须同时给出 $x$ 和 $y$ 坐标。仅给出 $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 在正式考试中可能会被扣分。 ::::
🔄 举一反三
- 求 $y = x^3 - 3x^2$ 的拐点。
查看练习答案与解析
答案：$(1, -2)$
解析：$y' = 3x^2 - 6x$，$y'' = 6x - 6$。令 $y'' = 0 \implies x = 1$。两侧变号，代入原式 $y = 1-3=-2$。
- 函数 $f(x) = (1 - x)\sqrt{x}$ 在 $[0, 1]$ 上满足罗尔中值定理的 $\xi =$ ________。
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答案：$1/3$
解析： 罗尔定理要求在区间端点函数值相等。
第一步：验证定理前提
$f(0) = (1-0)\sqrt{0} = 0$。 $f(1) = (1-1)\sqrt{1} = 0$。 端点值相等，且函数在 $[0, 1]$ 连续，$(0, 1)$ 可导。
第二步：求导数表达式
$f(x) = x^{1/2} - x^{3/2}$。 $f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{1 - 3x}{2\sqrt{x}}$。
第三步：求解驻点
令 $f'(\xi) = 0 \implies 1 - 3\xi = 0 \implies \xi = 1/3$。 由于 $1/3 \in (0, 1)$，符合罗尔定理结论。
方法总结： 罗尔定理核心公式：$f'(\xi) = 0$。解出方程后务必检查 $\xi$ 是否在开区间内。
难度: ⭐
考点: #罗尔中值定理 #导数计算 #中值定理应用
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 罗尔定理条件：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，$f(a)=f(b)$
- 结论：存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f'(\xi) = 0$
思路分析
先验证端点值是否相等，再求导数列方程解 $\xi$，最后检查 $\xi$ 是否在开区间内。
🔄 举一反三
- 验证 $f(x) = x^2 - 3x + 2$ 在 $[1, 2]$ 上满足罗尔定理的 $\xi$。
查看练习答案与解析
答案：$1.5$
解析：$f(1)=0, f(2)=0$。$f'(x) = 2x - 3$。令 $f'(\xi) = 0 \implies \xi = 1.5 \in (1, 2)$。
- 设函数 $f(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上连续且 $\int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x = 1$，则 $\int_{-1}^{1} (f(|x|) + \sin x) \, \mathrm{d}x =$ ________。
查看答案与解析
答案：2
解析： 利用定积分对区间的加法以及函数的奇偶性简化计算。
第一步：拆分积分式
$I = \int_{-1}^{1} f(|x|) dx + \int_{-1}^{1} \sin x dx$。
第二步：判断各部分奇偶性
- $\sin x$ 为奇函数。奇函数在对称区间 $[-a, a]$ 上的积分为 $0$。故 $\int_{-1}^{1} \sin x dx = 0$。
- $f(|x|)$ 满足 $g(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = g(x)$，故为偶函数。
第三步：利用偶函数性质计算
偶函数在对称区间积分为一半区间的 2 倍： $\int_{-1}^{1} f(|x|) dx = 2 \int_{0}^{1} f(|x|) dx$。 在区间 $[0, 1]$ 上，$|x| = x$，故原式 $= 2 \int_{0}^{1} f(x) dx = 2 \times 1 = 2$。
方法总结： 对称区间上的定积分，第一反应应是检查被积函数的奇偶性，这往往能大幅简化计算。
难度: ⭐
考点: #定积分性质 #奇偶性积分 #抽象函数积分
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 奇函数在对称区间积分为 0：$\int_{-a}^a f(x)dx = 0$
- 偶函数在对称区间积分：$\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$
思路分析
对称区间上的定积分，优先判断被积函数的奇偶性。奇函数部分直接消去，偶函数部分折半计算。
🔄 举一反三
- 已知 $f(x)$ 为奇函数，求 $\int_{-2}^{2} [f(x) + x^2] dx$。
查看练习答案与解析
答案：$16/3$
解析：奇函数部分积分为 0。$x^2$ 部分积分为 $2 \int_0^2 x^2 dx = 2 [x^3/3]_0^2 = 16/3$。
三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分）
- 求 $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{3 - x} - \sqrt{1 + x}}{x^2 - 1}$。
查看答案与解析
答案：$-\frac{\sqrt{2}}{4}$
