Appearance
《高等数学A上》期末试卷(精选09)
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
- $\lim_{x\to \infty}(x\arctan {\frac{1}{x}} + \frac{1}{x}\arctan x) = \underline{\quad}.$
查看答案与解析
答案：1
解析： 本题主要考查极限的计算，涉及等价无穷小替换和无穷小量与有界量的性质。
第一步：拆分极限 利用极限的加法性质，将原式拆分为两个部分分别求解：
第二步：分析第一项 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$。根据等价无穷小公式，当 $u \to 0$ 时，$\arctan u \sim u$。 令 $u = \frac{1}{x}$，则原式第一项变为：
第三步：分析第二项 当 $x \to \infty$ 时，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$（有界量），而 $\frac{1}{x} \to 0$（无穷小量）。 根据“无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量”的性质：
第四步：合并结果 原式极限为 $1 + 0 = 1$。
难度: ⭐
考点: `#等价无穷小` `#极限计算`
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 常用等价无穷小：当 $x \to 0$ 时，$\arctan x \sim x$，$\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$。
- 重要极限：$\lim_{u \to 0} \frac{\arctan u}{u} = 1$。
- $\arctan x$ 的渐近线：$\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$。
思路分析
看到 $x \cdot \arctan(1/x)$ 且自变量趋于无穷，应立即联想“$\infty \cdot 0$”型极限，通过变量替换或等价无穷小简化。而第二项则是典型的“无穷小乘以有界量”。
🔄 举一反三
- 求 $\lim_{x\to \infty} x \sin \frac{1}{x}$
查看练习答案与解析
答案：1
解析：- 第一步：识别极限类型。当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，属于 $\infty \cdot 0$ 型。
- 第二步：使用等价无穷小。当 $u \to 0$ 时，$\sin u \sim u$。
- 第三步：代入得 $\lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{x} = 1$。
- 曲线 $y - x + \mathrm{e}^{y} = 0$ 在点 $x = 1$ 处的切线方程为 $y =$ ______
查看答案与解析
答案：$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$
解析： 本题考查隐函数求导及切线方程的确定。
第一步：确定切点坐标 将 $x = 1$ 代入方程 $y - x + \mathrm{e}^{y} = 0$：
通过观察或解方程可知，当 $y = 0$ 时，$0 - 1 + \mathrm{e}^0 = 0 - 1 + 1 = 0$。 故切点坐标为 $(1, 0)$。
第二步：隐函数求导 方程两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数（链式法则）：
整理得：
第三步：计算切线斜率 将切点 $(1, 0)$ 的坐标代入导数表达式：
第四步：写出切线方程 利用点斜式：$y - 0 = \frac{1}{2}(x - 1)$ 整理得：$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$。
难度: ⭐
考点: `#隐函数求导` `#切线方程`
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 隐函数求导：对 $F(x, y) = 0$ 两边求导，将 $y$ 视为 $x$ 的复合函数。
- 切线方程：$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$。
易错点
- 在求导时忘记对 $\mathrm{e}^y$ 使用链式法则漏掉 $y'$。
- 忘记先求出切点的 $y$ 坐标。
🔄 举一反三
- 求曲线 $xy + \ln y = 1$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线斜率。
查看练习答案与解析
答案：$-\frac{1}{2}$
解析：- 第一步：方程两边求导：$y + xy' + \frac{1}{y}y' = 0$。
- 第二步：代入点 $(1, 1)$：$1 + (1)y' + \frac{1}{1}y' = 0$。
- 第三步：解得 $2y' = -1 \implies y' = -1/2$。
- 函数 $f(x) = \lim_{n\to \infty}\frac{1 - x}{1 + x^{2n}}$ 的间断点为 $x =$ ______
查看答案与解析
答案：$-1$
解析： 本题考查由极限定义的函数性质及其间断点的判定。
第一步：求出函数 $f(x)$ 的分段表达式 分析分母中的极限 $\lim_{n \to \infty} x^{2n}$：
- 当 $|x| < 1$ 时，$x^{2n} \to 0$，则 $f(x) = \frac{1-x}{1+0} = 1-x$。
- 当 $|x| > 1$ 时，$x^{2n} \to \infty$，则 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1-x}{1+x^{2n}} = 0$。
- 当 $x = 1$ 时，$f(1) = \frac{1-1}{1+1} = 0$。
- 当 $x = -1$ 时，$f(-1) = \frac{1-(-1)}{1+1} = 1$。
第二步：检查分界点 $x=1$ 的连续性
- $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1-x) = 0$。
