《大学物理Ⅲ》第二学期期末试卷A (精选01)
一、选择题(共 30 分,每题 3 分)
- 如图,在螺线管中心外侧上放一小磁针,当电键闭合时,小磁针的 $N$ 极的指向
(A) 向外转 $90^{\circ}$ .
(B) 向里转 $90^{\circ}$
(C) 保持图示位置不动.
(D) 旋转 $180^{\circ}$
［ ］
查看答案与解析
答案：D
解析：
第一步：分析螺线管磁场方向
电键闭合后，螺线管中通有电流。根据右手螺旋定则（安培定则），右手握住螺线管，四指弯曲方向为电流方向，拇指所指方向即为螺线管内部磁场方向（$N$ 极方向）。
第二步：判断小磁针受力
小磁针在磁场中，其 $N$ 极将指向磁场方向。螺线管通电后产生的磁场方向沿轴线，小磁针位于中心外侧，其 $N$ 极将转向与螺线管内部磁场方向一致。
第三步：确定转动角度
根据图示位置，小磁针初始方向与通电后磁场方向相反，因此 $N$ 极需要旋转 $180^{\circ}$ 才能与磁场方向一致。
方法总结：判断小磁针在磁场中的指向，关键是确定磁场方向，小磁针 $N$ 极始终指向磁场方向。
难度: ⭐
考点: #右手螺旋定则 #螺线管磁场 #小磁针指向
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 右手螺旋定则（安培定则）：用于判断电流产生的磁场方向
- 螺线管内部磁场方向：沿轴线，从 $S$ 极指向 $N$ 极（内部）
- 小磁针在磁场中：$N$ 极受力方向与磁场方向相同
思路分析
先确定通电螺线管的磁场方向（右手定则），再判断小磁针 $N$ 极的指向（顺磁场方向）。
易错点
- 混淆螺线管内部和外部的磁场方向
- 忘记小磁针 $N$ 极指向磁场方向而非背离磁场方向
🔄 举一反三
若将小磁针放置在螺线管内部中心位置，通电后小磁针 $N$ 极将指向哪个方向？
查看练习答案与解析
答案：指向螺线管的 $N$ 极方向（沿轴线）。
解析：螺线管内部磁场方向从 $S$ 指向 $N$（沿轴线均匀），小磁针 $N$ 极顺磁场方向，故指向螺线管的 $N$ 极。
- 以下四种运动形式中,加速度 $\vec { a }$ 保持不变的运动是 ［ ］
(A)单摆的运动.
(B)匀速率圆周运动.
(C)行星的椭圆轨道运动.
(D)斜抛运动.
查看答案与解析
答案：D
解析：
第一步：逐项分析加速度特点
- (A) 单摆运动：摆球受重力和绳拉力，合力大小和方向都随时间变化，加速度不恒定。
- (B) 匀速率圆周运动：速度大小不变但方向时刻改变，向心加速度方向始终指向圆心，方向不断变化，加速度不恒定。
- (C) 行星椭圆轨道运动：根据开普勒定律和万有引力定律，加速度大小和方向都随位置变化。
- (D) 斜抛运动：忽略空气阻力时，只受重力作用，加速度恒为 $\vec{g}$（大小和方向均不变）。
第二步：得出结论
只有斜抛运动中加速度保持 $\vec{a} = \vec{g}$ 不变。
方法总结：判断加速度是否恒定，看物体所受合外力是否恒力（大小方向均不变）。
难度: ⭐
考点: #加速度 #斜抛运动 #匀变速运动
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 斜抛运动：$\vec{a} = \vec{g}$（恒定），水平方向匀速，竖直方向匀变速
- 匀速率圆周运动：$a_n = v^2/R$，方向时刻指向圆心
- 单摆：$a = -\omega^2 x$（简谐振动近似），方向指向平衡位置
思路分析
加速度恒定 $\Leftrightarrow$ 合外力恒定（牛顿第二定律）。逐项分析每种运动中合外力的特点即可。
易错点
- 误以为匀速率圆周运动加速度大小不变就是加速度不变（忽略了方向变化）
- 混淆"加速度大小不变"与"加速度不变"
🔄 举一反三
- 以下哪种运动中，物体的法向加速度为零？
查看练习答案与解析
答案：直线运动。
解析：法向加速度 $a_n = v^2/\rho$，直线运动中曲率半径 $\rho \to \infty$，故 $a_n = 0$。
- 在标准状态下,若氧气和氦气的体积比 $V _ { 1 } / V _ { 2 } = 1 / 3$ ,则内能之比 $E _ { 1 } / E _ { 2 }$ 为 ［ ］
(A) $\displaystyle\frac{2}{3}$
(B) $\displaystyle\frac{3}{5}$
(C) $\displaystyle\frac{5}{9}$
(D) $\displaystyle\frac{9}{11}$
查看答案与解析
答案：C
解析：
第一步：确定两种气体的自由度
- 氧气（$\mathrm{O_2}$）为双原子分子，自由度 $i_1 = 5$（3 个平动 + 2 个转动）。
- 氦气（$\mathrm{He}$）为单原子分子，自由度 $i_2 = 3$（3 个平动）。
第二步：写出内能公式
理想气体内能：$E = \dfrac{i}{2} nRT = \dfrac{i}{2} pV$
在标准状态下，压强 $p$ 和温度 $T$ 相同。
第三步：计算内能之比
方法总结：比较理想气体内能，利用 $E = \dfrac{i}{2}pV$（同温同压下），只需比较自由度与体积的乘积之比。
难度: ⭐
考点: #理想气体内能 #自由度 #能量均分定理
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 理想气体内能：$E = \dfrac{i}{2} nRT = \dfrac{i}{2} pV$
- 单原子分子：$i = 3$（He, Ne, Ar 等）
- 双原子分子（刚性）：$i = 5$（$\mathrm{H_2, O_2, N_2}$ 等）
- 能量均分定理：每个自由度分配 $\frac{1}{2}kT$ 的平均动能
思路分析
同温同压下比较内能，直接用 $E \propto iV$，无需计算具体数值。
🔄 举一反三
- 在相同温度和压强下，1 mol 氢气和 1 mol 氦气的内能之比为多少？
查看练习答案与解析
答案：$5:3$。
解析：同温同压下同物质的量，体积相同，$E_1/E_2 = i_1/i_2 = 5/3$。
- 下列说法正确的是 ［ ］
(A)等势面上各点场强一定相等. (B)正电荷在电势高处,电势能也一定高.