解析： 属于 $\frac{0}{0}$ 型极限，常用方法有分子有理化或洛必达法则。
第一步：分子有理化处理
将分子乘以其共轭表达式：
第二步：化简并消除无穷小因子
第三步：代入求极限值
方法总结： 看到带有根号差的 $\frac{0}{0}$ 型极限，分子有理化是消除无穷小因子的最常用技巧。
难度: ⭐⭐
考点: #极限计算 #分子有理化 #无穷小因子
💡 学习锦囊
易错点
有理化后分子为 $(3-x) - (1+x) = 2 - 2x = -2(x-1)$，注意分子分母约分后留下的负号。
🔄 举一反三
- 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$。
查看练习答案与解析
答案：$1$
解析：分子有理化得 $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)-(1-x)}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} = \frac{2}{2} = 1$。
- 求 $\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{\sec x - \cos x}$。
查看答案与解析
答案：1
解析： 利用等价无穷小替换及三角恒等变换简化计算。
第一步：分析分子
根据等价无穷小公式，当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + x^2) \sim x^2$。
第二步：转换分母
将正割函数写为余弦形式： $\sec x - \cos x = \frac{1}{\cos x} - \cos x = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x}$。 当 $x \to 0$ 时，$\sin^2 x \sim x^2$，且 $\cos x \to 1$。 故分母的等价无穷小为 $x^2$。
第三步：求极限
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1$。
方法总结： 等价无穷小替换适用于乘积或商的形式。对于加减法，需先通过三角变换转化为乘积形式后再替换。
难度: ⭐⭐
考点: #等价无穷小 #三角变换 #极限计算
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📖 相关公式与知识点:
- 常见等价无穷小：$\ln(1+u) \sim u$，$\sin u \sim u$，$1-\cos u \sim \frac{1}{2}u^2$
- 三角恒等式：$\sec x = \frac{1}{\cos x}$，$\sec x - \cos x = \frac{\sin^2 x}{\cos x}$
思路分析
等价无穷小替换仅适用于乘除运算。遇到加减法时，先通过三角恒等式转化为乘除形式再替换。
易错点
- 在加减法中直接使用等价无穷小替换
- 忘记 $\sec x$ 的定义，导致分母无法化简
🔄 举一反三
- 求 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x}$。
查看练习答案与解析
答案：$1/2$
解析：当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$\sin x \sim x$。则原式 $= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2} = 1/2$。
- 设函数 $y = (\cos x)^{x^2} + \frac{\sin x}{x}$，求 $y'$。
查看答案与解析
答案：$y' = (\cos x)^{x^2} [2x \ln(\cos x) - x^2 \tan x] + \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$
解析： 本题由幂指函数和分式函数组成，需分别求导。
第一步：求第一项导数（对数求导法）
设 $u = (\cos x)^{x^2} = e^{x^2 \ln(\cos x)}$。 利用复合函数求导法则： $u' = e^{x^2 \ln(\cos x)} \cdot \frac{d}{dx} [x^2 \ln(\cos x)]$$u' = (\cos x)^{x^2} \cdot [2x \ln(\cos x) + x^2 \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)]$$u' = (\cos x)^{x^2} [2x \ln(\cos x) - x^2 \tan x]$。
第二步：求第二项导数（商法则）
设 $v = \frac{\sin x}{x}$。 $v' = \frac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$。
第三步：求和得出结果
$y' = u' + v'$。
方法总结：
- 对于 $u(x)^{v(x)}$ 形式，先化为 $e^{v \ln u}$ 再求导。
- 复杂函数求导应分块处理，最后求和。
难度: ⭐⭐
考点: #幂指函数求导 #对数求导法 #导数运算法则
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易错点
- 幂指函数不能直接套用幂函数或指数函数公式，必须先取对数或写成 $e$ 为底的形式。
- 对 $\ln(\cos x)$ 求导时，注意复合函数产生的 $\tan x$ 及其前面的负号。