- $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 0 = 0$。
- $f(1) = 0$。 左右极限相等且等于函数值，故 $x=1$ 处连续。
第三步：检查分界点 $x=-1$ 的连续性
- $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} 0 = 0$。
- $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (1-x) = 2$。 左右极限不相等（$0 \neq 2$），故 $x = -1$ 为跳跃间断点。
难度: ⭐⭐
考点: `#由极限确定的函数` `#间断点`
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 幂函数的极限：$x^n \to 0$ (当 $|x|<1$)；$x^n \to \infty$ (当 $|x|>1$)。
- 间断点分类：左右极限存在且不等为跳跃间断点；至少有一个不存在为第二类间断点。
🔄 举一反三
- 求 $g(x) = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{1+x^{2n}}$ 的间断点并分类。
查看练习答案与解析
答案：$x = \pm 1$，均为跳跃间断点。
解析：- $|x|<1$ 时，$g(x)=1$；$|x|>1$ 时，$g(x)=0$；$x=\pm 1$ 时，$g(x)=1/2$。
- 在 $x=1$ 处，左极限 1，右极限 0；在 $x=-1$ 处，左极限 0，右极限 1。
- 故 $x=1$ 和 $x=-1$ 均为跳跃间断点。
- 当 $x \to 0$ 时， $\ln \cos x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小量，则 $n =$ ______
查看答案与解析
答案：2
解析： 本题考查泰勒公式及等价无穷小替换。
第一步：化简对数函数 利用等价无穷小 $\ln(1+u) \sim u$（当 $u \to 0$）：
第二步：化简余弦函数 利用常用等价无穷小 $\cos x - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$。 或者使用泰勒展开：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + o(x^2)$。 则：
第三步：确定 $n$ 的值 由上可知，$\ln \cos x \sim -\frac{1}{2}x^2$。 其与 $x^n$ 为同阶无穷小，即要求幂次相同。 故 $n = 2$。
难度: ⭐
考点: `#同阶无穷小` `#泰勒公式`
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 常用等价无穷小：$\ln(1+x) \sim x$，$(1+x)^a - 1 \sim ax$，$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$。
思路分析
对于“复合型”无穷小比较，应由外向内逐步拆解。先处理 $\ln$，再处理内部的 $\cos$。
🔄 举一反三
- 当 $x \to 0$ 时，$\mathrm{e}^{x^2} - 1$ 与 $x^n$ 为同阶无穷小，求 $n$。
查看练习答案与解析
答案：2
解析：利用 $\mathrm{e}^u - 1 \sim u$，代入 $u = x^2$ 得 $\mathrm{e}^{x^2} - 1 \sim x^2$。故 $n = 2$。
- 将曲边梯形 $0 \leq y \leq \arctan x, 0 \leq x \leq 1$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 ______
查看答案与解析
答案：$\pi (\frac{\pi}{2} - 1)$
解析： 本题考查定积分的应用——旋转体体积计算。
第一步：选择计算方法 绕 $y$ 轴旋转，区域由 $y=f(x)$ 给出且 $x \in [0, 1]$，采用柱壳法最为简便：
第二步：列出积分式
第三步：利用分部积分法求解 令 $u = \arctan x, \mathrm{d}v = x \mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u = \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x, v = \frac{1}{2}x^2$。
第四步：代入上下限并乘 2π
难度: ⭐⭐
考点: `#旋转体体积` `#分部积分`
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 柱壳法：$V_y = 2\pi \int_a^b x f(x) dx$。
- 盘片法：$V_y = \pi \int_c^d [g(y)]^2 dy$。
思路分析
对于 $y = \arctan x$ 绕 $y$ 轴旋转，如果用盘片法需要求反函数 $x = \tan y$，计算相对复杂。柱壳法可以直接利用原函数进行积分。
🔄 举一反三
- 求由 $y=x^2, y=1$ 绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积。
查看练习答案与解析
答案：$\frac{\pi}{2}$
解析：- 方法一（盘片法）：$x^2 = y$，积分 $V = \pi \int_0^1 y \mathrm{d}y = \pi [\frac{1}{2}y^2]_0^1 = \frac{\pi}{2}$。
- 方法二（柱壳法）：$V = 2\pi \int_0^1 x(1 - x^2) \mathrm{d}x = 2\pi [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4]_0^1 = 2\pi (1/4) = \frac{\pi}{2}$。
二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）
- 设函数 $f(x) = \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\arctan{\frac{|x|}{x - 1}}$ ，则下列结论不正确的是（ ）.