(C)场强大处,电势一定高. (D)场强的方向总是从电势低处指向电势高处.
查看答案与解析
答案：B
解析：
第一步：逐项分析
- (A) 错误。等势面上各点电势相等，但场强不一定相等。例如点电荷的等势面是球面，球面上各点到电荷距离相等，场强大小相等；但在非对称电场中，等势面上场强大小可以不同。场强与电势梯度有关，而非电势本身。
- (B) 正确。电势能 $E_p = q\varphi$，对于正电荷（$q > 0$），$E_p$ 与 $\varphi$ 成正比，电势高处电势能也高。
- (C) 错误。场强大处电势不一定高。例如均匀带电平板间的匀强电场中场强处处相等，但电势沿电场线方向降低。场强与电势梯度相关：$E = -\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}l}$。
- (D) 错误。场强方向是从电势高处指向电势低处（沿电势降落最快的方向），即 $\vec{E} = -\nabla \varphi$。
方法总结：场强与电势的关系是微分关系（梯度关系），场强大不代表电势高，场强方向指向电势降低最快的方向。
难度: ⭐
考点: #电势 #场强与电势关系 #电势能
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 电势能与电势关系：$E_p = q\varphi$
- 场强与电势的微分关系：$\vec{E} = -\nabla \varphi$，一维：$E = -\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}$
- 等势面与电场线处处垂直
- 电场线方向：从高电势指向低电势
思路分析
场强和电势的关系类似于"坡度"和"高度"的关系——坡度大不代表高度高，坡度方向指向高度下降最快的方向。
易错点
- 混淆"场强大"与"电势高"（场强取决于电势的变化率而非电势本身）
- 记反场强方向（场强指向电势降低方向，不是升高方向）
🔄 举一反三
- 在匀强电场中，沿电场线方向电势如何变化？
查看练习答案与解析
答案：电势逐渐降低。
解析：$\vec{E}$ 方向指向电势降落最快的方向，沿电场线方向 $\Delta \varphi = -E \Delta l < 0$。
- 一绝热容器被隔板分为两半,一半是真空,另一半理想气体,若把隔板抽出,气体将进行自由膨胀,达到平衡后 ［ ］
(A) 温度不变,熵增加. (B) 温度升高,熵增加.
(C) 温度降低,熵增加. (D) 温度不变,熵不变.
查看答案与解析
答案：A
解析：
第一步：分析自由膨胀过程
理想气体向真空自由膨胀（焦耳实验）：
- 气体不对外做功（真空，$W = 0$）
- 过程极快，来不及与外界热交换（$Q = 0$）
- 由热力学第一定律 $\Delta E = Q - W = 0$，内能不变
第二步：判断温度变化
理想气体内能只与温度有关（$E = \dfrac{i}{2}nRT$），内能不变则温度不变。
第三步：判断熵的变化
自由膨胀是不可逆过程。气体分子从有序（集中在一半空间）变为无序（充满整个容器），混乱度增加，熵增加。定量计算：$\Delta S = nR \ln\dfrac{V_2}{V_1} = nR \ln 2 > 0$。
方法总结：理想气体自由膨胀 $\Rightarrow$ $Q=0, W=0 \Rightarrow \Delta E=0 \Rightarrow \Delta T=0$；不可逆过程 $\Rightarrow$ $\Delta S > 0$。
难度: ⭐
考点: #自由膨胀 #热力学第一定律 #熵增加原理
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 热力学第一定律：$\Delta E = Q - W$
- 理想气体内能：$E = \dfrac{i}{2}nRT$（仅与温度有关）
- 熵增加原理：孤立系统中不可逆过程熵增加
- 自由膨胀熵变：$\Delta S = nR \ln\dfrac{V_2}{V_1}$
思路分析
自由膨胀的关键特征：$Q=0$（绝热）、$W=0$（真空），直接推出 $\Delta E=0$，进而 $\Delta T=0$。
🔄 举一反三
- 若理想气体经等温过程体积膨胀为原来的 2 倍，熵变为多少？
查看练习答案与解析
答案：$\Delta S = nR \ln 2$。
解析：等温过程 $\Delta S = \dfrac{Q}{T} = \dfrac{nRT \ln 2}{T} = nR \ln 2$，与自由膨胀熵变相同（熵是状态函数）。
6.用线圈的自感系数 L 来表示载流线圈磁场能量的公式 $W _ { m } = { \frac { 1 } { 2 } } L I ^ { 2 }$ ［ ］
(A)只适用于无限长密绕螺线管. (B)只适用于一个匝数很多,且密绕的螺线管.
(C)只适用于单匝圆线圈. (D)只适用于自感系数 $L$ 一定的任意线圈.
