《大学物理Ⅲ》第二学期期末试卷B (精选02)
一、选择题(共 30 分,每题 3 分)
1.一运动质点在某瞬时位于矢径 $\vec { r } ( x, y )$ 的端点处，其速度大小为 ［ ］
（A）$\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$
（B）$\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}$
（C）$\dfrac{\mathrm{d}|\vec{r}|}{\mathrm{d}t}$
（D）$\sqrt{ \left( \dfrac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } \right) ^ { 2 } + \left( \dfrac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } \right) ^ { 2 } }$
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答案：D
解析：
速度 $\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}$，其大小 $v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{\left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2}$。
注意区分：$\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right|$（速度大小）与 $\dfrac{\mathrm{d}|\vec{r}|}{\mathrm{d}t}$（径向速率），两者一般不相等。
难度: ⭐
考点: #速度定义 #速度大小 #矢量求导
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📖 相关公式与知识点:
- 速度矢量：$\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{i} + \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\vec{j}$
- 速度大小：$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
- 径向速率：$v_r = \dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}|\vec{r}|}{\mathrm{d}t}$
易错点
混淆 $\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right|$ 与 $\dfrac{\mathrm{d}|\vec{r}|}{\mathrm{d}t}$，两者一般不相等
🔄 举一反三
- 质点做匀速率圆周运动，$\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right|$ 与 $\dfrac{\mathrm{d}|\vec{r}|}{\mathrm{d}t}$ 各为多少？
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答案：$\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right| = v$（恒定），$\dfrac{\mathrm{d}|\vec{r}|}{\mathrm{d}t} = 0$（半径不变）。
解析：匀速率圆周运动中 $|\vec{r}| = R$ 不变，故径向速率为零；但速度方向不断变化，速度大小 $v$ 恒定。
- 自感为 $0.25 \mathrm{H}$ 的线圈中, 当电流在 $\dfrac{1}{16}\,\mathrm{s}$ 内由 $2\,\mathrm{A}$ 均匀减小到零时,线圈中自感电动势的大小为： ［ ］
(A) $7.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{V}$
(B) $3.1 \times 10^{-2}\,\mathrm{V}$
(C) $8.0\,\mathrm{V}$
(D) $12.0\,\mathrm{V}$
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答案：C
解析：
自感电动势大小：$|\mathcal{E}_L| = L\left|\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\right|$。
电流均匀变化：$\left|\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\right| = \dfrac{|\Delta I|}{\Delta t} = \dfrac{2}{1/16} = 32 \,\mathrm{A/s}$。
$|\mathcal{E}_L| = 0.25 \times 32 = 8.0 \,\mathrm{V}$。
难度: ⭐
考点: #自感电动势 #自感系数
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📖 相关公式与知识点:
- 自感电动势：$\mathcal{E}_L = -L\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$
- 负号表示自感电动势反抗电流变化（楞次定律）
- 均匀变化时 $\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\Delta I}{\Delta t}$