- A. 当 $x \to +\infty$ 时, $y = f(x)$ 有渐近线 $y = \frac{\pi}{4}$
- B. 当 $x \to -\infty$ 时, $y = f(x)$ 有渐近线 $y = -\frac{\pi}{4}$
- C. 当 $x\to 0^{+}$ 时， $y = f(x)$ 有渐近线 $x = 0$
- D. 当 $x\to 1^{-}$ 时， $y = f(x)$ 有渐近线 $x = 1$
查看答案与解析
答案：D
解析： 本题主要考查函数的渐近线（水平渐近线与垂直渐近线）的判定。
第一步：分析水平渐近线 (A, B)
- 当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\frac{|x|}{x-1} \to 1$。 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \mathrm{e}^0 \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。故 $y = \frac{\pi}{4}$ 是水平渐近线。(A) 正确。
- 当 $x \to -\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\frac{|x|}{x-1} = \frac{-x}{x-1} \to -1$。 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \mathrm{e}^0 \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$。故 $y = -\frac{\pi}{4}$ 是水平渐近线。(B) 正确。
第二步：分析垂直渐近线 (C, D)
- 对于 $x=0$： 当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，$\mathrm{e}^{1/x} \to +\infty$。此时 $\arctan \frac{|x|}{x-1} \to \arctan 0 = 0$。 由于指数增长速度远快于多项式减小速度（$0 \cdot \infty$ 型），$\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{1/x} \arctan \frac{x}{x-1} = -\infty$。 故 $x=0$ 是垂直渐近线。(C) 正确。
- 对于 $x=1$： 当 $x \to 1^-$ 时，$\frac{1}{x} \to 1$，$\frac{|x|}{x-1} \to -\infty$。 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \mathrm{e}^1 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -\frac{e\pi}{2}$。 极限为有限常数，故 $x=1$ 不是垂直渐近线。(D) 不正确。
难度: ⭐⭐
考点: `#渐近线` `#极限计算`
💡 学习锦囊
思路分析
- 水平渐近线只需考察 $x \to \pm\infty$。
- 垂直渐近线应考察使函数无定义且极限为无穷大的点。
- 注意判断 $\arctan$ 在无穷大处的极限值。
🔄 举一反三
- 求函数 $y = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的渐近线。
查看练习答案与解析
答案：无渐近线。
解析：虽然 $x=1$ 无定义，但 $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2$，极限为有限值，故无垂直渐近线。且 $x \to \infty$ 时 $y \to \infty$，无水平渐近线。
- 设函数 $f(x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内有定义，在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 内可导，且 $\lim_{x \to 0} f'(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在点 $x = 0$ 处可导的一个充分条件为（ ）.
- A. $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在
- B. $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$ 存在
- C. $f(x)$ 在点 $x = 0$ 处连续
- D. $\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t$ 在点 $x = 0$ 处可导
查看答案与解析
答案：C
解析： 本题考查导数存在的充分条件与导数极限定理。
第一步：分析导数极限定理 导数极限定理指出：如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某个去心邻域内可导，并且 $\lim_{x \to x_0} f'(x)$ 存在，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必可导，且 $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} f'(x)$。
第二步：逐项排除
- (A) 仅给出比值极限，若 $f(0) \neq 0$，则此条件不直接导致 $x=0$ 处可导。
- (B) 条件过强且方向不对。
- (C) 满足导数极限定理的前提条件。只要 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，配合已知 $\lim_{x \to 0} f'(x)$ 存在，即可推得 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。
- (D) 变限积分的可导性与原函数在某一点的可导性无互推关系。
故选 C。
难度: ⭐⭐
考点: `#导数定义` `#导函数极限`
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 导数极限定理：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，在去心邻域内可导。若 $\lim_{x \to x_0} f'(x) = A$ 存在，则 $f'(x_0) = A$。
思路分析
很多同学会认为导数极限存在就一定可导，却忽略了**"函数必须在该点连续"**这一前提。例如分段函数在该点如果不连续，导数极限再漂亮也没用。
🔄 举一反三
- 若 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续，是否意味着 $f''(0)$ 存在？
查看练习答案与解析
答案：不一定。
解析：$f'(x)$ 连续只能说明 $f(x)$ 是 $C^1$ 级的，并不保证 $f'(x)$ 在该点本身可导。
- 设曲线 $y = f(x)$ 的参数方程为 $x = \mathrm{e}^{-t} - 1, y = t^2$ ，则当 $-1 < x < 0$ 时， $y = f(x)$ （ ）.
- A. 单调递减且图形为凹的
- B. 单调递减且图形为凸的
- C. 单调递增且图形为凹的
- D. 单调递增且图形为凸的
查看答案与解析
答案：A
解析： 本题主要考查参数方程求导以及曲线的增减性、凹凸性判定。
第一步：求一阶导数（判断增减性）
确定 $t$ 的范围：当 $-1 < x < 0$ 时，由 $x = \mathrm{e}^{-t} - 1$ 得 $0 < \mathrm{e}^{-t} < 1 \implies t > 0$。 当 $t > 0$ 时，$y' = -2t \mathrm{e}^t < 0$，故函数单调递减。
第二步：求二阶导数（判断凹凸性）
由于 $t > 0$，故 $y'' > 0$，图形为凹的。
故选 A。
难度: ⭐⭐
考点: `#参数方程求导` `#凹凸性` `#增减性`
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 参数方程二阶导公式：$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\dot{x}\ddot{y} - \ddot{x}\dot{y}}{\dot{x}^3}$ 或 $\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$。
🔄 举一反三
- 求摆线 $x = a(t - \sin t), y = a(1 - \cos t)$ 的一阶导。
查看练习答案与解析
答案：$y' = \cot(t/2)$
解析：比值为 $\frac{\sin t}{1-\cos t} = \frac{2\sin(t/2)\cos(t/2)}{2\sin^2(t/2)} = \cot(t/2)$。
- 设函数 $f(x)$ 连续，则下列结论不成立的是（ ）.
