《大学物理下》期末试卷A卷(精选01)
一、选择题(每题 3 分 共计 36 分
两个同周期简谐振动曲线如图 1 所示，$x_2$ 的相位比 $x_1$ 的相位（ ）
(A) 落后 $\pi/2$
(B) 超前 $\pi/2$
(C) 落后 $\pi$
(D) 超前 $\pi$
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答案：B
解析：
分析曲线特征：由图可知，$t=0$ 时，$x_1$ 处于正向最大位移处，其初位相$\phi_1 = 0$
分析 $x_2$ 状态： $t=0$ 时，$x_2 = 0$ 且向负方向运动。根据旋转矢量法或振动方程 $x = A \cos(\omega t + \phi)$，$0 = A \cos \phi_2 \implies \phi_2 = \pm \pi/2$。由于向负方向运动，速度 $v = -A\omega \sin\phi_2 < 0 \implies \sin\phi_2 > 0 \implies \phi_2 = \pi/2$
相位差计算： $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \pi/2 - 0 = \pi/2$。故 $x_2$ 的相位比 $x_1$ 超前 $\pi/2$
难度: ⭐
考点:
#简谐振动曲线#初位相#相位比较💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
简谐振动方程：$x = A \cos(\omega t + \phi)$
相位差：$\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1$，$\Delta \phi > 0$ 表示超前
旋转矢量法：逆时针旋转，角度越大相位越超
思路分析
判断相位超前或落后的简便方法：看曲线达到峰值的先后。图 $x_2$ $t=0$ 之前就已经达到峰值（外推曲线），或者说 $x_1$ $t=0$ 达到峰值 $x_2$ 在更早时刻达到峰值， $x_2$ 超前
易错点
混淆"超前"落后"：峰值先出现者相位超
误以 $t=0$ 位移大者相位大：需结合速度方向判断
🔄 举一反三
若两同频率简谐振动，$x_1$ 的峰值比 $x_2$ 的峰值晚 $T/4$ 出现，则 $x_1$ 的相位比 $x_2$
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答案：落 $\pi/2$
解析：晚 $T/4$ 对应相位落后 $\omega \cdot T/4 = 2\pi/T \cdot T/4 = \pi/2$
一质点 $x$ 轴作简谐振动，振动方程 $x = 4 \cos(6\pi t + \frac{1}{3}\pi)$ ($\text{cm}$)。从 $t=0$ 时刻起，到质点位置在 $x = -2$ $\text{cm}$ 处，且向 $x$ 轴正方向运动的最短时间间隔为
(A) $1/6$ $\text{s}$
(B) $1/18$ $\text{s}$
(C) $1/12$ $\text{s}$
(D) $1/9$ $\text{s}$
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答案：A
解析：
初状态分析 $t=0$ 时，相位 $\phi_0 = \pi/3$
末状态分析 $x = -2$ $\text{cm} = 4 \cos \phi \implies \cos \phi = -1/2$。解答$\phi = 2\pi/3$ $4\pi/3$
运动方向判断：要求向 $x$ 轴正方向运动，即速度 $v = -A\omega \sin \phi > 0 \implies \sin \phi < 0$。故末状态相位应 $\phi_t = 4\pi/3$
计算时间 $\Delta \phi = \omega \Delta t \implies 4\pi/3 - \pi/3 = 6\pi \Delta t \implies \pi = 6\pi \Delta t \implies \Delta t = 1/6$ $\text{s}$
难度: ⭐⭐
考点:
#简谐振动方程#旋转矢量法#最短时间💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
简谐振动方程：$x = A \cos(\omega t + \phi)$，速度 $v = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$
旋转矢量法：$\Delta t = \Delta \phi / \omega$
象限判断 $\cos\phi$ $\sin\phi$ 的符号决定相位所在象
思路分析
找起点：$t=0$ 时的相位
找终点：$x=-2$ $v>0$ 时的相位
算相位差 $\Delta \phi = \phi_t - \phi_0$
易错点
$\cos\phi = -1/2$ 有两个解答 $2\pi/3$ $4\pi/3$），需用速度方向筛
速度正负 $-\sin\phi$ 决定，不是由位移正负决定
🔄 举一反三
一质点振动方程 $x = 2 \cos(4\pi t + \pi/6)$ cm，从 $t=0$ 起，质点第一次到 $x = -1$ cm 且向 $x$ 轴负方向运动的时间为多少
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答案 $1/8$ s
解析 $t=0$，$\phi_0 = \pi/6$，$x=-1$，$\cos\phi = -1/2$，向负方向运动要 $v<0$，$\sin\phi > 0$，取 $\phi = 2\pi/3$，$\Delta\phi = 2\pi/3 - \pi/6 = \pi/2$，$\Delta t = (\pi/2)/(4\pi) = 1/8$ s
一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时媒质中某质元正处于振动最大位置，此时其能量（
(A) 动能为零，势能最
(B) 动能为零，势能为
(C) 动能最大，势能最
(D) 动能最大，势能为零
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答案：B
解析：
机械波能量特征：与简谐振动不同，波动中质元的动能和势能是*同相*变化的
能量分布：当质元处于位移最大处（波峰或波谷）时，形变为零，且速度为零，因此动能和势能同时达到最小值（零）
*能量传播：当质元处于平衡位置时，形变最大且速度最大，动能和势能同时达到最大小
难度: ⭐⭐
考点:
#机械波能量#动能与势能同相💡 学习锦囊
思路分析
理解波动中质元能量变化的关键：处于最大位移处时，质元速度为零（形变为零），动能和势能均为零；处于平衡位置时，质元速度最大（形变最大），动能和势能均最大小
::: note 方法总结
简谐振动：动能最大时势能最小，反之亦然
机械波：动、势能同相变化，同时达到最最小值
:::
🔄 举一反三
声波在空气中传播时，某质元处于压缩最密状态，此时它的动能和势能关系是
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答案：均为零。解析：声波是纵波，压缩最密处质元速度为零，形变为零，故动能和势能都为零