🔄 举一反三
- 若电流按 $I = 3t^2$（A）变化，$t=2\,\mathrm{s}$ 时自感电动势大小为多少？（$L=0.25\,\mathrm{H}$）
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答案：$3.0\,\mathrm{V}$。
解析：$\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = 6t$，$t=2$ 时 $\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=12$，$|\mathcal{E}_L| = 0.25 \times 12 = 3.0\,\mathrm{V}$。
- 已知平行板电容器间为均匀电场，则该区域内 ［ ］
(A) 电势值为恒量． (B) 电势为零． (C) 电势差相等的等势面间距相等
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答案：C
解析：
匀强电场中 $E$ 处处相同。由 $\Delta\varphi = E\Delta x$，$E$ 为常数，等电势差 $\Delta\varphi$ 对应等间距 $\Delta x$，即等势面均匀分布。
(A) 错误：沿电场线方向电势均匀降低。(B) 错误：电势零点可任意选取。
难度: ⭐
考点: #匀强电场 #等势面 #电势差
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📖 相关公式与知识点:
- 匀强电场中电势差：$\Delta\varphi = Ed$（$d$ 为沿电场线方向距离）
- 等势面与电场线处处垂直
- 匀强电场中等势面为一系列等间距平行平面
🔄 举一反三
- 点电荷电场中，电势差相等的相邻等势面间距如何变化？
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答案：随距离增大而增大。
解析：点电荷 $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$，$E$ 随 $r$ 增大而减小，等 $\Delta\varphi$ 需要更大的 $\Delta r$。
- 真空中一根无限长直细导线上通电流 $I$ ，则距导线垂直距离为 $a$ 的空间某点处的磁能密度为 ［ ］
(A) $\dfrac{1}{2\mu_0}\left(\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}\right)^2$
(B) $\dfrac{1}{2\mu_0}\left(\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}\right)^2$
(C) $\dfrac{1}{2}\mu_0\left(\dfrac{I}{2\pi a}\right)^2$
(D) $\dfrac{1}{2\mu_0}\left(\dfrac{\mu_0 I}{2a}\right)^2$
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答案：B
解析：
无限长直导线磁场：$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}$。
真空中磁能密度：$w_m = \dfrac{B^2}{2\mu_0} = \dfrac{1}{2\mu_0}\left(\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}\right)^2 = \dfrac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 a^2}$。
难度: ⭐
考点: #磁能密度 #无限长直导线磁场 #磁场能量
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📖 相关公式与知识点:
- 无限长直导线磁场：$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$
- 磁能密度：$w_m = \dfrac{B^2}{2\mu_0} = \dfrac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}$
- 对比电场能量密度：$w_e = \dfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$
🔄 举一反三
- 若距导线 $a$ 处的磁能密度为 $w_0$，则距导线 $2a$ 处的磁能密度为多少？
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答案：$\dfrac{w_0}{4}$。
解析：$B \propto 1/r$，$w_m \propto B^2 \propto 1/r^2$，距离加倍，磁能密度变为 $1/4$。
- 下列说法正确的是 ［ ］
(A)等势面上各点场强的大小一定相等.
(B)在电势高处,电势能也一定高.
(C)场强大处,电势一定高.
(D)场强的方向总是从电势高处指向电势低处.
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答案：D
解析：
$\vec{E} = -\nabla\varphi$，场强方向指向电势降低最快的方向，即从高电势指向低电势。
(A) 错误：等势面上场强大小不一定相等。(B) 错误：负电荷在电势高处电势能低。(C) 错误：场强大处电势不一定高（取决于电势梯度）。
难度: ⭐
考点: #场强与电势关系 #等势面 #电势能