- A. $\int_0^\pi f(\sin x)\mathrm{d}x = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x$
- B. $\int_{0}^{\pi} f(\cos x) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \, \mathrm{d}x$
- C. $\int_0^\pi f(\sin^2 x)\mathrm{d}x = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin^2 x)\mathrm{d}x$
- D. $\int_{0}^{\pi} f(\cos^{2} x) \mathrm{d} x = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos^{2} x) \mathrm{d} x$
查看答案与解析
答案：B
解析： 本题主要考查定积分在对称区间上的性质，特别是关于 $x = \frac{\pi}{2}$ 的对称性。
第一步：检查 (A) 和 (C) 由于 $\sin(\pi - x) = \sin x$，被积函数关于 $m = \frac{\pi}{2}$ 对称。成立。
第二步：检查 (B) 由于 $\cos(\pi - x) = -\cos x$，通常情况下 $f(-\cos x) \neq f(\cos x)$。 例如取 $f(u) = u$，则 $\int_0^\pi \cos x \mathrm{d}x = 0$，而 $2\int_0^{\pi/2} \cos x \mathrm{d}x = 2$。 故 (B) 不成立。
第三步：检查 (D) 由于 $\cos^2(\pi - x) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x$，被积函数关于 $x = \frac{\pi}{2}$ 对称。成立。
故选 B。
难度: ⭐
考点: `#定积分性质` `#对称性`
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 区间对称性公式：$\int_0^{2a} f(x) \mathrm{d}x = 2\int_0^a f(x) \mathrm{d}x$（当 $f(2a-x) = f(x)$ 时）。
- 反例构造法：在判断定积分等式时，用 $f(x)=x$ 或 $f(x)=1$ 快速验证。
🔄 举一反三
- 计算 $\int_0^\pi | \cos x | \mathrm{d}x$。
查看练习答案与解析
答案：2
解析：由于 $|\cos(\pi-x)| = |\cos x|$，满足对称性。原式 $= 2\int_0^{\pi/2} \cos x dx = 2$。
- 设反常积分 $I_{1} = \int_{0}^{+\infty} \max \left\{ \frac{1}{\sqrt{x}}, \frac{1}{x^2} \right\} \, \mathrm{d}x$ ， $I_{2} = \int_{0}^{+\infty} \min \left\{ \frac{1}{\sqrt{x}}, \frac{1}{x^2} \right\} \, \mathrm{d}x$ ，则（ ）.
- A. $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 都收敛
- B. $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 都发散
- C. $I_{1}$ 收敛， $I_{2}$ 发散
- D. $I_{1}$ 发散， $I_{2}$ 收敛
查看答案与解析
答案：D
解析： 本题主要考查反常积分收敛性的判别，核心在于分段讨论函数的大小关系。
第一步：分析比较 在 $[0, 1]$ 上，$x^{-2} \geq x^{-1/2}$；在 $[1, +\infty)$ 上，$x^{-1/2} \geq x^{-2}$。
第二步：判定 $I_1$ (取大者)
- $\int_0^1 x^{-2} \mathrm{d}x$：$p=2 > 1$，瑕积分发散。
- $\int_1^{+\infty} x^{-1/2} \mathrm{d}x$：$p=1/2 < 1$，无穷限积分发散。 故 $I_1$ 发散。
第三步：判定 $I_2$ (取小者)
- $\int_0^1 x^{-1/2} \mathrm{d}x$：$p=1/2 < 1$，瑕积分收敛。
- $\int_1^{+\infty} x^{-2} \mathrm{d}x$：$p=2 > 1$，无穷限积分收敛。 故 $I_2$ 收敛。
故选 D。
难度: ⭐⭐
考点: `#反常积分` `#收敛判别法`
💡 学习锦囊
思路分析