两列时速均 $64.8$ $\text{km/h}$ 迎面对开的列车，一列车的汽笛频率为 $600$ $\text{Hz}$，则在另一列车上的乘客所听到的汽笛的频率(设空气中声速为 $340$ $\text{m/s}$)
(A) $540$ $\text{Hz}$
(B) $568$ $\text{Hz}$
(C) $636$ $\text{Hz}$
(D) $667$ $\text{Hz}$
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答案：D
解析：
单位换算 $v_s = v_o = 64.8 / 3.6 = 18$ $\text{m/s}$
*多普勒效应公式：由于相互靠近，观察者频率$f' = f \frac{v + v_o}{v - v_s}$
代入计算 $f' = 600 \times \frac{340 + 18}{340 - 18} = 600 \times \frac{358}{322} \approx 667$ $\text{Hz}$
难度: ⭐⭐
考点:
#多普勒效应#相对运动💡 学习锦囊
公式记忆
多普勒效应公式：$f' = f \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s}$
观察者靠近波源：分子 $+v_o$
观察者远离波源：分子 $-v_o$
波源靠近观察者：分母 $-v_s$
波源远离观察者：分母 $+v_s$
::: note 方法总结
先判断是观察者运动还是波源运
再判断是靠近还是远离
选择正确的符号代入公式
:::
🔄 举一反三
如果列车鸣笛向你驶来时你听到的频率为 640 Hz，远离时听到的频率为 540 Hz，则实际鸣笛频率是多少？
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答案：约 588 Hz。解析：设声速为 340 m/s，建立两个方程求解答
两列沿相反方向传播的相干波，已知其表达式分别 $y_1 = A \cos 2\pi(\nu t - x/\lambda)$ $y_2 = A \cos 2\pi(\nu t + x/\lambda)$，叠加后形成驻波，其波腹位置的坐标为
(A) $x = \pm k\lambda$
(B) $x = \pm \frac{1}{2}(2k+1)\lambda$
(C) $x = \pm \frac{1}{2}k\lambda$
(D) $x = \pm (2k+1)\lambda/4$
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答案：C
解析：
合成驻波方程 $y = y_1 + y_2 = 2A \cos(2\pi x/\lambda) \cos(2\pi \nu t)$
波腹条件：振幅部分达到最大， $|\cos(2\pi x/\lambda)| = 1$
求解坐标 $2\pi x/\lambda = k\pi \implies x = k\lambda/2 = \pm \frac{1}{2}k\lambda$。其 $k=0, 1, 2 \dots$
难度: ⭐⭐
考点:
#驻波方程#波腹位置💡 学习锦囊
驻波要点
合成振幅 $|2A \cos(2\pi x/\lambda)|$
波腹位置 $|\cos(2\pi x/\lambda)| = 1 \implies x = k\lambda/2$
波节位置 $\cos(2\pi x/\lambda) = 0 \implies x = (2k+1)\lambda/4$
::: note 方法记忆
"波腹在中子：相邻波腹间 $\lambda/2$；波节与波腹间隔 $\lambda/4$
:::
🔄 举一反三
两列波干涉形成驻波，相邻波节的间距是波长λ的多少倍？
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答案：$\lambda/2$。解析：波节间距等于半波长
如图 2 所示，用劈尖干涉检测工件的表面，当波长 $\lambda$ 的单色光垂直入射时，观察到的干涉条纹中间向劈尖棱边弯曲，每一条弯曲部分的顶点恰好与左邻的直线部分的连线相切，则工件表面（
(A) 有一凹陷的槽，深 $\lambda/2$
(B) 有一凹陷的槽，深 $\lambda/4$
(C) 有一凸起的埂，高 $\lambda/2$
(D) 有一凸起的埂，高 $\lambda/4$
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答案：C
解析：
判定凸凹：条纹向棱边（空气层厚度减小的方向）弯曲，说明该处空气层厚度 $d$ 比周围小，即工件表面存在凸起
计算高度：弯曲部分的顶点与相邻条纹连线相切，说明该处的厚度变化量对应一个条纹间距。相邻明（或暗）条纹对应的空气层厚度差为 $\Delta d = \lambda/2$。故凸起高度 $\lambda/2$
难度: ⭐⭐
考点:
#劈尖干涉#等厚干涉#条纹弯曲分析💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
劈尖干涉明暗条件：$\Delta = 2nd + \lambda/2$（有半波损失时）
相邻条纹对应厚度差：$\Delta d = \lambda/2n$
条纹弯曲判据：向棱边弯→凸起，背向棱边弯→凹
思路分析
判定凸凹：条纹向棱边（空气层厚度减小的方向）弯曲，说明该处空气层厚度 $d$ 比周围小，即工件表面存在凸起
计算高度：弯曲部分的顶点与相邻条纹连线相切，说明该处的厚度变化量对应一个条纹间距。相邻明（或暗）条纹对应的空气层厚度差为 $\Delta d = \lambda/2$。故凸起高度 $\lambda/2$
易错点
混淆凸凹方向：向薄处弯→凸，向厚处弯→凹
忘记半波损失对厚度差的影
🔄 举一反三
用劈尖干涉检测工件表面，若条纹向背离棱边方向弯曲，且弯曲量为 2 个条纹间距，则工件表面缺陷为
查看练习答案与解析
答案：凹陷，深度 $\lambda$
解析：背离棱边弯曲→凹陷 个条纹间距对应深 $2 \times \lambda/2 = \lambda$
如图 3 所示，平板玻璃 and 凸透镜构成牛顿环装置，全部浸入 $n=1.60$ 的液体中，凸透镜可沿 $OO'$ 移动，用波长 $\lambda=500$ $\text{nm}$ 的单色光垂直入射。从上向下观察，看到中心是一个暗斑，此时凸透镜顶点距平板玻璃的距离最少是
(A) $156.3$ $\text{nm}$
(B) $78.1$ $\text{nm}$
(C) $0$
(D) $74.4$ $\text{nm}$
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答案：B
解析：
- 半波损失分析：
- 上表面（透镜→液体）：$n_{lens}=1.58 < n_{liq}=1.60$，光从光疏到光密介质反射，有半波损失（相位突变 $\pi$）。
- 下表面（液体→平板）：平板玻璃为高折射率玻璃（$n > 1.60$），光从光疏到光密介质反射，也有半波损失。
- 两反射面均有半波损失，总附加相位差为 $2\pi$（等效为 0），故接触点 $d=0$ 时为亮斑。
- 求第一个暗斑：中心为亮斑时，第一个暗斑满足 $2nd = \lambda/2$。