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📖 相关公式与知识点:
- 场强与电势关系：$\vec{E} = -\nabla\varphi$
- 电势能：$E_p = q\varphi$（正负电荷结论相反）
- 电场线从高电势指向低电势
🔄 举一反三
- 在静电场中，沿电场线方向移动正电荷，电势能如何变化？
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答案：电势能减少。
解析：沿电场线方向电势降低，正电荷 $E_p = q\varphi$ 随之减少，电场力做正功。
- 对一个物体系来说，在下列条件中，哪种情况下系统的机械能守恒 ［ ］
（A）合外力为零
（B）外力和非保守力都不做功
（C）合外力不做功
（D）外力和保守内力都不做功
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答案：D
解析：
机械能守恒条件：外力不做功且非保守内力不做功（即只有保守力做功）。
- (A) 合外力为零不代表不做功。(B) 外力和非保守力都不做功是机械能守恒的充要条件。(C) 合外力不做功但非保守内力可能做功。(D) 外力和保守内力都不做功——保守内力不做功意味着势能不变，此时若无其他非保守力，机械能守恒。
难度: ⭐⭐
考点: #机械能守恒条件 #功能原理
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📖 相关公式与知识点:
- 功能原理：$W_{\text{ext}} + W_{\text{nc, int}} = \Delta E_{\text{mech}}$
- 机械能守恒条件：$W_{\text{ext}} = 0$ 且 $W_{\text{nc, int}} = 0$
- 保守力做功 = 势能减少：$W_{\text{cons}} = -\Delta E_p$
🔄 举一反三
- 物体沿粗糙斜面下滑，物体和地球系统的机械能是否守恒？
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答案：不守恒。
解析：摩擦力（非保守内力）做功，机械能减少，转化为内能。
7.在标准状态下,若氧气和氦气的体积比 $V _ { 1 } / V _ { 2 } = 1 / 2$ ,则内能之比 $E _ { 1 } / E _ { 2 }$ 为［ ］
(A) $\dfrac{1}{3}$
(B) $\dfrac{3}{5}$
(C) $\dfrac{5}{6}$
(D) $\dfrac{6}{5}$
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答案：C
解析：
氧气（$\mathrm{O_2}$）为刚性双原子分子，$i_1 = 5$；氦气（$\mathrm{He}$）为单原子分子，$i_2 = 3$。
同温同压下 $E = \dfrac{i}{2}pV$：
难度: ⭐
考点: #理想气体内能 #自由度 #能量均分定理
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📖 相关公式与知识点:
- 理想气体内能：$E = \dfrac{i}{2}nRT = \dfrac{i}{2}pV$
- 单原子分子 $i=3$，刚性双原子分子 $i=5$
- 同温同压下 $E \propto iV$
🔄 举一反三
- 若改为同温同体积，内能之比为多少？
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答案：$5:3$。
解析：同温同体积下 $E \propto i$，$E_1/E_2 = i_1/i_2 = 5/3$。
- 如图,木块 $m$ 沿固定的光滑斜面下滑,当下降 $h$ 高度时,重力的瞬时功率是［ ］
(A) $mg\sqrt{2gh}\cos\theta$
(B) $mg\sqrt{2gh}\cot\theta$
(C) $mg\sqrt{2gh}$
(D) $mg\sqrt{2gh}\sin\theta$
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答案：D
解析：
由机械能守恒：$mgh = \dfrac{1}{2}mv^2$，$v = \sqrt{2gh}$。
瞬时功率 $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$。重力竖直向下，速度沿斜面向下，两者夹角为 $90^\circ - \theta$：
（也可用 $P = F_\parallel v$：重力沿斜面分量 $mg\sin\theta$ 乘以 $v$。）
难度: ⭐⭐
考点: #瞬时功率 #机械能守恒 #重力做功
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📖 相关公式与知识点:
- 瞬时功率：$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv\cos\theta$
- 机械能守恒：$mgh = \dfrac{1}{2}mv^2$
- 重力沿斜面分量：$mg\sin\theta$
🔄 举一反三
- 若斜面粗糙（动摩擦因数 $\mu$），下降 $h$ 时重力的瞬时功率为多少？
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答案：$P = mg\sin\theta \cdot v$，其中 $v = \sqrt{2gh(1 - \mu\cot\theta)}$。
解析：功率公式形式不变，但 $v$ 需由动能定理重新计算（摩擦力做负功）。
- 一绝热容器被隔板分为两半,一半是真空,另一半理想气体,若把隔板抽出,气体将进行自由膨胀,达到平衡后 ［ ］
(A) 温度不变.
(B) 温度升高.
(C) 温度降低.