查看答案与解析
答案：D
解析：
第一步：理解公式的物理意义
$W_m = \dfrac{1}{2}LI^2$ 是载流线圈磁场能量的普遍表达式。该公式的推导基于 $L$ 的定义（$\mathcal{E}_L = -L\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$）和能量守恒，不依赖于线圈的具体形状。
第二步：分析各选项
- (A)(B)(C) 都将公式适用范围限制在特定几何形状的线圈上，这是错误的。
- (D) 正确指出公式适用于任意自感系数 $L$ 一定的线圈（即 $L$ 不随电流变化的线性电感）。
第三步：理解适用条件
公式要求 $L$ 为常数（不随 $I$ 变化），即无铁磁介质的情况。对于任意形状的线圈，只要 $L$ 恒定，公式均成立。
方法总结：$W_m = \dfrac{1}{2}LI^2$ 是普遍公式，与线圈形状无关，只要求 $L$ 为常数。
难度: ⭐
考点: #自感系数 #磁场能量 #电感储能
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 线圈磁场能量：$W_m = \dfrac{1}{2}LI^2$
- 自感电动势：$\mathcal{E}_L = -L\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$
- 磁场能量密度：$w_m = \dfrac{B^2}{2\mu_0}$（真空中）
- 该公式与电容器储能 $W_e = \dfrac{1}{2}CU^2$ 形式对称
思路分析
类比电容器储能 $W_e = \dfrac{1}{2}CU^2$ 适用于任意电容 $C$ 一定的电容器，电感储能公式同样适用于任意 $L$ 一定的线圈。
🔄 举一反三
- 两个自感线圈串联，自感系数分别为 $L_1$ 和 $L_2$，通有相同电流 $I$，总磁场能量为多少？
查看练习答案与解析
答案：$W_m = \dfrac{1}{2}(L_1 + L_2)I^2$（无互感时）。
解析：磁场能量是标量，可直接相加。$W_m = \dfrac{1}{2}L_1 I^2 + \dfrac{1}{2}L_2 I^2 = \dfrac{1}{2}(L_1+L_2)I^2$。
- 如图,导体棒 ab 在均匀磁场 $\vec { B }$ 中绕通过 $c$ 点的轴转动, $bc$ 的长度为棒长的 1/3,则
(A) $a$ 点比 $b$ 点电势高.
(B) $a$ 点与 $b$ 点电势相等.
(C) $a$ 点比 $b$ 点电势低.
(D) 有稳恒电流从 $a$ 点流向 $b$ 点.
查看答案与解析
答案：C
解析：
第一步：分析动生电动势
导体棒在磁场中转动切割磁力线，产生动生电动势。取棒上距转轴 $c$ 距离为 $x$ 的微元 $\mathrm{d}x$，其速度 $v = \omega x$，微元电动势 $\mathrm{d}\mathcal{E} = B v \mathrm{d}x = B\omega x \mathrm{d}x$。
第二步：计算各段电动势
设棒总长为 $3l$，则 $bc = l$，$ac = 2l$。
- $bc$ 段（从 $c$ 到 $b$）：$\mathcal{E}_{cb} = \int_0^l B\omega x \,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}B\omega l^2$
- $ac$ 段（从 $c$ 到 $a$）：$\mathcal{E}_{ca} = \int_0^{2l} B\omega x \,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}B\omega (2l)^2 = 2B\omega l^2$
第三步：判断电势高低
动生电动势的非静电力是洛伦兹力。对于导体中的自由电子（负电荷），受力 $\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$。
根据图示磁场方向和转动方向，用右手定则判断 $\vec{v} \times \vec{B}$ 的方向：电子向 $a$ 端积累，使 $a$ 端电势降低。$b$ 端距转轴较近，线速度较小，积累的电子较少，电势相对较高。
因此 $\varphi_a < \varphi_b$，即 $a$ 点比 $b$ 点电势低。
（注：也可从电动势角度理解——$c$ 到 $a$ 的电动势 $\mathcal{E}_{ca} = 2B\omega l^2$，$c$ 到 $b$ 的电动势 $\mathcal{E}_{cb} = \dfrac{1}{2}B\omega l^2$，电动势方向均由 $c$ 指向两端，但 $a$ 端积累的负电荷更多，电势更低。）
方法总结：判断转动导体棒的电势分布，关键是用 $\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$ 判断电荷（电子）受力方向，确定电荷积累位置。电子积累端电势低。
难度: ⭐⭐
考点: #动生电动势 #转动导体 #电势分布
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 动生电动势：$\mathcal{E} = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \mathrm{d}\vec{l}$
- 转动棒的电动势：$\mathcal{E} = \dfrac{1}{2}B\omega L^2$
- 洛伦兹力：$\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$
思路分析
转动导体中各点线速度不同（$v = \omega r$），电动势需积分计算。电势高低由电荷积累方向决定。
🔄 举一反三
- 若转轴在棒的端点，棒长为 $L$，在均匀磁场中绕端点以角速度 $\omega$ 转动，棒两端的电动势为多少？
查看练习答案与解析
答案：$\mathcal{E} = \dfrac{1}{2}B\omega L^2$。
解析：$\mathcal{E} = \int_0^L B\omega x \,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}B\omega L^2$。
- 有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上，斜面是光滑的，有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下，则 ［ ］
（A）物块到达斜面底端时的动量相等
（B）物块到达斜面底端时的动能相等
（C）物块和斜面以及地球组成的系统，机械能不守恒
（D）物块和斜面组成的系统动量不守恒
查看答案与解析
答案：D
解析：
第一步：分析各选项
- (A) 错误。物块下滑过程中，斜面也会在水平面上运动（反冲）。不同倾角的斜面反冲速度不同，物块到达底端时的速度（大小和方向）不同，动量不相等。
- (B) 错误。虽然物块下降高度相同，重力做功相同，但斜面也获得了动能（反冲）。物块和斜面组成的系统机械能守恒（无摩擦），但物块单独获得的动能取决于斜面反冲情况，不同倾角结果不同。
- (C) 错误。物块 + 斜面 + 地球系统中，只有重力（保守力）做功，无摩擦力，机械能守恒。