记住“近大远小”原则：靠近原点（瑕点）幂次大的易发散，远离原点（无穷端）幂次小的易发散。
🔄 举一反三
- 判断 $I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d}x$ 的收敛性。
查看练习答案与解析
答案：收敛。
解析：瑕点在 $x=0$，当 $x \to 0$ 时，被积函数 $\sim x^{-1/2}$，$p=1/2 < 1$，故收敛。
三、计算下列各题（每小题 6 分，共 36 分）
- 求 $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} \frac{x}{n^{2} + x} \mathrm{d} x$
查看答案与解析
答案：$\frac{1}{2}$
解析： 本题考查含参量积分的极限计算，核心思路是利用变量代换将积分区间标准化。
第一步：变量代换 令 $x = nt$，则 $\mathrm{d}x = n \mathrm{d}t$。 当 $x = 0$ 时，$t = 0$；当 $x = n$ 时，$t = 1$。 原积分变为：
第二步：取极限 由于 $t \in [0, 1]$，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{t}{n}$ 一致趋向于 0。 根据受控收敛定理（或在该区间上连续函数的积分极限性质）：
第三步：计算最终定积分
难度: ⭐⭐⭐
考点: `#含参量积分` `#变量代换`
💡 学习锦囊
思路分析
这类题目的通法是先通过变量代换（通常令 $x = u \cdot \text{上限}$）将积分区间固定为 $[0, 1]$，然后讨论积分号下求极限的合法性。
🔄 举一反三
- 求 $\lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^n \mathrm{e}^x \mathrm{d}x$。
查看练习答案与解析
答案：0
解析：由于 $x \in [0, 1]$ 时 $0 \le x^n \mathrm{e}^x \le x^n e$。$\int_0^1 x^n e \mathrm{d}x = \frac{e}{n+1} \to 0$。由夹逼定理知极限为 0。
- 求方程 $\int_{-1}^{x} t \mathrm{e}^{\cos t} \mathrm{d} t = 0$ 的实根.
查看答案与解析
答案：$x = -1$ 或 $x = 1$
解析： 本题考查变限积分函数的性质以及奇偶函数的积分对称性。
第一步：寻找显而易见的根 由变限积分性质，当上限等于下限时，积分值必为 0。 故 $x = -1$ 是方程的一根。
第二步：利用奇偶性分析 设被积函数 $f(t) = t \mathrm{e}^{\cos t}$。
- $t$ 是奇函数。
- $\cos t$ 是偶函数，故 $\mathrm{e}^{\cos t}$ 是偶函数。
- 奇函数与偶函数的乘积 $f(t)$ 是奇函数。 根据奇函数在对称区间上的积分性质：
故 $x = 1$ 也是方程的一个实根。
第三步：单调性验证（确认根的唯一性） 设 $G(x) = \int_{-1}^x t \mathrm{e}^{\cos t} \mathrm{d}t$。其导数为 $G'(x) = x \mathrm{e}^{\cos x}$。
- 当 $x < 0$ 时，$G'(x) < 0$，$G(x)$ 单调递减；
- 当 $x > 0$ 时，$G'(x) > 0$，$G(x)$ 单调递增。 函数在 $x=0$ 处取得极小值。由于 $G(-1)=0$ 且 $G$ 在 $[-1, 0]$ 递减，故 $G(0) < 0$。之后 $G$ 在 $[0, \infty)$ 递增，且 $G(1)=0$。 故实根仅有 $x = \pm 1$。
难度: ⭐⭐
考点: `#变限积分` `#奇函数对称性`
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 变限积分求导：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^x f(t) \mathrm{d}t = f(x)$。
- 单调性判别：通过导数的符号确定变限积分函数的根是否有且仅有一个（结合零点定理）。
🔄 举一反三
- 求 $\int_{-1}^1 (x^3 + \sin x) \cos x \mathrm{d}x$。
查看练习答案与解析
答案：0
解析：被积函数 $f(x) = (x^3 + \sin x) \cos x$。因为 $x^3, \sin x$ 为奇，$\cos x$ 为偶，故 $f(x)$ 为奇函数。奇函数在对称区间积分结果为 0。
- 设函数 $f(x) = \arctan x$ ，如果 $f(x) = x f'(\xi)$ ，求 $\lim_{x \to 0} \frac{\xi^{2}}{x^{2}}$ .