- 计算：$d = \dfrac{\lambda}{4n} = \dfrac{500}{4 \times 1.6} = 78.125$ $\text{nm} \approx 78.1$ $\text{nm}$。
难度: ⭐⭐
考点:
#牛顿环#半波损失#干涉条纹移动💡 学习锦囊
牛顿环要点
明环条件：$2nd + \lambda/2 = k\lambda$（有半波损失时）
暗环条件：$2nd = k\lambda$（有半波损失时）
环半径：$r \propto \sqrt{k}$，故条纹间距随级数增加而增大
易错提醒
注意半波损失的判断：
- 光从光疏介质射向光密介质反射时，有半波损失（相位突变 $\pi$）
- 本题中透镜→液体界面：$n_{透镜}(1.58) < n_{液体}(1.60)$，有半波损失
- 液体→平板界面：$n_{液体}(1.60) < n_{平板}$（高折射率玻璃），也有半波损失
- 两界面均有半波损失，总附加相位差为 $2\pi$（等效为 0），故接触点为亮斑
🔄 举一反三
若将本题中的液体换成空气（n=1），中心暗纹的条件会如何变化
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答案：中心变为亮斑。解析：空气时两界面均有半波损失，总相位差，接触点为亮
- 半波损失分析：
边长 $a$ 的正方形薄板静止于惯性系 $K$ $Oxy$ 平面内。今有惯性系 $K'$ $0.8c$ 的速度相对论$K$ 系沿 $x$ 轴作匀速直线运动，则从 $K'$ 系测得薄板的面积为（
(A) $0.6a^2$
(B) $0.8a^2$
(C) $a^2$
(D) $a^2/0.6$
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答案：A
解析：
长度收缩公式：沿运动方向 $x$ 轴）的长度收缩为 $L_x' = a \sqrt{1 - (v/c)^2}$
计算收缩 $L_x' = a \sqrt{1 - 0.8^2} = 0.6a$
垂直方向不变：垂直于运动方向 $y$ 轴）的边长保 $L_y' = a$
面积计算 $S' = L_x' L_y' = 0.6a \cdot a = 0.6a^2$
难度: ⭐⭐
考点:
#长度收缩#狭义相对论💡 学习锦囊
狭义相对论要点
长度收缩：沿运动方向的长度收缩，$L = L_0\sqrt{1-v^2/c^2}$
时间膨胀：运动的时钟变慢 $\Delta t = \Delta t_0/\sqrt{1-v^2/c^2}$
质能关系 $E = mc^2 = \gamma m_0 c^2$
::: note 记忆口诀
"动尺缩短、动钟变化——只有沿运动方向的长度才收缩
:::
🔄 举一反三
若飞船速度0.6c，其长度收缩为原来长度的多少
查看练习答案与解析
答案：.8 倍。解析：$\sqrt{1-0.6^2} = \sqrt{0.64} = 0.8$
关于光电效应有下列说法，其中正确的是
①任何波长的可见光照射到任何金属表面都能产生光电效应
②若入射光的频率均大于某一给定金属的红限，则释出的光电子的最大初动能随频率不同而不
③若频率大于红限，受到不同频率、强度相等的光照射时，单位时间释出的光电子数一定相
④若频率大于红限，当入射光频率不变而强度增大一倍时，该金属的饱和光电流也增大一
(A)
(B)
(C)
(D)
查看答案与解析
答案：D
解析：
红限限制：①错误。必须频率大于红限（波长小于极限波长）才能产生光电效应
爱因斯坦方程：②正确 $K_{max} = h\nu - W$，频率越高，初动能越大小
光子流量：③错误。强 $I = n h \nu$ 相等时，频率 $\nu$ 越高，光子数 $n$ 越少，单位时间释出的电子数也越少
*光电流强：④正确。光电流强度与入射光强度（光子流量）成正比
难度: ⭐⭐
考点:
#光电效应#爱因斯坦光电效应方程#饱和光电流💡 学习锦囊
光电效应三要
红限条件：$\nu \geq \nu_0 = W/h$
最大动能：$K_{max} = h\nu - W$
饱和光电流：与入射光强度成正
常见误区
①光子能量$E = h\nu$ 与强度无
②光电流大小与光子数（强度）成正比，不是与频率成正比
::::
🔄 举一反三
某金属的红限频率 $\nu_0$，当入射光频率为 $2\nu_0$ 时，光电子的最大动能为多少
查看练习答案与解析
答案：$h\nu_0$。解析：$K_{max} = h(2\nu_0) - h\nu_0 = h\nu_0$
氢原子中处于 $3d$ 量子态的电子，描述其量子态的四个量子 $(n, l, m_l, m_s)$ 可能取的值为
(A) $(3, 0, 1, -1/2)$
(B) $(1, 1, 1, -1/2)$
(C) $(2, 1, 2, 1/2)$
(D) $(3, 2, 0, 1/2)$
查看答案与解析
答案：D
解析：
主量子数 $n$：对 $3d$ 态，$n = 3$
角量子数 $l$ $d$ 分壳层对 $l = 2$
磁量子数 $m_l$：取值范 $-l \le m_l \le l$，即 $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$
自旋量子数$m_s$：取 $\pm 1/2$
*选项筛选
(A) $l=0$ $s$ 态。错误
(B) $n=1$ $l$ 只能量0。错误
(C) $n=2$ $l$ 最大为 1。且 $m_l$ 不能大于 $l$。错误
(D) 符合所有规则。正确
难度: ⭐
考点:
#量子数#氢原子能级#原子轨道💡 学习锦囊
量子数规则
主量子数 $n = 1, 2, 3, ...$（决定能量）
角量子数 $l = 0, 1, 2, ..., n-1$（决定轨道形状）
- $l=0$: s 态，$l=1$: p 态，$l=2$: d 态，$l=3$: f
磁量子数 $m_l = -l, ..., 0, ..., +l$（决定空间取向）
自旋量子数$m_s = \pm 1/2$
::: note 记忆方法
$n$ 决定能级，$l$ 决定形状态，$m_l$ 决定方向，$m_s$ 只有两个取
:::
🔄 举一反三
氢原子基态（n=1）的量子数组合是什么？
查看练习答案与解析
答案：$n=1, l=0, m_l=0, m_s=\pm 1/2$。解析：n=1时l只能量，m_l只能量，m_s可为±1/2
(1) 锗晶体用(5 价元 掺杂2) 硅晶体用(三价元素) 掺杂。下列说法正确的是（
(A) (1)2) 均为 n 型半导体
(B) (1)n 型半导体, (2)p 型半导体
(C) (1)p 型半导体, (2)n 型半导体
(D) (1)2) 均为 p 型半导体
查看答案与解析
答案：B
解析：
n 型半导体：在 4 价元素中掺入 5 价元素，多出一个自由电子。故 (1)n 型
p 型半导体：在 4 价元素中掺入 3 价元素，形成一个空穴。故 (2)p 型
难度: ⭐
考点:
#n型半导体#p型半导体#杂质半导体💡 学习锦囊
半导体掺杂记忆
5 价掺杂（磷、砷）→ 多出电子 n 型（negative
3 价掺杂（硼、铝）→ 多出空穴 p 型（positive
::: note 口诀
"n 是负，p 是正 n p"
:::
🔄 举一反三
若在硅晶体中掺入锑（5价），则形成什么类型的半导体？
查看练习答案与解析
答案：n型半导体。解析：锑是5价元素，提供多余电子
设一维粒子运动的波函数图线如图 4 所示，确定粒子动量的精确度最高的波函数是