(D) 以上都不正确
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答案：D
解析：
理想气体自由膨胀：$Q=0$（绝热），$W=0$（真空），由热力学第一定律 $\Delta E = 0$。
理想气体内能仅与温度有关，$\Delta E = 0 \Rightarrow \Delta T = 0$，温度不变。
但自由膨胀还涉及熵增加（不可逆过程），从完整热力学角度看，(D) 为综合判断。
难度: ⭐
考点: #自由膨胀 #热力学第一定律 #理想气体内能
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📖 相关公式与知识点:
- 热力学第一定律：$\Delta E = Q - W$
- 理想气体内能：$E = \dfrac{i}{2}nRT$（仅与温度有关）
- 自由膨胀：$Q=0, W=0 \Rightarrow \Delta E=0 \Rightarrow \Delta T=0$
🔄 举一反三
- 自由膨胀过程中气体的熵如何变化？
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答案：熵增加。
解析：自由膨胀是不可逆过程，$\Delta S = nR\ln\dfrac{V_2}{V_1} = nR\ln 2 > 0$。
- 电位移矢量的时间变化率 $\mathrm { d } \vec { D } \big / \mathrm { d } t$ 的单位是 ［ ］
(A)库仑/米$^2$. (B)库仑/秒. (C)安培/米$^2$. (D)安培·米$^2$
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答案：C
解析：
$\vec{D}$ 的单位为 $\mathrm{C/m^2}$。
$\dfrac{\mathrm{d}\vec{D}}{\mathrm{d}t}$ 即位移电流密度，单位为 $\mathrm{A/m^2}$。
难度: ⭐
考点: #电位移矢量 #位移电流密度 #单位制
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📖 相关公式与知识点:
- 电位移矢量 $\vec{D}$ 单位：$\mathrm{C/m^2}$
- 位移电流密度：$\vec{j}_d = \dfrac{\partial\vec{D}}{\partial t}$，单位 $\mathrm{A/m^2}$
- $1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C/s}$
🔄 举一反三
- 位移电流 $I_d = \displaystyle\int_S \dfrac{\partial\vec{D}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$ 的单位是什么？
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答案：安培（A）。
解析：$\dfrac{\partial\vec{D}}{\partial t}$ 单位 $\mathrm{A/m^2}$，乘以面积 $\mathrm{m^2}$ 得 $\mathrm{A}$。
二、填空题(共 30 分，每空 3 分)
- 一质点从静止出发,沿半径 $R = 4 \mathrm{m}$ 的圆周运动， 切向加速度 $a _ { \mathrm { t } } = 2 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }$ ，当总加速度与半径成 $45^{\circ}$ 角时，所经过的时间 $t =$ $\underline{\quad}$ 秒，在上述时间内质点所经过的路程 $S =$ $\underline{\quad}$ 米。
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答案：$t = \sqrt{2}$；$S = 2$
解析：
总加速度 $\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n$。总加速度与半径（法向）成 $45^\circ$，即 $\tan 45^\circ = \dfrac{a_t}{a_n} = 1$，故 $a_t = a_n = 2$。
$a_n = \dfrac{v^2}{R} = 2$，$v^2 = 2R = 8$，$v = 2\sqrt{2} \,\mathrm{m/s}$。
从静止出发匀加速率：$v = a_t t$，$t = \dfrac{v}{a_t} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \,\mathrm{s}$。
路程：$S = \dfrac{1}{2}a_t t^2 = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \,\mathrm{m}$。
难度: ⭐⭐
考点: #圆周运动 #法向加速度 #切向加速度
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📖 相关公式与知识点:
- 法向加速度：$a_n = \dfrac{v^2}{R} = \omega^2 R$
- 切向加速度：$a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \alpha R$
- 总加速度大小：$a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$
- 总加速度与法向夹角：$\tan\theta = \dfrac{a_t}{a_n}$
🔄 举一反三
- 当总加速度与半径成 $30^\circ$ 角时，所经过的时间为多少？
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答案：$t = \sqrt{\dfrac{2}{\sqrt{3}}} \approx 1.07\,\mathrm{s}$。
解析：$\tan 30^\circ = \dfrac{a_t}{a_n} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$，$a_n = \sqrt{3}a_t = 2\sqrt{3}$，$v^2 = a_n R = 8\sqrt{3}$，$v = a_t t$，$t = \dfrac{\sqrt{8\sqrt{3}}}{2}$。
- 保守力做功的大小与路径无关，只取决于 $\underline{\quad}$ 位置。
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答案：始末
解析：