查看答案与解析
答案：$\frac{1}{3}$
解析： 本题考查拉格朗日中值定理的应用及极限的精确计算。
第一步：写出关系式 已知 $f(x) = \arctan x$，$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$。 由题意：$\arctan x = x \cdot \frac{1}{1+\xi^2}$。 整理得：$1 + \xi^2 = \frac{x}{\arctan x} \implies \xi^2 = \frac{x - \arctan x}{\arctan x}$。
第二步：求极限式
当 $x \to 0$ 时，使用等价无穷小 $\arctan x \sim x$：
第三步：利用泰勒展开$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$。 代入得：
难度: ⭐⭐⭐
考点: `#拉格朗日中值定理` `#泰勒公式`
💡 学习锦囊
思路分析
这类题目本质上是在考察拉格朗日中值定理中“中值点 $\xi$”的渐近性质。通常通过对原函数进行高阶泰勒展开来抵消低阶项，从而锁定 $\xi$ 与 $x$ 的关系。
🔄 举一反三
- 若 $f(x) = \sin x$，且满足 $\sin x = x \cos \xi$，求 $\lim_{x \to 0} (\frac{\xi}{x})^2$。
查看练习答案与解析
答案：$\frac{1}{3}$
解析：$\cos \xi = \frac{\sin x}{x} = \frac{x - x^3/6}{x} = 1 - \frac{x^2}{6}$。又 $\cos \xi \sim 1 - \frac{\xi^2}{2}$。得 $\frac{\xi^2}{2} = \frac{x^2}{6} \implies \frac{\xi^2}{x^2} = \frac{1}{3}$。
- 设函数 $y = \left\{ \begin{array}{cc} -x - 1, & -1 \leq x \leq 0, \\ \sqrt{x}, & 0 < x \leq 1 \end{array} \right.$ 的反函数为 $x = \varphi(y)$ ，计算 $\int_{-1}^{1} \varphi(y) \mathrm{d} y$ .
查看答案与解析
答案：$-\frac{1}{6}$
解析： 本题考查分段函数反函数的定积分。可以分段求反函数，也可利用图形面积关系或变量代换。
第一步：求出反函数的分段表达式
- 当 $-1 \leq x \leq 0$ 时，$y = -x - 1 \implies x = -y - 1$。此时 $y$ 范围为 $[-1, 0]$。
- 当 $0 < x \leq 1$ 时，$y = \sqrt{x} \implies x = y^2$。此时 $y$ 范围为 $(0, 1]$。 故 $\varphi(y) = \begin{cases} -y - 1, & -1 \leq y \leq 0 \\ y^2, & 0 < y \leq 1 \end{cases}$。
第二步：分段进行定积分
第三步：计算具体数值
- $\int_{-1}^0 (-y - 1) \mathrm{d}y = \left[ -\frac{1}{2}y^2 - y \right]_{-1}^0 = 0 - (-\frac{1}{2} + 1) = -\frac{1}{2}$。
- $\int_0^1 y^2 \mathrm{d}y = \left[ \frac{1}{3}y^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3}$。 最终结果为 $-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}$。
难度: ⭐⭐
考点: `#反函数积分` `#分段函数`
💡 学习锦囊
思路分析
分段函数的反函数计算通常分两步：
- 确定各段 $y$ 的取值范围，反函数在对应段定义；
- 分别求出 $x = \varphi(y)$。 亦可利用对称性，在 $x-y$ 坐标系中交换积分轴进行直观判断。
🔄 举一反三
- 若 $f(x) = x^3$，求 $\int_0^1 f^{-1}(y) \mathrm{d}y$。
查看练习答案与解析
答案：$\frac{3}{4}$
解析：$f^{-1}(y) = y^{1/3}$。$\int_0^1 y^{1/3} \mathrm{d}y = [\frac{3}{4}y^{4/3}]_0^1 = \frac{3}{4}$。
- 计算 $\int_{-1}^{1} \frac{\ln(1 + |x|)}{1 + \mathrm{e}^{x}} \mathrm{d} x$ .
查看答案与解析
答案：$2\ln 2 - 1$
解析： 本题利用定积分在对称区间上的一个重要技巧（指数分母处理）。
第一步：利用积分性质简化 对于对称区间积分 $\int_{-a}^a \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^x} \mathrm{d}x$，如果 $f(x)$ 是偶函数，则有结论：
在本题中，$f(x) = \ln(1 + |x|)$ 显然是偶函数。
第二步：转化积分为单侧区间
第三步：利用分部积分求解 令 $u = \ln(1+x), \mathrm{d}v = \mathrm{d}x \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x, v = x+1$。
难度: ⭐⭐
考点: `#定积分性质` `#分部积分`
💡 学习锦囊
思路分析
遇到分母中含有 $1+\mathrm{e}^x$ 且区间关于原点对称的积分，第一反应应是尝试利用 $x \to -x$ 的代换来合并项，通常能抵消指数项。
🔄 举一反三
- 计算 $\int_{-1}^1 \frac{x^2}{1+\mathrm{e}^x} \mathrm{d}x$。
查看练习答案与解析
答案：$\frac{1}{3}$
解析：$x^2$ 是偶函数，原式 $= \int_0^1 x^2 \mathrm{d}x = \frac{1}{3}$。
- 求微分方程 $y' - \frac{1}{x} y = x \mathrm{e}^{-x} (x > 0)$ 的特解 $y = y(x)$ ，使得当 $x \to 0^{+}$ 时， $y(x) \sim x$ .