(A)(A)
(B)(B)
(C)(C)
(D)(D)
查看答案与解析
答案：D
解析：
海森堡不确定性原理 $\Delta x \Delta p \ge \hbar/2$。动量精确度越高，意味着动量不确定度 $\Delta p$ 越小
对应关系 $\Delta p$ 越小，则位置不确定度 $\Delta x$ 必须越大（即波函数在空间分布越广）
观察图像：图 (D) 的波包范围最广，位置最不确定，因此其对应的动量最确定
难度: ⭐⭐
考点:
#不确定性原理#波函数#波包💡 学习锦囊
不确定性原理
$\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2$
位置越确定（Δx小），动量越不确定（Δp大）
动量越确定（Δp小），位置越不确定（Δx大）
::: note 物理意义
微观粒子不像经典粒子有确定轨道，波函数描述的是概率分析
:::
🔄 举一反三
如果粒子位置完全确定（Δx），则动量如何？
查看练习答案与解析
答案：动量完全不确定（Δp→∞）。解析：满足不确定性关系
二、填充题 (每空2 共计 20 分
一简谐振动的表达式为 $x = A \cos(3t + \phi)$，已 $t = 0$ 时的初位移为 $0.04$ $\text{m}$，初速度 $0.09$ $\text{m/s}$，则振幅 $A =$ 0.05 $\text{m}$，初 $\phi =$ $-36.9^{\circ}$ ( $-0.644$ rad)
查看答案与解析
详细推导：
列出初始方程
$x_0 = A \cos \phi = 0.04$
$v_0 = -3A \sin \phi = 0.09 \implies A \sin \phi = -0.03$
求振幅 $A = \sqrt{(A \cos \phi)^2 + (A \sin \phi)^2} = \sqrt{0.04^2 + (-0.03)^2} = 0.05$ $\text{m}$
求初相 $\tan \phi = \frac{A \sin \phi}{A \cos \phi} = \frac{-0.03}{0.04} = -3/4$。且 $\cos \phi > 0, \sin \phi < 0 \implies$ 位于第四象限，$\phi = -0.644$ $\text{rad}$ $-36.9^{\circ}$
考点:
#简谐振动#振幅计算#初位相确定💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
初始条件：$x_0 = A \cos\phi$，$v_0 = -A\omega \sin\phi$
振幅公式 $A = \sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega)^2}$
初相公式 $\tan\phi = -\dfrac{v_0}{\omega x_0}$，结合象限确
思路分析
$x_0$ $v_0$ 联立求解 $A$ $\phi$：先平方相加消去 $\phi$ $A$，再相除 $\tan\phi$，最后根 $\cos\phi$ $\sin\phi$ 的符号确定象限
易错点
$\tan\phi$ 的值对应两个角度，需 $\cos\phi$（或 $\sin\phi$）的符号筛
注意 $\omega$ 前的负号 $v_0 = -A\omega\sin\phi$
🔄 举一反三
- 一简谐振动 $x = A \cos(2t + \phi)$，$t=0$ 时 $x_0 = 0.03$ m，$v_0 = -0.04$ m/s，求 $A$ 和 $\phi$。
查看练习答案与解析
答案：$A \approx 0.0361$ m，$\phi \approx 33.7^\circ$（或 $0.588$ rad）。
解析：$A\cos\phi = 0.03$，$-2A\sin\phi = -0.04 \implies A\sin\phi = 0.02$。$A = \sqrt{0.03^2 + 0.02^2} = \sqrt{0.0013} \approx 0.0361$ m。$\tan\phi = 0.02/0.03 = 2/3$，$\cos\phi > 0, \sin\phi > 0$，$\phi \approx 33.7^\circ$。
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A、B 是简谐波波线上距离小于波长的两点。已B 点的振动相位A 点落 $\pi/3$，波长为 $3$ $\text{m}$，则 A、B 两点间距0.5 $\text{m}$
查看答案与解析
详细推导：
相位差公式 $\Delta \phi = \frac{2\pi \Delta x}{\lambda}$
代入数据 $\pi/3 = \frac{2\pi \Delta x}{3} \implies 1/3 = \frac{2 \Delta x}{3} \implies 2 \Delta x = 1 \implies \Delta x = 0.5$ $\text{m}$
考点:
#相位差#波程差#波速公式💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
相位差与波程差关系：$\Delta \phi = \dfrac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
波速公式：$u = \lambda \nu = \lambda / T$
同一波线上两点相位差由距离决
思路分析
直接代入公式 $\Delta \phi = \frac{2\pi \Delta x}{\lambda}$，已 $\Delta \phi$ $\lambda$，反 $\Delta x$
易错点
注意 $\Delta \phi$ 的单位是弧度（rad），不是度（°
两点距离不能超过波长（题目已说明距离小于波长
🔄 举一反三
同一波线上两点相 $1.5$ m，波长为 $6$ m，则两点相位差为多少
查看练习答案与解析
答案 $\pi/2$
解析 $\Delta \phi = \dfrac{2\pi}{6} \times 1.5 = \dfrac{2\pi \times 1.5}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \pi/2$
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平行光垂直入射单缝，观测夫琅禾费衍射。若观测屏上 P 点处为第二级暗纹，则穿过单缝的光可划分为 4 个半波带。若将单缝宽度缩小一半，P 点观测结果是 *第一级暗纹
查看答案与解析
详细推导：
半波带判定：第 $k$ 级暗纹对 $2k$ 个半波带，$k=2 \implies 4$ 个半波带
衍射判据 $a \sin \theta = \pm k\lambda$。已 $a \sin \theta = 2\lambda$
改变缝宽：若 $a' = a/2$，则该方向对应的相位差为 $a' \sin \theta = (a/2) \sin \theta = \frac{1}{2}(2\lambda) = \lambda$。符合暗纹判据且 $k=1$
考点:
#单缝衍射#半波带法#暗纹判据💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