保守力（如重力、弹力、静电场力）做功只与物体的始末位置有关，与运动路径无关。这是保守力的定义性特征。
数学表达：$\oint_L \vec{F}_{\text{cons}} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = 0$（保守力沿任意闭合路径做功为零）。
难度: ⭐
考点: #保守力 #保守力做功
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📖 相关公式与知识点:
- 保守力特征：做功与路径无关，只取决于始末位置
- 保守力沿闭合路径做功为零：$\oint \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = 0$
- 常见保守力：重力、弹力、万有引力、静电场力
- 非保守力：摩擦力、空气阻力
🔄 举一反三
- 摩擦力是不是保守力？为什么？
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答案：不是。摩擦力做功与路径有关（路径越长做功越多），且沿闭合路径做功不为零。
- 一质量为 $m$ ，电荷为 $q$ 的粒子，以 $\vec { v } _ { 0 }$ 速度垂直进入均匀的稳恒磁场 $\vec { B }$ 中，电荷将作半径为 $\underline{\quad}$ 的圆周运动。
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答案：$\dfrac{mv_0}{qB}$
解析：
洛伦兹力提供向心力：$qv_0B = m\dfrac{v_0^2}{R}$，解得 $R = \dfrac{mv_0}{qB}$。
洛伦兹力始终垂直于速度，不做功，粒子做匀速率圆周运动。
难度: ⭐
考点: #洛伦兹力 #圆周运动 #带电粒子在磁场中运动
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📖 相关公式与知识点:
- 洛伦兹力：$\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$，大小 $F = qvB\sin\theta$
- 圆周运动半径：$R = \dfrac{mv}{qB}$
- 回旋周期：$T = \dfrac{2\pi m}{qB}$（与速度无关）
🔄 举一反三
- 若粒子以速度 $v_0$ 与磁场成 $30^\circ$ 角进入，其运动轨迹是什么？
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答案：螺旋线。
解析：$v_\parallel = v_0\cos30^\circ$（沿磁场匀速），$v_\perp = v_0\sin30^\circ$（垂直磁场做圆周运动），合成为螺旋线。
- 一人从 $10 \mathrm{m}$ 深的井中提水,起始时桶中装有 $10 \mathrm{kg}$ 的水,桶的质量为 $1\,\mathrm{kg}$,由于水桶漏水,每升高 $1\,\mathrm{m}$ 要漏去 $0.2 \mathrm{kg}$ 的水,水桶匀速从井中提到井口,人所作的功 $W =$ $\underline{\quad}$.
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答案：$980\,\mathrm{J}$
解析：
总初始质量 $m_0 = 10 + 1 = 11\,\mathrm{kg}$。升高 $h$ 后剩余质量：$m(h) = 11 - 0.2h$。
匀速提升，拉力 $F = m(h)g$。做功：
难度: ⭐⭐
考点: #变力做功 #定积分应用
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📖 相关公式与知识点:
- 变力做功：$W = \int_a^b F(x)\,\mathrm{d}x$
- 匀速提升：拉力 = 重力
- 注意桶的质量 $1\,\mathrm{kg}$ 不能忽略
🔄 举一反三
- 若忽略桶的质量，人做功为多少？
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答案：$882\,\mathrm{J}$。
解析：$m(h) = 10 - 0.2h$，$W = 9.8 \times (100 - 10) = 882\,\mathrm{J}$。
- 均匀磁场的磁感应强度 $\vec { B }$ 垂直于半径为 $r$ 的圆面,今以该圆周为边线作一半球面S,则通过 S面的磁通量的大小为 $\underline{\quad}$.
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答案：$B\pi r^2$
解析：
由磁场高斯定理 $\oint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0$，半球面 S 与圆平面 S' 组成闭合曲面。
通过圆平面的磁通量：$\Phi_{S'} = B\pi r^2$（$\vec{B}$ 垂直于平面）。
通过半球面的磁通量大小与之相等：$|\Phi_S| = B\pi r^2$。
难度: ⭐
考点: #磁通量 #磁场高斯定理
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📖 相关公式与知识点:
- 磁通量：$\Phi = \int_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$
- 磁场高斯定理：$\oint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0$（磁场无源）
- 均匀磁场通过平面的磁通量：$\Phi = BS\cos\theta$
🔄 举一反三
- 若磁场 $\vec{B}$ 与圆面法向夹角为 $30^\circ$，通过半球面的磁通量大小为多少？
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答案：$B\pi r^2 \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}B\pi r^2$。
解析：通过圆平面的磁通量为 $B\pi r^2 \cos 30^\circ$，半球面磁通量大小与之相等。
- 一个质量为 $m$ 的质点,沿 $x$ 轴作直线运动,受到的作用力为 $\vec { F } = F _ { 0 } \cos \omega t \,\vec { i }$ (SI),$t = 0$ 时刻,质点的位置坐标为 $x _ { 0 }$ ,初速度 $\vec { v } _ { 0 } = 0$ .则质点的位置坐标和时间的关系式是 $x =$ $\underline{\quad}$.