- (D) 正确。物块和斜面组成的系统在竖直方向受重力作用（外力），竖直方向动量不守恒。水平方向无外力，水平动量守恒，但总动量不守恒。
第二步：深入理解
动量守恒要求系统合外力为零。物块 + 斜面系统受到重力（地球引力）和支持力（来自水平面），竖直方向合外力不为零，故总动量不守恒。
方法总结：判断动量守恒看合外力是否为零；判断机械能守恒看是否只有保守力做功。
难度: ⭐⭐
考点: #动量守恒条件 #机械能守恒条件 #反冲
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 动量守恒条件：$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = 0$
- 机械能守恒条件：只有保守力做功（$W_{\text{nc}} = 0$）
- 某一方向动量守恒：该方向合外力为零即可
思路分析
逐项用守恒条件检验。注意区分"系统"的选取——不同系统守恒条件不同。
易错点
- 混淆"水平方向动量守恒"与"总动量守恒"
- 误以为所有光滑接触的系统机械能都守恒（需看系统选取）
🔄 举一反三
- 若斜面固定在水平面上，物块从顶端滑下，物块和地球系统机械能是否守恒？
查看练习答案与解析
答案：守恒。
解析：斜面固定不做功，只有重力（保守力）对物块做功，机械能守恒。
- 已知某星球的半径是地球半径的 4 倍，质量为地球的 64 倍。设在地球上的重力加速度为 $g$ ，则该星球表面上的重力加速度为 [ ]
（A）$2g$
（B）$4g$
（C）$8g$
（D）$16g$
查看答案与解析
答案：B
解析：
第一步：写出重力加速度公式
星球表面重力加速度：$g = \dfrac{GM}{R^2}$
其中 $G$ 为万有引力常量，$M$ 为星球质量，$R$ 为星球半径。
第二步：计算比值
设地球质量和半径分别为 $M_0$ 和 $R_0$，则 $g_0 = \dfrac{GM_0}{R_0^2}$。
该星球：$M = 64M_0$，$R = 4R_0$。
方法总结：重力加速度 $g \propto \dfrac{M}{R^2}$，代入质量和半径的倍数关系即可。
难度: ⭐
考点: #万有引力 #重力加速度 #天体物理
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 万有引力定律：$F = G\dfrac{Mm}{R^2}$
- 星球表面重力加速度：$g = \dfrac{GM}{R^2}$
- 黄金代换式：$GM = gR^2$
思路分析
直接利用 $g \propto M/R^2$，代入倍数：$g'/g = (M'/M) / (R'/R)^2 = 64 / 16 = 4$。
🔄 举一反三
- 若某星球密度与地球相同，半径为地球的 2 倍，表面重力加速度为地球的几倍？
查看练习答案与解析
答案：2 倍。
解析：$M \propto \rho R^3$，$g = \dfrac{GM}{R^2} \propto \dfrac{\rho R^3}{R^2} = \rho R$。密度相同，$g \propto R$，故 $g' = 2g$。
- 某质点的运动方程为 $x = t + t ^ { 3 } + 3$ （SI），则该质点 [ ]
(A) 匀加速直线运动，加速度为 $x$ 轴正向
(B) 匀加速直线运动，加速度为 $x$ 轴负向
(C) 变加速直线运动，加速度为 $x$ 轴正向
(D) 变加速直线运动，加速度为 $x$ 轴负向
查看答案与解析
答案：C
解析：
第一步：求速度和加速度
速度：$v = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 1 + 3t^2$
加速度：$a = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 6t$
第二步：分析运动性质
- 加速度 $a = 6t$ 随时间 $t$ 变化，不是常量，故为变加速运动（排除 A、B）。
- 当 $t > 0$ 时，$a = 6t > 0$，加速度方向为 $x$ 轴正向。
- 运动是一维直线运动（只有 $x$ 方向）。
第三步：得出结论
质点做变加速直线运动，加速度沿 $x$ 轴正向。
方法总结：判断运动性质，对运动方程求导得到速度和加速度，分析加速度是否为常数以及符号。
难度: ⭐
考点: #运动方程 #速度与加速度 #变加速运动
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 速度：$v = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$
- 加速度：$a = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$
- 匀加速运动：$a = \text{const}$
- 变加速运动：$a$ 随时间变化
思路分析
对运动方程连续求导：$x \to v \to a$，观察 $a$ 是否为常数即可判断。
🔄 举一反三
- 若质点运动方程为 $x = 2t^2 + 3t + 1$（SI），该质点做什么运动？
查看练习答案与解析
答案：匀加速直线运动，$a = 4 \,\mathrm{m/s^2}$。
解析：$v = 4t + 3$，$a = 4$（常数），故为匀加速运动。
二、填空题(共 30 分，每空 3 分)
- 均匀磁场的磁感应强度 $\vec { B }$ 垂直于半径为 $r$ 的圆面,今以该圆周为边线作一半球面S,则通过 S 面的磁通量的大小为
查看答案与解析
答案：$B\pi r^2$
解析：
第一步：理解磁通量的定义
磁通量 $\Phi = \int_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$。
第二步：应用磁场的高斯定理
磁场的高斯定理：$\oint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0$（磁场是无源场）。
半球面 S 和圆平面 S' 组成闭合曲面。通过闭合曲面的总磁通量为零：
第三步：计算圆平面的磁通量
圆平面 S' 上，$\vec{B}$ 垂直于平面，$\Phi_{S'} = B \cdot \pi r^2$（取外法向）。
通过半球面的磁通量：$\Phi_S = -\Phi_{S'} = -B\pi r^2$（取决于法向选取）。
磁通量的大小为 $B\pi r^2$。
方法总结：利用磁场高斯定理 $\oint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0$，将曲面磁通量转化为平面磁通量计算。
难度: ⭐
考点: #磁通量 #磁场高斯定理
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 磁通量：$\Phi = \int_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$
- 磁场高斯定理：$\oint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0$（磁场无源）
- 均匀磁场通过平面的磁通量：$\Phi = BS\cos\theta$
思路分析
利用磁场高斯定理，半球面的磁通量等于圆平面磁通量的负值（大小相等）。
🔄 举一反三
- 若磁场 $\vec{B}$ 与圆面法向夹角为 $30^\circ$，通过半球面的磁通量大小为多少？