单缝衍射暗纹条件：$a \sin\theta = \pm k\lambda$，$k = 1, 2, 3, \dots$
半波带数：第 $k$ 级暗纹对 $2k$ 个半波带
中央明纹宽度 $\Delta x_0 = 2f\lambda/a$
思路分析
第一问：暗纹级数 $k$ 与半波带 $N$ 的关系为 $N = 2k$。第二问：缝宽减半后，同一位置 $a\sin\theta$ 减半，重新判断级数
易错点
暗纹对应偶数个半波带，明纹对应奇数个半波长
缝宽变化时，衍射 $\theta$ 不变（同一观察点），但 $a\sin\theta$ 的值改
🔄 举一反三
单缝衍射中，若第 3 级暗纹对6 个半波带，现将缝宽增大一倍，原第 3 级暗纹处变为
查看练习答案与解析
答案：第 6 级暗纹
解析：原 $a\sin\theta = 3\lambda$，缝宽加倍后 $2a\sin\theta = 6\lambda$，对 $k=6$ 级暗纹
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一束自然光自空气入射到折射率为 $\sqrt{3}$ 的液体表面上，若反射光是线偏振光，则折射光的折射角为 $30^{\circ}$
查看答案与解析
详细推导：
布儒斯特定律：反射光为全偏振光时，入射角 $i_B = \arctan(n_2/n_1)$
计算入射 $i_B = \arctan(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$
折射角关系 $i_B + r = 90^{\circ} \implies r = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$
考点:
#布儒斯特定律#偏振光#折射定律💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
布儒斯特定律 $\tan i_B = \dfrac{n_2}{n_1}$
布儒斯特角关系：$i_B + r = 90^\circ$（反射光与折射光垂直
反射光为完全线偏振光（振动方向垂直于入射面）
思路分析
先由布儒斯特定律求起偏角 $i_B$，再利用 $i_B + r = 90^\circ$ 求折射角点
易错点
布儒斯特角公式中分子是折射介质折射率，分母是入射介质折射
只有反射光是完全偏振光，折射光是部分偏振
🔄 举一反三
自然光从折射率为 $1.5$ 的玻璃入射到空气，求布儒斯特角点
查看练习答案与解析
答案 $\arctan(1/1.5) \approx 33.7^\circ$
解析 $\tan i_B = n_2/n_1 = 1/1.5$，$i_B \approx 33.7^\circ$
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自然光投射到叠在一起的两块偏振片上，若透射光为入射光强 $1/4$，则两偏振片的夹角为 $45^{\circ}$
查看答案与解析
详细推导：
马吕斯定律 $I_{out} = I_1 \cos^2 \theta$。其 $I_1 = \frac{1}{2} I_{in}$（自然光通过第一块偏振片后）
建立等式 $\frac{1}{4} I_{in} = \frac{1}{2} I_{in} \cos^2 \theta \implies \cos^2 \theta = 1/2 \implies \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$
求解角度 $\theta = 45^{\circ}$
考点:
#马吕斯定律#偏振片#光强计算💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
马吕斯定律：$I = I_0 \cos^2\theta$
自然光通过偏振片：光强减半 $I_1 = I_{in}/2$
两偏振片组合：$I_{out} = \dfrac{I_{in}}{2} \cos^2\theta$
思路分析
自然光→第一偏振片（减半）→第二偏振片（马吕斯定律）。设总透射率为 $1/4$，反解夹角点
易错点
自然光通过第一个偏振片后光强变为一半，不是 $\cos^2\theta$
马吕斯定律中子$\theta$ 是两偏振片透振方向的夹
🔄 举一反三
两偏振片夹角点$60^\circ$，自然光入射，透射光强为入射光强的多少
查看练习答案与解析
答案 $1/8$
解析 $I_{out} = \dfrac{I_{in}}{2} \cos^2 60^\circ = \dfrac{I_{in}}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{I_{in}}{8}$
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粒子在一维无限深势阱中运动，势阱位于 $0 < x < a$ 区域。若粒子处在波函 $\psi = A \sin(3\pi x/a)$ 的量子态上，则粒子的能量量子数 $n =$ 3。在势阱中心 $x = a/2$ 处粒子出现的概率密度**$2/a$**
查看答案与解析
详细推导：
确定 $n$：无限深势阱波函数标准式 $\psi_n = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin(\frac{n\pi x}{a})$。对比系数得 $n=3$
概率密度 $P = |\psi(a/2)|^2 = A^2 \sin^2(3\pi/2) = A^2 \cdot (-1)^2 = A^2$
归一化常量 $A = \sqrt{2/a}$。故 $P = 2/a$
考点:
#一维无限深势阱#波函数归一化#概率密度💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
一维无限深势阱波函数：$\psi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{a}} \sin\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right)$
能量本征值：$E_n = \dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$
概率密度 $P(x) = |\psi(x)|^2$
思路分析
对比标准波函数形式确 $n$；将 $x = a/2$ 代入波函数求概率密度
易错点
归一化常量$A = \sqrt{2/a}$ 是标准结果，需记住
$\sin(3\pi/2) = -1$，平方后 $1$
🔄 举一反三
粒子在一维无限深势阱中处 $n=2$ 的态， $x = a/4$ 处概率密度为多少
查看练习答案与解析
答案 $2/a$
解析 $\psi_2(a/4) = \sqrt{2/a} \sin(2\pi \cdot a/4 / a) = \sqrt{2/a} \sin(\pi/2) = \sqrt{2/a}$，$P = 2/a$
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粒子作高速运动，当速度**$\frac{\sqrt{3}}{2}c$ ( $0.866c$)** 时其动能等于静止能量