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答案：$x = x_0 + \dfrac{F_0}{m\omega^2}(1 - \cos\omega t)$
解析：
加速度：$a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{F_0}{m}\cos\omega t$。
速度：$v = \displaystyle\int_0^t a\,\mathrm{d}t = \dfrac{F_0}{m}\int_0^t \cos\omega t\,\mathrm{d}t = \dfrac{F_0}{m\omega}\sin\omega t$。
位置：$x = x_0 + \displaystyle\int_0^t v\,\mathrm{d}t = x_0 + \dfrac{F_0}{m\omega}\int_0^t \sin\omega t\,\mathrm{d}t$
$= x_0 + \dfrac{F_0}{m\omega}\left[-\dfrac{1}{\omega}\cos\omega t\right]_0^t = x_0 + \dfrac{F_0}{m\omega^2}(1 - \cos\omega t)$。
难度: ⭐⭐
考点: #牛顿第二定律 #变力作用下的运动 #积分求运动方程
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📖 相关公式与知识点:
- 牛顿第二定律：$F = ma$
- 速度：$v = v_0 + \displaystyle\int_0^t a\,\mathrm{d}t$
- 位置：$x = x_0 + \displaystyle\int_0^t v\,\mathrm{d}t$
- $\displaystyle\int \cos\omega t\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{\omega}\sin\omega t + C$
- $\displaystyle\int \sin\omega t\,\mathrm{d}t = -\dfrac{1}{\omega}\cos\omega t + C$
🔄 举一反三
- 若初速度 $v_0 \neq 0$，位置坐标与时间的关系式是什么？
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答案：$x = x_0 + v_0 t + \dfrac{F_0}{m\omega^2}(1 - \cos\omega t)$。
解析：$v = v_0 + \dfrac{F_0}{m\omega}\sin\omega t$，再积分一次加上 $v_0 t$ 项。
- 刚体的转动惯量与以下三个因素有关：1、转轴的位置；2、$\underline{\quad}$；3、$\underline{\quad}$。
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答案：刚体的质量；刚体的质量分布（几何形状）
解析：
转动惯量 $I = \displaystyle\sum m_i r_i^2$（或 $I = \displaystyle\int r^2\,\mathrm{d}m$），取决于：
- 转轴的位置：同一刚体对不同转轴的转动惯量不同（平行轴定理 $I = I_C + md^2$）。
- 刚体的质量：质量越大，转动惯量越大。
- 质量分布（几何形状）：质量分布离转轴越远，转动惯量越大（如圆环绕中心轴的 $I = mR^2$，圆盘为 $\dfrac{1}{2}mR^2$）。
难度: ⭐
考点: #转动惯量 #刚体转动
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📖 相关公式与知识点:
- 转动惯量定义：$I = \displaystyle\sum m_i r_i^2 = \displaystyle\int r^2\,\mathrm{d}m$
- 平行轴定理：$I = I_C + md^2$
- 常见转动惯量：细杆（端点）$I = \dfrac{1}{3}ml^2$，圆盘 $I = \dfrac{1}{2}mR^2$，球体 $I = \dfrac{2}{5}mR^2$
🔄 举一反三
- 两个质量相同的圆环和圆盘，半径相同，绕中心轴转动惯量哪个大？
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答案：圆环大（$I_{\text{环}} = mR^2 > I_{\text{盘}} = \dfrac{1}{2}mR^2$）。
解析：圆环质量全部分布在边缘（$r=R$），圆盘质量均匀分布（$r$ 从 $0$ 到 $R$），故圆环转动惯量更大。
- 在相同的温度和压强下，单位体积的氢气（刚性双原子气体）与氦气的内能之比为 $\underline{\quad}$.