查看答案与解析
答案：$y = 2x - x \mathrm{e}^{-x}$
解析： 本题考查一阶线性非齐次微分方程的求解及无穷小渐近条件的利用。
第一步：求通解 这是一阶线性方程 $y' + P(x)y = Q(x)$ 形式，其中 $P(x) = -\frac{1}{x}, Q(x) = x \mathrm{e}^{-x}$。 积分因子 $\mu(x) = \mathrm{e}^{\int -\frac{1}{x} \mathrm{d}x} = \frac{1}{x}$。方程两边同乘 $\mu(x)$：
第二步：求积分常数 $C$ 已知当 $x \to 0^+$ 时，$y(x) \sim x$。 将通解变形为：$y = x(C - \mathrm{e}^{-x})$。 由于 $\lim_{x \to 0^+} \frac{y}{x} = 1$，则 $\lim_{x \to 0^+} (C - \mathrm{e}^{-x}) = C - 1 = 1 \implies C = 2$。
第三步：给出特解
难度: ⭐⭐
考点: `#一阶线性微分方程` `#等价无穷小`
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 一阶线性通解公式：$y = \mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x} [ \int Q(x)\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x} \mathrm{d}x + C ]$。
- 渐近行为分析：当 $x \to 0$ 时，$\mathrm{e}^{-x} \approx 1$ 是判断常数 $C$ 的关键。
🔄 举一反三
- 求 $y' + y = 1$ 的通解。
查看练习答案与解析
答案：$y = 1 + C\mathrm{e}^{-x}$
解析：积分因子为 $\mathrm{e}^x$。$(y\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x \implies y\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x + C$。
四、（本题满分 12 分）设函数 $f(x) = \begin{cases} ax + 1, & x < 0, \\ b\mathrm{e}^{2x}, & x \geq 0 \end{cases}$ 可导．(1)求常数 $a, b$ ；(2)求 $\int f(x) \, \mathrm{d}x$ .
查看答案与解析
答案： (1) $a = 2, b = 1$
(2) $\int f(x) \mathrm{d}x = \begin{cases} x^2 + x + C, & x < 0 \\ \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} + C - \frac{1}{2}, & x \geq 0 \end{cases}$
解析： 本题主要考查分段函数的可导性（连续是前提）以及分段函数的不定积分。
第一步：利用连续性求 $b$ 由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则其必在 $x=0$ 处连续。
- 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (ax + 1) = 1$
- 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} b\mathrm{e}^{2x} = b$ 由连续性知：$b = 1$。
第二步：利用可导性求 $a$
- 左导数：$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{(ax+1) - 1}{x} = a$
- 右导数：$f'_+(0) = \left. (b\mathrm{e}^{2x})' \right|_{x=0} = 2b \mathrm{e}^0 = 2b$ 由可导性知 $f'_-(0) = f'_+(0) \implies a = 2b$。 代入 $b=1$ 得 $a = 2$。
第三步：分段求不定积分
- 当 $x < 0$ 时，$\int (2x + 1) \mathrm{d}x = x^2 + x + C_1$
- 当 $x \geq 0$ 时，$\int \mathrm{e}^{2x} \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} + C_2$
第四步：利用原函数的连续性锁定常数关系 不定积分（原函数）在整个区间上必须是连续的。 在 $x=0$ 处：$\lim_{x \to 0^-} (x^2 + x + C_1) = \lim_{x \to 0^+} (\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} + C_2)$ 得 $C_1 = \frac{1}{2} + C_2 \implies C_2 = C_1 - \frac{1}{2}$。 设 $C_1 = C$，则结果如下：
难度: ⭐⭐
考点: `#分段函数可导性` `#分段函数积分`
💡 学习锦囊
易错点
分段函数求导后，虽然每一段都有各自的积分常数，但在写整个区间上的原函数时，必须通过分界点的连续性来统一这些常数。
🔄 举一反三
- 若 $f(x) = |x|$，求其不定积分。
查看练习答案与解析
答案：$\frac{1}{2}x|x| + C$
解析：- 当 $x \geq 0$ 时，$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1$。
- 当 $x < 0$ 时，$\int -x dx = -\frac{1}{2}x^2 + C_2$。
- 连续性要求 $C_1 = C_2 = C$。合并写成 $\frac{1}{2}x|x| + C$。
五、（本题满分 12 分）设函数 $f(x)$ 可导，且 $\int_0^1 [f(x) + xf(xt)]\mathrm{d}t = 1$ ．(1) 建立 $f(x)$ 所满足的一阶微分方程；(2) 求 $f(x)$ 的表达式.