🔄 举一反三
- 求 $y = x^{\sin x}$ 的导数。
查看练习答案与解析
答案：$y' = x^{\sin x} [\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}]$
解析：$\ln y = \sin x \ln x \implies \frac{1}{y} y' = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$。
- 由方程 $y e^y = e^{x + 1}$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，求 $dy|_{y = 1}$。
查看答案与解析
答案：$\frac{1}{2} dx$
解析： 通过隐函数求导法求解全微分。
第一步：求对应点的 $x$ 值
当 $y=1$ 时，代入原方程：$1 \cdot e^1 = e^{x+1} \implies e = e^{x+1} \implies x=0$。 故对应点为 $(0, 1)$。
第二步：对方程两边求导
对 $y e^y = e^{x+1}$ 两边关于 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）： $(y' e^y + y e^y y') = e^{x+1}$ 提取公因式：$y' e^y (1 + y) = e^{x+1}$。
第三步：代入坐标求导数值
代入 $x=0, y=1$： $y' \cdot e^1 \cdot (1 + 1) = e^{0+1} \implies 2e \cdot y' = e \implies y' = \frac{1}{2}$。
第四步：写出全微分
$dy = y' dx = \frac{1}{2} dx$。
方法总结： 隐函数求导后，先代入已知点坐标求出具体的导数值，再求微分，比先求出导数解析式更简便。
难度: ⭐⭐
考点: #隐函数求导 #全微分 #导数计算
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技巧
隐函数求导的核心是把 $y$ 看作 $x$ 的复合函数。本题中 $d(ye^y) = (e^y + ye^y)dy$，这其实是全微分思想的直接体现。
🔄 举一反三
- 已知 $x^2 + y^2 = 2x$，求 $y'$。
查看练习答案与解析
答案：$y' = \frac{1-x}{y}$
解析：$2x + 2y y' = 2 \implies x + y y' = 1 \implies y' = \frac{1-x}{y}$。
- 设曲线的参数方程为：$\begin{cases} x = \ln (1 + t^2) \\ y = \frac{\pi}{2} - \arctan t \end{cases}$，求曲线在 $t = 1$ 处的切线方程。
查看答案与解析
答案：$x + 2y - (\ln 2 + \frac{\pi}{2}) = 0$
解析： 求切线方程需知道切点坐标和该点处的斜率。
第一步：求切点坐标
将 $t=1$ 代入参数方程： $x(1) = \ln(1+1) = \ln 2$。 $y(1) = \frac{\pi}{2} - \arctan 1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$。 切点为 $(\ln 2, \frac{\pi}{4})$。
第二步：求参数方程的斜率
$\frac{dx}{dt} = \frac{2t}{1+t^2}$。 $\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{1+t^2}$。 斜率 $k = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-1/(1+t^2)}{2t/(1+t^2)} = -\frac{1}{2t}$。
第三步：求特定点斜率并列方程
当 $t=1$ 时，$k = -\frac{1}{2}$。 切线方程为：$y - \frac{\pi}{4} = -\frac{1}{2}(x - \ln 2)$。 整理得：$x + 2y - (\ln 2 + \frac{\pi}{2}) = 0$。
方法总结： 参数方程求导公式：$\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$。求切线时点斜式是最快捷的方法。
难度: ⭐⭐
考点: #参数方程求导 #切线方程 #导数计算
:::: note 重要说明 在写切线方程时，习惯上将方程化简为一般式 $Ax + By + C = 0$，这样结果更加美观且符合规范。 ::::
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📖 相关公式与知识点:
- 参数方程求导公式：$\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$
- 切线方程（点斜式）：$y - y_0 = k(x - x_0)$
思路分析
参数方程求斜率，先分别对 $t$ 求导得 $dx/dt$ 和 $dy/dt$，再相除消去 $dt$。求切线坐标时直接代入参数 $t$ 值。
易错点
- $\frac{dy}{dx} \neq \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dx}{dt}$，正确关系是除法而非乘法
- 写切线方程时，斜率应代入对应参数 $t$ 的值，不要保留 $t$ 变量
🔄 举一反三