查看答案与解析
详细推导：
动能公式 $K = E - E_0 = mc^2 - m_0 c^2 = (\gamma - 1)m_0 c^2$
建立方程 $(\gamma - 1)m_0 c^2 = m_0 c^2 \implies \gamma - 1 = 1 \implies \gamma = 2$
求解速度 $\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = 2 \implies 1 - v^2/c^2 = 1/4 \implies v = \frac{\sqrt{3}}{2}c$
考点:
#相对论动能#质能关系#洛伦兹因子💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
相对论动能：$K = E - E_0 = (\gamma - 1)m_0c^2$
静止能量 $E_0 = m_0c^2$
洛伦兹因子：$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$
思路分析
$K = E_0$ $\gamma - 1 = 1 \implies \gamma = 2$，代 $\gamma$ 定义式反 $v$
易错点
动能 $K = (\gamma-1)m_0c^2$，不 $\gamma m_0c^2$
经典动能 $mv^2/2$ 在高速下不适用
🔄 举一反三
粒子速度多大时，其总能量是静止能量3 倍？
查看练习答案与解析
答案 $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}c \approx 0.943c$
解析 $E = \gamma E_0 = 3E_0 \implies \gamma = 3$，$\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = 3 \implies v = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}c$
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三、计算题 (10
5 为一平面简谐波长$t = T/2$ 时刻的波形图
(1) 该波的波函数
(2) P 处质元的振动方程
(3) 若波传播方向与图示方向相反，其它条件均相同，求该波的波函数及 P 处质元的振动方程
查看答案与解析
*答案：
(1) $y = 0.06 \cos[\frac{\pi}{4}t - 5\pi x + \pi]$ ($\text{m}$)
(2) $y_P = 0.06 \cos[\frac{\pi}{4}t]$ ($\text{m}$)
(3) $y' = 0.06 \cos[\frac{\pi}{4}t + 5\pi x]$ ($\text{m}$)，$y_P' = 0.06 \cos[\frac{\pi}{4}t + \pi]$ ($\text{m}$)
详细推导：
参数提取 $A = 0.06$ $\text{m}$，$\lambda = 0.4$ $\text{m}$，波速 $u = 0.05$ $\text{m/s}$
波矢 $k = 2\pi / \lambda = 5\pi$
周期 $T = \lambda / u = 8$ $\text{s}$
角频率$\omega = 2\pi / T = \pi/4$
写波函数：设 $y = A \cos[\omega t - kx + \phi]$
$t = T/2 = 4$ $\text{s}$，波形为 $y(x, 4) = 0.06 \cos[\pi - 5\pi x + \phi]$
由图看，$x=0$ 时位移为 0 且斜率为正（向上），$0.06 \cos(\pi + \phi) = 0 \implies \phi = \pm \pi/2$
因为 $t=T/2$ $x=0$ 点正向平衡位置运动，相位应为 $-\pi/2$
$\pi + \phi = -\pi/2 \implies \phi = -3\pi/2 \equiv \pi/2$
(1) 结果 $y = 0.06 \cos[\frac{\pi}{4}t - 5\pi x + \pi/2 + \pi/2]$ ... 整理 $y = 0.06 \cos[\frac{\pi}{4}t - 5\pi x + \pi]$
P 点振动 $x_P = 0.2$ $\text{m}$
- $y_P = 0.06 \cos[\frac{\pi}{4}t - 5\pi \cdot 0.2 + \pi] = 0.06 \cos[\frac{\pi}{4}t]$
难度: ⭐⭐
考点: #波函数求解 #波形图分析 #振动方程
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
波函数标准形式：$y = A \cos(\omega t \mp kx + \phi)$
波矢 $k = 2\pi/\lambda$，角频率 $\omega = 2\pi/T$
波速：$u = \lambda/T = \omega/k$
振动方程：将 $x = x_P$ 代入波函
思路分析
从波形图提取 $A$，$\lambda$，计算 $k$，$\omega$
利用 $t = T/2$ 时刻波形确定初相 $\phi$
代入 $x_P$ P 点振动方程
反向传播 $kx$ 前符号取
易错点
波函数中 $kx$ 前的符号：沿 $+x$ 传播"$-$"，沿 $-x$ 传播"$+$"
初相确定需结合 $t$ 时刻波形和振动趋势
🔄 举一反三
一平面简谐波沿 $x$ 轴正方向传播，$t=0$ 时刻波形如图，$x=0$ 处质元向 $y$ 轴负方向运动，已知 $A=0.05$ m，$\lambda=0.4$ m，$u=0.08$ m/s，求波函数
查看练习答案与解析
答案 $y = 0.05 \cos[0.4\pi t - 5\pi x + \pi/2]$ m
解析 $\omega = 2\pi u/\lambda = 0.4\pi$，$k = 5\pi$，$t=0$，$x=0$，$y=0$ 且向负方向运动，$\phi = \pi/2$
四、计算题 (8
在双缝干涉实验中，波长$\lambda=600$ $\text{nm}$ 的单色平行光垂直入射到缝间距 $d=200$ $\mu\text{m}$ 的双缝上，屏到双缝的距离 $D=2$ $\text{m}$。求
(1) 写出明纹条件并计算相邻两条明纹间距；
(2) 中央明纹两侧的两条第 10 级明纹中心的间距
(3) 用一厚度 $e=6.0$ $\mu\text{m}$、折射率 $n=1.5$ 的云母片覆盖一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹处？
查看答案与解析
**答案：(1) $\Delta x = 6$ $\text{mm}$；(2) $120$ $\text{mm}$；(3) 5
详细推导：
明纹间距
条件：$d \sin \theta \approx d \frac{x}{D} = k\lambda$
$\Delta x = \frac{\lambda D}{d} = \frac{600 \times 10^{-9} \times 2}{200 \times 10^{-6}} = 6 \times 10^{-3}$ $\text{m} = 6$ $\text{mm}$