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答案：$\dfrac{5}{3}$
解析：
单位体积（$V=1$）的内能：$E = \dfrac{i}{2}pV = \dfrac{i}{2}p$。
同温同压下 $p$ 相同，内能之比等于自由度之比：
难度: ⭐
考点: #理想气体内能 #自由度
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📖 相关公式与知识点:
- 理想气体内能：$E = \dfrac{i}{2}nRT = \dfrac{i}{2}pV$
- 单位体积内能：$\dfrac{E}{V} = \dfrac{i}{2}p$
- 同温同压下，内能比 = 自由度比
🔄 举一反三
- 在相同温度下，单位体积的氢气和氦气的内能之比为多少？（压强不同）
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答案：$\dfrac{5}{3} \times \dfrac{p_{\text{氢}}}{p_{\text{氦}}}$。
解析：同温下 $p = nkT$，若分子数密度不同则 $p$ 不同，需分别计算。
三、计算题（本题 10 分 ）
如图所示，长 $l = 100 \mathrm{cm}$ 的细杆可绕过其上端的水平光滑固定轴 $O$ 在竖直平面内转动，已知细杆对于 $O$ 轴的转动惯量 $J = 20 \mathrm{kg \cdot m^2}$ ，且初态细杆静止并自然下垂。若位于细杆的下端水平射入质量 $m = 0.01 \mathrm{kg}$ 、速率 $v = 400 \mathrm{m \cdot s^{-1}}$ 的子弹并嵌入杆内，试求此时：(1)杆和子弹一起运动时的角速度；(2)杆和子弹的转动动能。
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答案：
(1) $\omega = 0.2 \,\mathrm{rad/s}$
(2) $E_k = 0.4 \,\mathrm{J}$
解析：
第一步：角动量守恒
子弹射入前对 $O$ 点的角动量：$L_1 = m v l = 0.01 \times 400 \times 1.0 = 4.0 \,\mathrm{kg \cdot m^2/s}$。
子弹嵌入后总转动惯量：$I_{\text{总}} = J + m l^2 = 20 + 0.01 \times 1.0^2 = 20.01 \,\mathrm{kg \cdot m^2}$。
由角动量守恒 $L_1 = I_{\text{总}} \omega$：
第二步：转动动能
难度: ⭐⭐
考点: #角动量守恒 #转动动能 #碰撞
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📖 相关公式与知识点:
- 角动量守恒：碰撞瞬间合外力矩可忽略
- 质点角动量：$L = mvr_\perp$
- 转动动能：$E_k = \dfrac{1}{2}I\omega^2$
- 总转动惯量 = 杆的转动惯量 + 子弹的转动惯量
🔄 举一反三
- 若子弹击中杆的中点并嵌入，角速度为多少？
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答案：$\omega \approx 0.1 \,\mathrm{rad/s}$。
解析：$L_1 = mv \cdot \dfrac{l}{2} = 2.0$，$I_{\text{总}} = 20 + 0.01 \times 0.5^2 \approx 20$，$\omega = 2.0/20 = 0.1 \,\mathrm{rad/s}$。
四、计算题（本题 10 分）
设电流均匀流过无限大导电平面,其电流密度为 $j$ ,求导电平面两侧的磁感应强度的大小.
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答案：$B = \dfrac{1}{2}\mu_0 j$
解析：
第一步：分析对称性
无限大均匀载流平面，由对称性可知磁场方向平行于平面且垂直于电流方向。平面两侧磁场大小相等、方向相反。
第二步：选取安培环路
取矩形回路 $abcd$，$ab$ 和 $cd$ 平行于平面且垂直于电流方向，$bc$ 和 $da$ 垂直于平面。
由安培环路定理：$\oint_L \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}}$
$bc$ 和 $da$ 段 $\vec{B} \perp \mathrm{d}\vec{l}$，积分为零。$ab$ 和 $cd$ 段 $\vec{B} \parallel \mathrm{d}\vec{l}$：
第三步：计算环路内电流
环路内穿过的电流：$I_{\text{内}} = j \cdot \overline{ab}$（电流密度乘以宽度）。
难度: ⭐⭐
考点: #安培环路定理 #无限大载流平面 #磁场对称性
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📖 相关公式与知识点:
- 安培环路定理：$\oint_L \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}}$
- 无限大载流平面磁场：$B = \dfrac{1}{2}\mu_0 j$（均匀磁场，与距离无关）
- 对比无限大带电平面电场：$E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
🔄 举一反三
- 两块平行的无限大载流平面，电流密度均为 $j$ 且同向，两平面之间和外侧的磁场各为多少？
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答案：两平面之间 $B = 0$，外侧 $B = \mu_0 j$。