- 求 $x = a \cos t, y = b \sin t$ 在 $t = \pi/4$ 时的斜率。
查看练习答案与解析
答案：$-b/a$
解析：$\frac{dy}{dx} = \frac{b \cos t}{-a \sin t} = -\frac{b}{a} \cot t$。当 $t = \pi/4$ 时，结果为 $-b/a$。
- 求不定积分 $\int \frac{1}{1 + \sqrt[3]{x+1}} dx$。
查看答案与解析
答案：$\frac{3}{2}(x+1)^{\frac{2}{3}} - 3(x+1)^{\frac{1}{3}} + 3\ln(1+\sqrt[3]{x+1}) + C$
解析： 含有根式的不定积分常通过换元法消去根号。
第一步：换元变量设置
设 $t = \sqrt[3]{x+1}$，则 $x+1 = t^3 \implies dx = 3t^2 dt$。
第二步：代入并变形被积函数
第三步：逐项求积分
第四步：代回原变量
将 $t = (x+1)^{1/3}$ 代入： $\frac{3}{2}(x+1)^{2/3} - 3(x+1)^{1/3} + 3\ln(1+\sqrt[3]{x+1}) + C$。
方法总结： 根式换元法（又称分式代换）：令根式整体为新变量，注意同时微分 $dx$。
难度: ⭐⭐
考点: #换元积分法 #有理分式积分 #不定积分
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思路分析
不定积分中遇到 $\sqrt[n]{ax+b}$ 形式，令根式整体为 $t$ 是最万能的解法（分式代换法）。
易错点
不定积分计算完成后，千万不要忘记加积分常数 $C$，且必须将变量 $t$ 还原回 $x$。
🔄 举一反三
- 求 $\int \frac{1}{1 + \sqrt{x}} dx$。
查看练习答案与解析
答案：$2\sqrt{x} - 2\ln(1+\sqrt{x}) + C$
解析：设 $\sqrt{x}=t$，$x=t^2$，$dx=2t dt$。原式 $= \int \frac{2t}{1+t} dt = 2 \int (1 - \frac{1}{1+t}) dt = 2(t - \ln|1+t|) + C$。
- 计算定积分 $\int_{1}^{4} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx$。
查看答案与解析
答案：$8\ln 2 - 4$
解析： 被积函数包含对数和幂函数，优先考虑分部积分法。
第一步：设置 $u$ 和 $dv$
令 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x} dx$。 令 $dv = \frac{1}{\sqrt{x}} dx = x^{-1/2} dx$，则 $v = \int x^{-1/2} dx = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$。
第二步：应用分部积分公式
$\int u dv = uv - \int v du$：
第三步：完成计算
$4 \ln 4 - [4\sqrt{x}]_{1}^{4} = 4 \ln(2^2) - (4 \cdot 2 - 4 \cdot 1)$$= 8 \ln 2 - 4$。
方法总结： 分部积分口诀“反对幂三指”：排列在前的设为 $u$。本题中对数在前，幂函数在后，故设对数为 $u$。
难度: ⭐⭐
考点: #分部积分法 #定积分 #对数函数积分
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易错点
分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$ 中，中间项是减号。在计算 $uv$ 项时，注意上下限的代入不要弄反。
🔄 举一反三
- 求 $\int_0^1 x e^x dx$。
查看练习答案与解析
答案：$1$
解析：$\int x d(e^x) = [x e^x]_0^1 - \int e^x dx = e - (e - 1) = 1$。
四、应用题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）
- 从边长为 $24 \text{ cm}$ 的一张正方形薄铁皮的四角切去边长为 $x$ 的四个小正方形，折转四边，作一个盒子，问 $x$ 为何值时盒子的容积最大？
查看答案与解析
答案：当 $x = 4 \text{ cm}$ 时，盒子的容积最大。
解析： 通过建立目标函数的导数模型来求解最值问题。
第一步：建立数学模型
切去边长为 $x$ 的四个小正方形后，盒子的底面是边长为 $(24 - 2x)$ 的正方形，高为 $x$。 容积函数 $V(x) = (24 - 2x)^2 \cdot x = 4(12 - x)^2 x$。 限制条件：$x > 0$ 且 $24 - 2x > 0 \implies 0 < x < 12$。
第二步：求导寻找驻点
$V(x) = 4(144x - 24x^2 + x^3)$。 $V'(x) = 4(144 - 48x + 3x^2) = 12(x^2 - 16x + 48)$。 令 $V'(x) = 0 \implies (x - 12)(x - 4) = 0$。 得到驻点 $x_1 = 4, x_2 = 12$（舍去，因为 $12$ 不在定义域 $(0, 12)$ 内）。
第三步：验证并得出结论
由于在 $(0, 12)$ 内只有一个驻点，且 $V(0) = 0, V(12) = 0$，根据实际问题的意义，$x=4$ 必为最大值点。 当 $x = 4 \text{ cm}$ 时，容积最大。