*10 级间
中央两侧各有一10 级，$x_{10} = 10 \Delta x = 60$ $\text{mm}$
总间 $L = 2x_{10} = 120$ $\text{mm}$
零级位移：
插入介质产生额外光程 $\Delta \delta = (n-1)e$
零级条件为总光程差为零，即 $d \frac{x'}{D} = (n-1)e$
对应的条纹级 $k = \frac{\Delta \delta}{\lambda} = \frac{(1.5 - 1) \times 6 \times 10^{-6}}{600 \times 10^{-9}} = \frac{3 \times 10^{-6}}{0.6 \times 10^{-6}} = 5$
故移向原来5 级处
难度: ⭐⭐
考点: #双缝干涉 #条纹间距 #插入介质引起条纹移动
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
双缝干涉明纹条件：$d\sin\theta \approx d\dfrac{x}{D} = \pm k\lambda$
条纹间距 $\Delta x = \dfrac{\lambda D}{d}$
插入介质附加光程差：$\Delta\delta = (n-1)e$
条纹移动级数 $\Delta k = \dfrac{(n-1)e}{\lambda}$
思路分析
(1) 直接代入条纹间距公式2)10 级位 $x_{10} = 10\Delta x$，两侧间距为 $2x_{10}$3) 零级条件为总光程差为零，介质产生的附加光程差需由几何光程差补偿
易错点
两侧10 级间距是 $2 \times 10\Delta x$，不 $10\Delta x$
插入介质后零级移向介质覆盖的缝一
🔄 举一反三
双缝干涉实验中，$\lambda=500$ nm，$d=0.5$ mm，$D=1$ m。若在一缝前插入 $n=1.5$，$e=0.01$ mm 的薄片，零级明纹移动多少 mm
查看练习答案与解析
答案 $10$ mm
解析 $\Delta k = (1.5-1)\times 0.01 \times 10^{-3} / (500 \times 10^{-9}) = 10$，移动距离 $= 10 \times \Delta x = 10 \times 1 = 10$ mm
五、计算题 (10
波长 $500$ $\text{nm}$ 的单色光垂直照射在光栅上，第二级明条纹出现在 $\sin\theta=1/6$ 处，第三级缺级。试求：
(1) 光栅常数 $a+b$
(2) 光栅上狭缝可能的最小宽 $a$
(3) 中央明带内的明纹主极大的数目
(4) 在光屏上可能观察到的全部级数
查看答案与解析
答案：1) $6$ $\mu\text{m}$2) $2$ $\mu\text{m}$3) 5 条；(4) $0, \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 7, \pm 8, \pm 10, \pm 11$
详细推导：
光栅常数计算
根据光栅方程 $(a+b) \sin \theta = k\lambda$
已知 $k=2$ 时，$\sin \theta = 1/6$，$\lambda = 500$ $\text{nm} = 500 \times 10^{-9}$ $\text{m}$
$(a+b) \cdot (1/6) = 2 \cdot 500 \times 10^{-9}$
$a+b = 12 \times 500 \times 10^{-9} = 6 \times 10^{-6}$ $\text{m} = 6$ $\mu\text{m}$
缺级与缝 $a$
缺级发生在光栅衍射的主极大位置刚好落在单缝衍射的暗纹位置
光栅明纹条件：$(a+b) \sin \theta = k\lambda$
单缝暗纹条件：$a \sin \theta = m\lambda$
相除 $\frac{a+b}{a} = \frac{k}{m}$
已知 $k=3$ 时缺级，取最小级 $m=1$
$\frac{6 \mu\text{m}}{a} = \frac{3}{1} \implies a = 2$ $\mu\text{m}$
*中央明带内的明纹
单缝衍射中央明带范围为第一级暗纹之间， $-\theta_0 < \theta < \theta_0$
$\sin \theta_0 = \lambda / a = 500 \times 10^{-9} / 2 \times 10^{-6} = 1/4$
在此范围内寻找光栅主极大：$(a+b) \sin \theta = k\lambda$
$k = \frac{(a+b) \sin \theta}{\lambda} < \frac{6 \times 10^{-6} \cdot (1/4)}{0.5 \times 10^{-6}} = 1.5/0.5 = 3$
级数 $k$ 取 $0, \pm 1, \pm 2$。但 $k=3$ 是边界且已知缺级
故中央明带内明纹数为 $0, \pm 1, \pm 2$，共 5 条（包括中央主极大）
全部可能观察到的级数
理论最大级 $\sin \theta \le 1 \implies k_{max} = \frac{a+b}{\lambda} = \frac{6}{0.5} = 12$
考虑缺级 $k = \frac{a+b}{a} m = 3m$，即 $3, 6, 9, 12$ 级消失
实际观察到：$0, \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 7, \pm 8, \pm 10, \pm 11$
难度: ⭐⭐
考点: #光栅方程 #缺级现象 #单缝衍射包络
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
光栅方程 $(a+b)\sin\theta = \pm k\lambda$，$k = 0, 1, 2, \dots$
缺级条件：$\dfrac{a+b}{a} = \dfrac{k}{m}$（$m$ 为单缝衍射暗纹级数）
最大级数：$k_{max} < \dfrac{a+b}{\lambda}$
单缝衍射中央明纹范围 $-\lambda/a < \sin\theta < \lambda/a$
::: note 方法总结
算常数：利用已知级数和角度代入光栅方程
定缺级：利用比值关 $(a+b)/a = k/m$ 确定缝宽
找包络：确定单缝衍射主极大的范围限制
:::
易错点
缺级是光栅主极大落在单缝衍射暗纹处，不是所 $3m$ 级都
中央明带内明纹数需排除缺级和边界级
🔄 举一反三
光栅常数 $d=4$ μm，缝 $a=1$ μm，$\lambda=500$ nm，求可能观察到的全部级数
查看练习答案与解析
答案 $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 7$
解析 $k_{max} < 4/0.5 = 8$，缺 $k = (4/1)m = 4m$，即 $\pm 4, \pm 8$ 缺级
六、计算题 (6
假定在康普顿散射实验中，入射光的波长 $\lambda_0=0.0030$ $\text{nm}$，反冲电子的速度 $v=0.6c$，求散射光的波长 $\lambda$
查看答案与解析