查看答案与解析
答案： (1) 微分方程为 $f'(x) + f(x) = 0$，且 $f(0) = 1$。
(2) $f(x) = \mathrm{e}^{-x}$。
解析： 本题结合了变限积分、变量代换与微分方程。
第一步：化简积分方程 积分是对变量 $t$ 进行的，故 $f(x)$ 项相对于 $t$ 是常数：
对于第二项 $\int_0^1 xf(xt) \mathrm{d}t$，通过变量代换： 令 $u = xt$，则 $\mathrm{d}u = x \mathrm{d}t$。当 $t=0, u=0$；当 $t=1, u=x$。 原式变为：
第二步：求微分方程及其初值
- 初值条件：在方程中令 $x=0$，得 $f(0) + \int_0^0 f(u)du = 1 \implies f(0) = 1$。
- 求导：对等式两边关于 $x$ 求导：
第三步：求解方程 这也是一个最简单的可分离变量方程：
代入初值 $f(0)=1$ 得 $C=1$。 故 $f(x) = \mathrm{e}^{-x}$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: `#变限积分求导` `#积分变量代换` `#一阶线性方程`
💡 学习锦囊
思路分析
这类问题的“坑”在于积分变量和方程变量的耦合。核心招式是**“变量代换”**，将 $xf(xt)$ 中的内核化为单一变量 $u$，从而释放变限积分求导的威力。
🔄 举一反三
- 若函数满足 $\int_0^x f(t) \mathrm{d}t = f^2(x)$ 且 $f(x)>0$，求 $f(x)$。
查看练习答案与解析
答案：$f(x) = \frac{x}{2}$
解析：- 两边求导：$f(x) = 2f(x) f'(x)$。
- 因为 $f(x) > 0$，消去得 $2f'(x) = 1 \implies f(x) = \frac{1}{2}x + C$。
- 代入原式 $x=0$ 得 $\int_0^0 = f^2(0) \implies f(0) = 0 \implies C = 0$。
- 故 $f(x) = \frac{x}{2}$。
六、（本题满分 10 分）设函数 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上可导， $\lim_{x \to +\infty} f' (x) = 0$ 。若对任意的 $n = 1, 2, \dots$ ，有 $f(2n - 1) > f(2n + 1) > f(2n + 2) > f(2n)$ ，证明数列 $\{ f(n) \}$ 收敛。
查看答案与解析
证明： 本题主要考察数列收敛的单调有界原理以及拉格朗日中值定理。
第一步：证明奇、偶子数列的收敛性 观察已知不等式：$f(2n-1) > f(2n+1) > f(2n+2) > f(2n)$。
- 奇数项子数列 $\{f(2n-1)\}$： 由 $f(2n-1) > f(2n+1)$ 知，该子数列严格单调递减。 由 $f(2n+1) > f(2n)$ 知，奇数项有下界（如 $f(2)$）。 故由单调有界原理，$\lim_{n \to \infty} f(2n-1) = A$ 存在。
- 偶数项子数列 $\{f(2n)\}$： 由 $f(2n+2) > f(2n)$ 知，该子数列严格单调递增。 由 $f(2n+2) < f(2n+1)$ 知，偶数项有上界（如 $f(1)$）。 故由单调有界原理，$\lim_{n \to \infty} f(2n) = B$ 存在。
第二步：利用导数性质证明两子数列极限相等 由拉格朗日中值定理，对区间 $[2n, 2n+1]$：
其中 $2n < \xi_n < 2n+1$。 当 $n \to \infty$ 时，$\xi_n \to +\infty$。已知 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$，则：
这意味着 $A - B = 0 \implies A = B$。
第三步：得出结论 因为数列 $\{f(n)\}$ 的两个互补子数列（奇数项与偶数项）均收敛且极限值相等，故原数列 $\{f(n)\}$ 必收敛。
难度: ⭐⭐⭐
考点: `#单调有界原理` `#拉格朗日中值定理` `#子数列收敛`
💡 学习锦囊
思路分析
遇到证明数列收敛的题目，若通项公式复杂或未知，通常考虑“子数列法”或“单调有界原理”。此题将奇偶项分离并利用导数桥接，是典型的考研数学证明题套路。
🔄 举一反三
- 证明：若子数列 $\{a_{2n}\}$ 和 $\{a_{2n+1}\}$ 都收敛于 $L$，则 $\{a_n\}$ 收敛于 $L$。
查看练习答案与解析
证明：
- 因为 $\lim a_{2n} = L$，对 $\forall \epsilon > 0, \exists N_1$，当 $2n > N_1$ 时 $|a_{2n} - L| < \epsilon$。
- 因为 $\lim a_{2n+1} = L$，对同一个 $\epsilon, \exists N_2$，当 $2n+1 > N_2$ 时 $|a_{2n+1} - L| < \epsilon$。
- 取 $N = \max\{N_1, N_2\}$，则当 $n > N$ 时，无论 $n$ 是奇是偶，均有 $|a_n - L| < \epsilon$。
- 由定义知 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$。