查看练习答案与解析
答案：$B\pi r^2 \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}B\pi r^2$。
解析：通过圆平面的磁通量为 $B\pi r^2 \cos 30^\circ$，半球面磁通量大小与之相等。
- 一质量为 m，电荷为 $q$ 的粒子，以 $\vec { v } _ { 0 }$ 速度垂直进入均匀的稳恒磁场 $\vec { B }$ 中，电荷做圆周运动的半径为
查看答案与解析
答案：$\dfrac{mv_0}{qB}$
解析：
第一步：分析受力
带电粒子垂直进入磁场，受洛伦兹力 $\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$。由于 $\vec{v} \perp \vec{B}$，洛伦兹力大小 $F = qv_0B$，方向始终垂直于速度方向。
第二步：洛伦兹力提供向心力
洛伦兹力不做功，只改变速度方向。粒子做匀速率圆周运动：
第三步：求解半径
方法总结：带电粒子垂直进入匀强磁场做圆周运动，由 $qvB = m\dfrac{v^2}{R}$ 求解轨道半径。
难度: ⭐
考点: #洛伦兹力 #圆周运动 #带电粒子在磁场中运动
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 洛伦兹力：$\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$，大小 $F = qvB\sin\theta$
- 圆周运动半径：$R = \dfrac{mv}{qB}$
- 回旋周期：$T = \dfrac{2\pi m}{qB}$（与速度无关）
- 洛伦兹力不做功，不改变速率
思路分析
洛伦兹力 $\perp$ 速度 $\Rightarrow$ 不做功 $\Rightarrow$ 匀速率 $\Rightarrow$ 向心力 $= qvB \Rightarrow R = mv/(qB)$。
🔄 举一反三
- 若粒子以速度 $v_0$ 与磁场成 $30^\circ$ 角进入，其运动轨迹是什么？
查看练习答案与解析
答案：螺旋线。
解析：速度分解为 $v_\parallel = v_0\cos30^\circ$（沿磁场匀速）和 $v_\perp = v_0\sin30^\circ$（垂直磁场做圆周运动），合成为螺旋线。
- 法拉第电磁感应定律的表达式为
查看答案与解析
答案：$\mathcal{E} = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$
解析：
第一步：回顾法拉第电磁感应定律
法拉第电磁感应定律：闭合回路中感应电动势的大小等于穿过回路的磁通量对时间的变化率的负值。
第二步：理解公式各符号含义
- $\mathcal{E}$：感应电动势
- $\Phi$：穿过回路的磁通量
- $\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$：磁通量对时间的变化率
- 负号（$-$）：表示感应电动势的方向（楞次定律）——感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量变化。
方法总结：法拉第定律 + 楞次定律（负号）= 完整的电磁感应定律。
难度: ⭐
考点: #法拉第电磁感应定律 #楞次定律
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 法拉第电磁感应定律：$\mathcal{E} = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$
- 磁通量：$\Phi = \int \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$
- 楞次定律：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因
- 对于 $N$ 匝线圈：$\mathcal{E} = -N\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$
思路分析
记住公式结构：电动势 = 负的磁通量变化率。负号体现楞次定律。
🔄 举一反三
- 若穿过线圈的磁通量按 $\Phi = 2t^2 + t$（Wb）变化，$t=1\,\mathrm{s}$ 时感应电动势大小为多少？
查看练习答案与解析
答案：$5\,\mathrm{V}$。
解析：$\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = 4t + 1$，$t=1$ 时 $\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = 5$，$|\mathcal{E}| = 5\,\mathrm{V}$。
4.点电荷电量为 Q，在距离它为 r 处的 p 点的电场强度大小的表达式为
查看答案与解析
答案：$E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$
解析：
第一步：回顾库仑定律
真空中两个点电荷之间的作用力：$F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$
第二步：电场强度的定义
电场强度 $\vec{E} = \dfrac{\vec{F}}{q_0}$（单位正电荷所受电场力）。
第三步：点电荷的电场强度
在距离点电荷 $Q$ 为 $r$ 处放置检验电荷 $q_0$，其受力 $F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q q_0}{r^2}$。
方向：$Q > 0$ 时沿径向向外，$Q < 0$ 时沿径向向内。
方法总结：点电荷电场强度 $E \propto \dfrac{Q}{r^2}$，与库仑力形式一致。
难度: ⭐
考点: #库仑定律 #电场强度 #点电荷电场
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 库仑定律：$F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$
- 电场强度定义：$\vec{E} = \dfrac{\vec{F}}{q_0}$
- 点电荷场强：$E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$
- 真空介电常量：$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N \cdot m^2)}$
思路分析
从库仑力除以检验电荷电量即得电场强度，两者形式完全对应。
🔄 举一反三
- 两个等量同号点电荷 $+Q$ 相距 $2a$，在其中垂线上距中点 $x$ 处的场强大小为多少？
查看练习答案与解析
答案：$E = \dfrac{2Qx}{4\pi\varepsilon_0(a^2+x^2)^{3/2}}$。
解析：利用对称性，水平分量抵消，竖直分量叠加。
- 一人从 $10 \mathrm{m}$ 深井中提水,起始时桶中有 $10 \mathrm{kg}$ 的水,桶的质量不计, 桶漏水,每升高1m 要漏去 $0.2 \mathrm{kg}$ 的水,水桶匀速从井中提到井口,人所作的功为 J.