方法总结： 解决优化问题的步骤：1. 设自变量并列出目标函数；2. 确定自变量范围；3. 求导并找驻点；4. 结合实际背景确定最值。
难度: ⭐⭐
考点: #导数应用 #最值问题 #几何建模
必考大题
最值应用题是期末考试的必考点。务必熟练掌握从几何描述到代数函数的建模过程，并注意检查驻点是否在定义域内。
🔄 举一反三
- 矩形周长为 $20$，求其面积最大值。
查看练习答案与解析
答案：$25$
解析：设宽为 $x$，则长为 $10-x$。$S = x(10-x) = 10x - x^2$。$S' = 10 - 2x = 0 \implies x=5$。最大面积为 $5 \times 5 = 25$。
💡 学习锦囊
思路分析
实际问题中的最值往往在驻点处取得。列出容积公式后，通过求导可以快速锁定最优解。
- 平面图形由 $y = 3 - x^2$ 与 $y = 2x$ 所围成，求其面积。
查看答案与解析
答案：$\frac{32}{3}$
解析： 利用定积分计算平面图形的面积。
第一步：求交点以确定积分限
令 $3 - x^2 = 2x \implies x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1) = 0$。 解得交点横坐标 $x_1 = -3, x_2 = 1$。
第二步：分析图形位置关系
在区间 $[-3, 1]$ 上，取测试点 $x=0$： $y_1 = 3 - 0^2 = 3$，$y_2 = 2(0) = 0$。 因为 $y_1 > y_2$，所以抛物线 $y = 3 - x^2$ 在直线 $y = 2x$ 上方。
第三步：列出并计算定积分
面积 $S = \int_{-3}^{1} [(3 - x^2) - 2x] dx$：
方法总结： 求围成图形面积的步骤：1. 联立方程求交点；2. 比较函数大小确定“上曲线”与“下曲线”；3. 按照“上减下”原则列积分式并计算。
难度: ⭐⭐
考点: #定积分应用 #平面图形面积 #抛物线
学习建议
对于复杂的图形围成问题，建议先在草稿纸上画出简图，这能极大地帮助确定积分上下限和函数的上下位置关系。
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 平面图形面积公式：$S = \int_a^b [f_{\text{上}}(x) - f_{\text{下}}(x)] \, dx$
- 交点求法：联立两函数方程，解出积分上下限
思路分析
求围成图形面积三步走：①联立求交点确定积分区间；②画图或代测试点判断曲线上下的位置关系；③列"上减下"定积分并计算。
易错点
- 积分上下限写反（应将较小交点作为下限）
- 上下曲线判断错误（尤其在交点之间函数交叉时）
- 忘记对结果取绝对值（面积不能为负）
🔄 举一反三
- 求 $y = x^2$ 与 $y = \sqrt{x}$ 所围图形的面积。
查看练习答案与解析
答案：$1/3$
解析：交点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。$S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx = [2/3 x^{3/2} - 1/3 x^3]_0^1 = 2/3 - 1/3 = 1/3$。
五、证明题（本大题共 1 小题，6 分）
- 证明：当 $x > 1$ 时，$\frac{x-1}{x} < \ln x < x-1$。
查看答案与解析
证明： 本题使用拉格朗日中值定理证明。
第一步：构造辅助函数与区间
考虑函数 $f(t) = \ln t$。它在区间 $[1, x]$（其中 $x > 1$）上满足：
- 在闭区间 $[1, x]$ 上连续；
- 在开区间 $(1, x)$ 内可导，且导函数 $f'(t) = \frac{1}{t}$。
第二步：应用拉格朗日中值定理
根据定理结论，在 $(1, x)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得：
代入函数表达式得：
第三步：利用中值点的范围进行不等式放缩
由于 $1 < \xi < x$，取倒数得：
由于 $x > 1$，则 $(x - 1) > 0$，各部分同乘以 $(x - 1)$，不等号方向不变：
第四步：得出结论
将 $\frac{x - 1}{\xi}$ 替换为 $\ln x$，即可证得：
证毕。
方法总结： 证明形式如 $f(b) - f(a)$ 与导数关系的不等式时，拉格朗日中值定理是核心工具。关键在于选对函数和积分区间。
难度: ⭐⭐
考点: #拉格朗日中值定理 #不等式证明 #中值定理应用
高分进阶
中值定理证明题通常位于卷末，是区分高分考生的关键。证明不等式时，注意观察不等式中间项的形式，以此来确定辅助函数的类型。
🔄 举一反三
- 证明：当 $x > 0$ 时，$e^x > 1 + x$。
查看练习答案与解析
证明：设 $f(x) = e^x - x - 1$。$f'(x) = e^x - 1$。当 $x > 0$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增。又 $f(0) = 0$，故当 $x > 0$ 时 $f(x) > 0$，即 $e^x > 1 + x$。
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思路分析
看到 $\ln x$ 与 $x-1$ 的差值关系，应立即联想到 $\ln x - \ln 1$。由于 $(\ln x)' = 1/x$，通过中值定理可以将函数改变量转化为导数值与自变量改变量的乘积。