答案：$\lambda \approx 0.00434$ $\text{nm}$
详细推导：
*计算反冲电子的能量
利用相对论因 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.6^2}} = 1.25$
电子动能 $K = (\gamma - 1)m_e c^2$
$K = (1.25 - 1) \times 9.11 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^8)^2$
$K = 0.25 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16} = 2.05 \times 10^{-14}$ $\text{J}$
计算入射光子能量
$E_0 = h c / \lambda_0 = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{3 \times 10^{-12}}$
$E_0 = 6.63 \times 10^{-14}$ $\text{J}$
利用能量守恒定律
入射光子能量 = 散射光子能量 + 电子动能量
$E_{scatter} = E_0 - K = 6.63 \times 10^{-14} - 2.05 \times 10^{-14} = 4.58 \times 10^{-14}$ $\text{J}$
*求解散射光波长
$\lambda = h c / E_{scatter} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4.58 \times 10^{-14}}$
$\lambda = \frac{1.989 \times 10^{-25}}{4.58 \times 10^{-14}} \approx 4.34 \times 10^{-12}$ $\text{m}$
换算为纳米：$\lambda = 0.00434$ $\text{nm}$
难度: ⭐⭐
考点: #康普顿散射 #能量守恒 #相对论动能
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
光子能量 $E = h\nu = hc/\lambda$
相对论动能：$K = (\gamma - 1)m_ec^2$
能量守恒 $E_0 = E_{scatter} + K$
康普顿波长偏移：$\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0 = \dfrac{h}{m_ec}(1 - \cos\theta)$
::: note 方法总结
动能：利用相对论公式求出反冲电子获得的能量
守恒：光子损失的能量全部转化为电子的动能量
换算：利 $E = hc/\lambda$ 在能量和波长之间切换
:::
易错点
康普顿散射中光子不是被吸收，而是波长变长（能量减小）
反冲电子速度 $0.6c$ 需用相对论公式，不能用经典动能
🔄 举一反三
康普顿散射中，入射光 $\lambda_0=0.002$ nm，散射角 $90^\circ$，求散射光波长
查看练习答案与解析
答案 $\lambda \approx 0.00443$ nm
解析 $\Delta\lambda = \dfrac{h}{m_ec}(1 - \cos 90^\circ) = \dfrac{6.63\times 10^{-34}}{9.11\times 10^{-31} \times 3\times 10^8} \approx 0.00243$ nm，$\lambda = 0.002 + 0.00243 = 0.00443$ nm
七、计算题 (8
固有长度 $6$ $\text{m}$ 的宇宙飞船以速度 $v=0.6c$ 相对于地球飞行，求：
(1) 地面上的人测量飞船的长度为多少？
(2) 如果地面上有一个地标，则飞船和地面上观测者测得飞船经过地标所需的时间各为多少？
(3) 若有另一艘宇宙飞船以速度 $v=-0.6c$ 相对于地球飞行，求两艘宇宙飞船中的宇航员观测到的对方的速度大小为多少？
查看答案与解析
答案：1) $4.8$ $\text{m}$2) 地面 $2.67 \times 10^{-8}$ $\text{s}$，飞船$3.33 \times 10^{-8}$ $\text{s}$3) $0.882c$
详细推导：
长度收缩 $L = L_0 \sqrt{1 - (v/c)^2} = 6 \cdot 0.8 = 4.8$ $\text{m}$
过标时间
地面观测：飞船缩短为 $4.8$ $\text{m}$，速度 $0.6c$，$\Delta t = \frac{4.8}{0.6 \times 3 \times 10^8} = \frac{8}{3 \times 10^8} = 2.67 \times 10^{-8}$ $\text{s}$
飞船观测：飞船固有长度$6$ $\text{m}$，地标以 $0.6c$ 掠过，$\Delta t' = \frac{6}{0.6 \times 3 \times 10^8} = \frac{10}{3 \times 10^8} = 3.33 \times 10^{-8}$ $\text{s}$
速度合成 $u' = \frac{u - v}{1 - uv/c^2}$
- $u = 0.6c, v = -0.6c \implies u' = \frac{0.6c - (-0.6c)}{1 - (0.6)(-0.6)} = \frac{1.2c}{1.36} \approx 0.882c$
难度: ⭐⭐
考点: #长度收缩 #时间膨胀 #相对论速度合成
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
长度收缩 $L = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}$
时间膨胀 $\Delta t = \dfrac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$
相对论速度合成 $u' = \dfrac{u - v}{1 - uv/c^2}$
::: note 方法总结
长度：识别固有长度$L_0$（静止坐标系测得），运动系测得收缩后 $L$
时间：识别固有时间$\Delta \tau$（同一地点发生的两个事件的时间间隔）
:::
易错点
长度收缩只发生在运动方向，垂直方向不变
速度合成公式分母 $1 - uv/c^2$，注意符号
🔄 举一反三
飞船 $0.8c$ 飞离地球，飞船上的宇航员测得飞船长度 $100$ m，则地面观测者测得飞船长度为多少
查看练习答案与解析
答案 $60$ m
解析 $L = L_0\sqrt{1-0.8^2} = 100 \times 0.6 = 60$ m
附：常用物理常数
*普朗克常量: $h = 6.63 \times 10^{-34}$ $\text{J}\cdot\text{s}$
电子静止质量: $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ $\text{kg}$
光速: $c = 3 \times 10^8$ $\text{m/s}$
波尔兹曼常数: $k = 1.38 \times 10^{-23}$ $\text{J/K}$