查看答案与解析
答案：882
解析：
第一步：建立质量随高度变化的函数
设井口为坐标原点，向下为正。起始时（井底 $h=0$）质量 $m_0 = 10\,\mathrm{kg}$。
每升高 1 m 漏水 $0.2\,\mathrm{kg}$，升高 $h$ 后剩余质量：
第二步：计算变力做功
匀速提升，拉力 $F = m(h)g$。做功：
第三步：积分计算
方法总结：变力做功需用积分，先写出力随位移的函数关系，再积分。
难度: ⭐⭐
考点: #变力做功 #定积分应用
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 变力做功：$W = \int_a^b F(x)\,\mathrm{d}x$
- 重力：$G = mg$，取 $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$
- 匀速提升：拉力 = 重力
思路分析
质量线性减少 $\Rightarrow$ 力线性减少 $\Rightarrow$ 可用平均力法或积分法。积分法更通用。
🔄 举一反三
- 若水桶以加速度 $a = 0.5\,\mathrm{m/s^2}$ 匀加速提升，人做功为多少？
查看练习答案与解析
答案：$927\,\mathrm{J}$。
解析：拉力 $F = m(h)(g+a)$，$W = (g+a)\int_0^{10}(10-0.2h)\mathrm{d}h = 10.3 \times 90 = 927\,\mathrm{J}$。
- 一质点沿半径为 $0.2 \mathrm{m}$ 的圆周运动，其角位移 $\theta$ 随时间 t 的变化规律是$\theta = 6 + 5 t ^ { 2 } ( \mathrm { S I } )$ ,在 $t = 2 \mathrm{s}$ 时，它的
法向加速度 $a _ { n } =$ $\underline{\quad}$ $\mathrm{m/s^2}$；
切向加速度 $a _ { t } =$ $\underline{\quad}$ $\mathrm{m/s^2}$.
查看答案与解析
答案：$a_n = 80$；$a_t = 2$
解析：
第一步：求角速度和角加速度
角速度：$\omega = \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = 10t$
角加速度：$\alpha = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = 10$
第二步：计算 $t=2\,\mathrm{s}$ 时的角速度
$\omega|_{t=2} = 10 \times 2 = 20 \,\mathrm{rad/s}$
第三步：计算法向加速度和切向加速度
- 法向加速度：$a_n = \omega^2 R = 20^2 \times 0.2 = 400 \times 0.2 = 80 \,\mathrm{m/s^2}$
- 切向加速度：$a_t = \alpha R = 10 \times 0.2 = 2 \,\mathrm{m/s^2}$
方法总结：圆周运动中，$a_n = \omega^2 R$（向心），$a_t = \alpha R$（切向），先求 $\omega$ 和 $\alpha$。
难度: ⭐
考点: #圆周运动 #法向加速度 #切向加速度 #角速度
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 角速度：$\omega = \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$
- 角加速度：$\alpha = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}$
- 法向加速度：$a_n = \omega^2 R = \dfrac{v^2}{R}$
- 切向加速度：$a_t = \alpha R = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$
思路分析
圆周运动问题，先由 $\theta(t)$ 求 $\omega$ 和 $\alpha$，再代入 $a_n = \omega^2 R$ 和 $a_t = \alpha R$。
🔄 举一反三
- 在 $t=2\,\mathrm{s}$ 时，该质点的总加速度大小为多少？
查看练习答案与解析
答案：$\sqrt{80^2 + 2^2} \approx 80.025 \,\mathrm{m/s^2}$。
解析：$a = \sqrt{a_n^2 + a_t^2} = \sqrt{6400 + 4} \approx 80.025 \,\mathrm{m/s^2}$。
- 两个容器内分别贮有1mol氦气和1mol氢气,若它们的温度都升高1K，则两种气体的内能的增量值分别为：
查看答案与解析
答案：$\Delta E_{\text{氦}} = \dfrac{3}{2}R$；$\Delta E_{\text{氢}} = \dfrac{5}{2}R$
解析：
第一步：确定分子自由度
- 氦气（$\mathrm{He}$）：单原子分子，自由度 $i = 3$。
- 氢气（$\mathrm{H_2}$）：刚性双原子分子，自由度 $i = 5$。
第二步：应用内能公式
1 mol 理想气体内能：$E = \dfrac{i}{2}RT$
内能增量：$\Delta E = \dfrac{i}{2}R\Delta T$
第三步：代入计算
$\Delta T = 1\,\mathrm{K}$：
- $\Delta E_{\text{氦}} = \dfrac{3}{2}R \times 1 = \dfrac{3}{2}R$
- $\Delta E_{\text{氢}} = \dfrac{5}{2}R \times 1 = \dfrac{5}{2}R$
方法总结：理想气体内能增量 $\Delta E = \dfrac{i}{2}nR\Delta T$，关键是正确判断分子自由度。
难度: ⭐
考点: #理想气体内能 #自由度 #能量均分定理
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 理想气体内能：$E = \dfrac{i}{2}nRT$
- 单原子分子 $i=3$：He, Ne, Ar
- 刚性双原子分子 $i=5$：$\mathrm{H_2, O_2, N_2, CO}$
- 非刚性双原子分子 $i=7$（常温下通常按刚性处理）