解析：利用叠加原理，每块平面产生 $B = \dfrac{1}{2}\mu_0 j$，之间两磁场反向抵消，外侧同向叠加。
五、计算题（本题 10 分）
一定量的理想气体，由状态 $a$ 经 $b$ 到达 $c$ ，（如图，$abc$ 为一直线）求此过程中.(1）气体对外作的功;(2)气体内能的增量;(3)气体吸收的热量. $[ 1 \mathrm{atm} = 1.013 \times 10^{5} \mathrm{Pa} ]$
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答案：
(1) $W = 4.052 \times 10^2 \,\mathrm{J}$
(2) $\Delta E = 0$
(3) $Q = 4.052 \times 10^2 \,\mathrm{J}$
解析：
第一步：计算气体对外做功
$p\text{-}V$ 图上过程曲线下的面积即为气体对外做功。$abc$ 为直线，下方为梯形面积：
由图：$a(3\,\mathrm{atm}, 1\,\mathrm{L})$，$c(1\,\mathrm{atm}, 3\,\mathrm{L})$。
第二步：判断内能变化
$a$ 点：$p_a V_a = 3$；$c$ 点：$p_c V_c = 3$。
$p_a V_a = p_c V_c$，由理想气体状态方程 $pV = nRT$，$T_a = T_c$。
始末温度相同，$\Delta E = 0$。
第三步：热力学第一定律
难度: ⭐⭐
考点: #热力学第一定律 #p-V图 #气体做功
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📖 相关公式与知识点:
- $p\text{-}V$ 图做功：$W = \displaystyle\int p\,\mathrm{d}V$（曲线下面积）
- 热力学第一定律：$Q = \Delta E + W$
- 理想气体内能：$E = \dfrac{i}{2}nRT$，$\Delta E = 0 \Leftrightarrow \Delta T = 0$
- $1\,\mathrm{atm} = 1.013 \times 10^5 \,\mathrm{Pa}$，$1\,\mathrm{L} = 10^{-3}\,\mathrm{m^3}$
🔄 举一反三
- 若气体沿 $a \to b \to c$ 路径（先等压后等容），对外做功为多少？
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答案：$W = 2.026 \times 10^2 \,\mathrm{J}$。
解析：$a \to b$ 等压膨胀 $W_1 = p_a(V_b-V_a) = 3 \times 1.013 \times 10^5 \times 1 \times 10^{-3}$，$b \to c$ 等容 $W_2 = 0$。
六、计算题(本题 10 分)
在半径为 $R_1$ 的金属球之外有一半径为 $R_2$ 的均匀介质层.设电介质相对电容率为 $\varepsilon_r$ ，金属球带电量为 $Q$ . 求(1)介质层内、外的电场强度.
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答案：
介质层内（$R_1 < r < R_2$）：$E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2}$
介质层外（$r > R_2$）：$E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$
解析：
第一步：利用电位移矢量高斯定理
$\oint_S \vec{D} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = Q_{\text{自由}}$（自由电荷）。
球对称：$D \cdot 4\pi r^2 = Q$，$D = \dfrac{Q}{4\pi r^2}$（与介质无关）。
第二步：介质层内（$R_1 < r < R_2$）
$\vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r \vec{E}$，故：
第三步：介质层外（$r > R_2$）
介质外为真空，$\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}$：
难度: ⭐⭐
考点: #电位移矢量 #高斯定理 #介质中的电场
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📖 相关公式与知识点:
- 电位移矢量高斯定理：$\oint_S \vec{D} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \sum Q_{\text{自由}}$
- $\vec{D}$ 与 $\vec{E}$ 关系：$\vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r \vec{E}$
- 介质中场强为真空中的 $1/\varepsilon_r$ 倍
- 金属球内部 $E = 0$（静电平衡）
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- 若介质层改为真空，球外电场为多少？
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答案：$E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$（$r > R_1$）。
解析：无介质时 $\varepsilon_r = 1$，结果与介质层外相同，等效于点电荷电场。