思路分析
记住常见气体分子类型：稀有气体 = 单原子（$i=3$），$\mathrm{H_2, O_2, N_2}$ = 刚性双原子（$i=5$）。
🔄 举一反三
- 1 mol 二氧化碳（$\mathrm{CO_2}$，刚性多原子分子）温度升高 1 K，内能增量为多少？
查看练习答案与解析
答案：$3R$。
解析：刚性多原子分子 $i = 6$，$\Delta E = \dfrac{6}{2}R \times 1 = 3R$。
- 假设地球绕太阳做椭圆运动， $R$ 和 $r$ 分别是远日点和近日点的轨道半径， $v _ { 1 }$ 是近日点的地球公转速率，则远日点的地球公转速率是
查看答案与解析
答案：$\dfrac{r}{R}v_1$
解析：
第一步：确定守恒量
地球绕太阳运动，太阳引力为有心力（指向太阳中心），对太阳中心的力矩为零，因此地球对太阳中心的角动量守恒。
第二步：应用角动量守恒
近日点：角动量 $L_1 = m v_1 r$（速度与位矢垂直）
远日点：角动量 $L_2 = m v_2 R$
由角动量守恒 $L_1 = L_2$：
第三步：求解远日点速率
方法总结：行星运动中，角动量守恒 $\Rightarrow$ $v \propto \dfrac{1}{r}$（近日点速度最大，远日点速度最小）。这实质上是开普勒第二定律（面积速度恒定）。
难度: ⭐
考点: #角动量守恒 #开普勒第二定律 #行星运动
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 角动量守恒条件：合外力矩为零
- 有心力场中角动量守恒
- 开普勒第二定律：行星与太阳连线在相等时间内扫过相等面积
- 面积速度：$\dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \dfrac{L}{2m} = \text{const}$
思路分析
太阳引力为有心力 $\Rightarrow$ 力矩为零 $\Rightarrow$ 角动量守恒 $\Rightarrow$ $v_1 r = v_2 R$。
🔄 举一反三
- 若地球在近日点和远日点的速率之比为 $3:2$，则近日点和远日点的轨道半径之比为多少？
查看练习答案与解析
答案：$2:3$。
解析：由 $v_1 r = v_2 R$ 得 $\dfrac{r}{R} = \dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{2}{3}$。
三、计算题（本题 10 分 ）
一质量为 $m$ ，长为 $l$ 的棒能绕通过 $O$ 点的水平轴自由转动，开始时棒垂直悬挂。现有一质量也为 $m$ ，速率为 $v _ { 0 }$ 的子弹从水平方向飞来，击中棒的中点又穿出棒，速率为 $v$ ,棒恰好摆到水平位置。求子弹的初速率 $v _ { 0 }$ .
查看答案与解析
答案：$v_0 = v + \dfrac{2}{3}\sqrt{3gl}$
解析：
第一步：子弹穿过棒的瞬间——角动量守恒
设子弹穿出瞬间棒的角速度为 $\omega$。以 $O$ 点为参考点，子弹射入前角动量 $L_1 = m v_0 \cdot \dfrac{l}{2}$，穿出后子弹角动量 $L_2' = m v \cdot \dfrac{l}{2}$，棒的角动量 $L_{\text{棒}} = I\omega$。
棒对 $O$ 点的转动惯量：$I = \dfrac{1}{3}ml^2$
角动量守恒：
化简得：$v_0 = v + \dfrac{2}{3}l\omega \quad\cdots(1)$
第二步：棒上摆过程——机械能守恒
棒从竖直位置摆到水平位置，重力势能增加等于动能减少。棒质心在 $\dfrac{l}{2}$ 处，上摆过程中质心升高 $\dfrac{l}{2}$。
第三步：代入求解 $v_0$
将 $\omega = \sqrt{\dfrac{3g}{l}}$ 代入 (1) 式：
方法总结：碰撞类问题分两步——碰撞瞬间用角动量守恒（力矩可忽略），碰撞后用机械能守恒。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #角动量守恒 #机械能守恒 #转动惯量 #碰撞
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 细杆对端点转动惯量：$I = \dfrac{1}{3}ml^2$
- 角动量：$L = I\omega$（刚体），$L = mvr_\perp$（质点）
- 角动量守恒条件：合外力矩为零
- 机械能守恒：$\Delta E_k + \Delta E_p = 0$
思路分析
碰撞瞬间（$\Delta t \to 0$），重力矩有限，角动量近似守恒。碰撞后棒上摆，只有重力做功，机械能守恒。
易错点
- 混淆细杆对不同转轴的转动惯量（端点 $I=\dfrac{1}{3}ml^2$，中心 $I=\dfrac{1}{12}ml^2$）
- 忘记子弹穿出后仍有角动量
🔄 举一反三
- 若子弹嵌入棒中（未穿出），且棒恰好摆到水平位置，求子弹初速率 $v_0$。
查看练习答案与解析
答案：$v_0 = \dfrac{2}{3}\sqrt{3gl}\left(1+\dfrac{3}{4}\right)$...
更准确：碰撞后子弹与棒一起运动，$I_{\text{总}} = \dfrac{1}{3}ml^2 + m\left(\dfrac{l}{2}\right)^2 = \dfrac{7}{12}ml^2$。
角动量守恒：$mv_0\dfrac{l}{2} = \dfrac{7}{12}ml^2\omega$，得 $\omega = \dfrac{6v_0}{7l}$。
机械能守恒：$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{7}{12}ml^2\omega^2 = mg\dfrac{l}{2} + mg\dfrac{l}{2}$（子弹和棒质心各升高 $\dfrac{l}{2}$）。
解得 $v_0 = \dfrac{7}{6}\sqrt{3gl}$。
四、计算题（本题 10 分）
均匀带电球壳内半径为 $R _ { 1 }$ ,外半径为 $R _ { 2 }$ ,电荷体密度为 $\rho$ ,
求(1) $r { < } R _ { 1 }$ ; (2) $R _ { 1 } { < } r { < } R _ { 2 }$ ; (3) $r { > } R _ { 2 }$ 各处的电场强度的大小.
查看答案与解析
答案：
(1) $r < R_1$：$E = 0$
(2) $R_1 < r < R_2$：$E = \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0}\dfrac{r^3 - R_1^3}{r^2}$
(3) $r > R_2$：$E = \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0}\dfrac{R_2^3 - R_1^3}{r^2}$
解析：
第一步：分析对称性，选取高斯面
电荷分布具有球对称性，电场方向沿径向。选取半径为 $r$ 的同心球面为高斯面。
由高斯定理：$\oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \dfrac{\sum q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$
即 $E \cdot 4\pi r^2 = \dfrac{q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$，$E = \dfrac{q_{\text{内}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$
第二步：分区计算高斯面内电荷
(1) $r < R_1$（球壳内部空腔）：
高斯面内无电荷，$q_{\text{内}} = 0$，故 $E = 0$。
(2) $R_1 < r < R_2$（球壳内部）：
高斯面内电荷为半径从 $R_1$ 到 $r$ 的球壳体积内的电荷：
(3) $r > R_2$（球壳外部）：
高斯面内包含全部电荷：
方法总结：球对称电荷分布 $\Rightarrow$ 高斯定理求解，关键步骤：选高斯面 $\to$ 算高斯面内电荷 $\to$ 代入高斯定理。
难度: ⭐⭐
考点: #高斯定理 #球对称电场 #均匀带电球壳
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 高斯定理：$\oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \dfrac{\sum q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$
- 球对称：$E \cdot 4\pi r^2 = \dfrac{q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$
- 球体积：$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$
思路分析
球对称问题首选高斯定理。按 $r$ 分段，每段只需计算高斯面内的总电荷量。
易错点
- 混淆 $r^3 - R_1^3$ 与 $(r - R_1)^3$（体积差不是半径差的立方）
- 忘记 $r < R_1$ 区域场强为零（空腔无电荷）
🔄 举一反三
- 若球壳为均匀带电球面（电荷仅分布在 $r=R$ 表面，总电量 $Q$），求球内外场强。
查看练习答案与解析
答案：$r < R$：$E = 0$；$r > R$：$E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$。
解析：$r<R$ 时高斯面内无电荷；$r>R$ 时全部电荷 $Q$ 在高斯面内，等效于点电荷。
五、计算题（本题 10 分）
温度为 $25^{\circ}\mathrm{C}$ ，压强为 1 atm 的 1 mol 理想气体。
（1）经等温过程体积膨胀至原来的 3 倍，求该过程中气体对外所做的功.
（2）经等压过程体积膨胀至原来的 5 倍，求该过程中气体对外所做的功.
查看答案与解析
答案：
(1) $W = 2.72 \times 10^3 \,\mathrm{J}$
(2) $W = 9.91 \times 10^3 \,\mathrm{J}$
解析：
第一步：换算温度
$T = 25 + 273 = 298 \,\mathrm{K}$
第二步：(1) 等温过程做功
等温过程：$pV = nRT = \text{const}$
$n = 1 \,\mathrm{mol}$，$R = 8.31 \,\mathrm{J/(mol \cdot K)}$，$\dfrac{V_2}{V_1} = 3$
第三步：(2) 等压过程做功
等压过程：$p = \text{const}$
方法总结：
- 等温过程：$W = nRT \ln\dfrac{V_2}{V_1}$
- 等压过程：$W = p\Delta V = nR\Delta T$
难度: ⭐⭐
考点: #等温过程 #等压过程 #气体做功
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 等温过程做功：$W = nRT \ln\dfrac{V_2}{V_1} = nRT \ln\dfrac{p_1}{p_2}$
- 等压过程做功：$W = p(V_2 - V_1) = nR(T_2 - T_1)$
- 理想气体状态方程：$pV = nRT$
- $T(\mathrm{K}) = t(^{\circ}\mathrm{C}) + 273$
思路分析
气体做功 $W = \int p\,\mathrm{d}V$，关键是用过程方程将 $p$ 表示为 $V$ 的函数。
🔄 举一反三
- 若该气体经绝热过程体积膨胀至原来的 3 倍（$\gamma = 1.4$），对外做功为多少？
查看练习答案与解析
答案：约 $2.0 \times 10^3 \,\mathrm{J}$。
解析：绝热过程 $W = \dfrac{p_1V_1 - p_2V_2}{\gamma-1} = \dfrac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma-1}$，需先求 $T_2 = T_1(V_1/V_2)^{\gamma-1}$。
六、计算题(本题 10 分)
如图所示，无限长均匀载流圆柱体中电流强度为 I，圆柱体半径为 $R$ ，求圆柱体内、外的磁感强度分布.
查看答案与解析
答案：
$r < R$（体内）：$B = \dfrac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}$
$r > R$（体外）：$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$
解析：
第一步：分析对称性，选取安培环路
电流分布具有轴对称性，磁场方向沿切向（右手定则）。选取半径为 $r$ 的同轴圆形环路 $L$。
由安培环路定理：$\oint_L \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}}$
即 $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{内}}$
第二步：分区计算环路内电流
(1) $r < R$（圆柱体内）：
电流均匀分布，环路内电流与面积成正比：
(2) $r > R$（圆柱体外）：
环路内包含全部电流 $I_{\text{内}} = I$：
方法总结：轴对称电流分布 $\Rightarrow$ 安培环路定理求解。体内 $B \propto r$（线性增大），体外 $B \propto 1/r$（反比衰减）。
难度: ⭐⭐
考点: #安培环路定理 #无限长载流圆柱体 #磁感强度分布
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 安培环路定理：$\oint_L \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}}$
- 无限长直导线磁场：$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$
- 圆柱体内 $B \propto r$，体外 $B \propto 1/r$
- $B\text{-}r$ 曲线：体内线性上升，在 $r=R$ 处达到最大，体外反比下降
思路分析
轴对称问题首选安培环路定理。体内电流按面积比例分配，体外等效为全部电流集中在轴线上。
🔄 举一反三
- 若为无限长均匀载流圆柱面（电流仅分布在 $r=R$ 表面），求磁感强度分布。
查看练习答案与解析
答案：$r < R$：$B = 0$；$r > R$：$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$。
解析：$r<R$ 时环路内无电流；$r>R$ 时全部电流在环路内，与圆柱体外部结果相同。