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《线性代数A1》期末试卷B (精选09)
时间：120分钟 | 课程：线性代数A1 | 学分：2 | 形式：闭卷 | 总分：100分
一、选择题 (每小题 3 分，共 18 分)
- 设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，则必有（ ）
- A. $|A + B| = |A| + |B|$
- B. $AB = BA$
- C. $|AB| = |BA|$
- D. $(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$
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答案：C
解析：
- (A) 行列式的加法不等于行列式的和，即 $|A+B| \neq |A|+|B|$ 一般成立。
- (B) 矩阵乘法不满足交换律，即 $AB \neq BA$ 一般成立。
- (C) 根据行列式的乘法定理，$|AB| = |A| \cdot |B| = |B| \cdot |A| = |BA|$，故必成立。
- (D) 逆矩阵的分配律不存在此类形式。
难度: ⭐ 考点: #行列式性质 #矩阵乘法
💡 学习锦囊
📖 相关公式: $|AB| = |A||B|$
思路分析
直接利用行列式的乘法性质 $|AB| = |A||B|$ 即可得出 $|AB| = |BA|$。
🔄 举一反三
- 若 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $AB = 0$，则必有（ ） (A) $A = 0$ 或 $B = 0$ (B) $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$
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答案：B。解析：由 $AB = 0$ 得 $|AB| = |A||B| = 0$，故 $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$。但矩阵本身不一定为零。
- 若 3 阶方阵 $A$ 的三个特征值为 $-1, -1, 8$，则 $|2A| = （ \quad ）$ A. $-16$ B. $16$ C. $-64$ D. $64$
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答案：D
解析：
- 求 $|A|$：根据特征值与行列式的关系，$|A| = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = (-1) \cdot (-1) \cdot 8 = 8$。
- 求 $|2A|$：由于 $A$ 是 3 阶方阵，根据性质 $|kA| = k^n |A|$，有：$$|2A| = 2^3 |A| = 8 \times 8 = 64$$
难度: ⭐ 考点: #特征值性质 #行列式性质
💡 学习锦囊
📖 相关公式:
- $|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$
- $|kA| = k^n |A|$
🔄 举一反三
- 若 2 阶方阵 $A$ 的行列式 $|A| = 3$，则 $|-2A| = $ ______。
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答案：12。解析：$|-2A| = (-2)^2 |A| = 4 \times 3 = 12$。
- 设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，$A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则（ ）
- A. $|A^{*}| = |A|$
- B. $|A^{*}| = |A|^{-1}$
- C. $|A^{*}| = |A|^{n-1}$
- D. $|A^{*}| = |A|^{n}$
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答案：C
解析： 由性质 $AA^{*} = |A|E$ 取行列式得： $|A| \cdot |A^{*}| = ||A|E| = |A|^n$ 由于 $A$ 可逆，则 $|A| \neq 0$，两边约去 $|A|$ 得：
难度: ⭐ 考点: #伴随矩阵 #行列式性质
💡 学习锦囊
📖 相关公式: $|A^*| = |A|^{n-1}$ (当 $A$ 可逆时)。
注意事项
伴随矩阵的行列式阶数是 $n-1$，这在处理涉及 $|A|$ 的幂次运算时非常关键。
🔄 举一反三
- 设 3 阶方阵 $A$ 的行列式 $|A| = 2$，求 $|(2A)^*|$。
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答案：256。解析：首先 $|2A| = 2^3 |A| = 16$。则 $|(2A)^*| = |2A|^{3-1} = 16^2 = 256$。
- 向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}$ 线性相关且秩为 $r$，则（ ）
- A. $r = s$
- B. $r < s$
- C. $r > s$
- D. $s \leq r$
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答案：B
解析：
- 线性相关 的定义：向量组的秩 $r$ 小于向量的个数 $s$，即 $r < s$。
- 如果 $r = s$，则向量组线性无关。
- 秩不可能大于向量个数，故 $r > s$ 不可能。
难度: ⭐ 考点: #线性相关 #向量组的秩
💡 学习锦囊
📖 核心定义: 向量组线性相关的充要条件是其秩小于向量个数。
🔄 举一反三
- 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则向量组的秩为 ______。
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答案：3。解析：线性无关意味着秩等于向量个数。
- 已知 $n$ 元非齐次线性方程组 $AX = b$，其导出齐次线性方程组为 $AX = 0$，则有（ ）
- A. 若 $AX = 0$ 只有零解，则 $AX = b$ 有唯一解
- B. $AX = b$ 有唯一解的充要条件是 $r(A) = n$
- C. 若 $AX = b$ 有两个不同的解，则 $AX = 0$ 有无穷多解
- D. 若 $AX = b$ 有两个不同的解，则 $AX = 0$ 的基础解系中含有两个以上向量
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答案：C
解析：
- (A) 错误。若 $AX=0$ 只有零解，说明 $r(A)=n$。但只有当 $r(A)=r(A,b)=n$ 时，$AX=b$ 才有唯一解。若 $r(A) < r(A,b)$，则无解。
- (B) 错误。充要条件应为 $r(A) = r(A,b) = n$。
- (C) 正确。若 $AX=b$ 有两个不同解 $\eta_1, \eta_2$，则 $\eta_1 - \eta_2 \neq 0$ 是 $AX=0$ 的非零解。齐次线性方程组有非零解，则必有无穷多解（在实数域内）。
- (D) 错误。基础解系中向量个数为 $n-r(A)$，只要 $r(A) < n$，基础解系中至少含有一个向量，不一定是两个以上。
难度: ⭐⭐ 考点: #线性方程组解的结构
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📖 判定准则:
- $AX=b$ 有唯一解 $\iff r(A) = r(A,b) = n$。
- $AX=b$ 无解 $\iff r(A) < r(A,b)$。
- $AX=b$ 有无穷多解 $\iff r(A) = r(A,b) < n$。
🔄 举一反三
- 若 $A$ 是 $n$ 阶方阵且 $|A| \neq 0$，则 $AX=b$（ ） (A) 必有唯一解 (B) 可能无解
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答案：A。解析：$|A| \neq 0 \implies r(A) = n$，对于方阵这意味着 $r(A,b)$ 也必然为 $n$，故有唯一解。
- 设 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 是非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的两个解向量，则下列向量仍为该方程组解的是（ ） A. $\frac{1}{2} (\beta_{1} + \beta_{2})$ B. $\beta_{1} - \beta_{2}$ C. $\frac{1}{3} (\beta_{1} + \beta_{2})$ D. $\frac{1}{4} (\beta_{1} + \beta_{2})$
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答案：A
解析： 设 $Ax = b$ 的解的线性组合为 $x = k_1\beta_1 + k_2\beta_2$，代入方程： $A(k_1\beta_1 + k_2\beta_2) = k_1A\beta_1 + k_2A\beta_2 = (k_1 + k_2)b$ 若该组合仍为方程组的解，必须满足 $k_1 + k_2 = 1$。
- 选项 A：$1/2 + 1/2 = 1$，符合。
- 选项 B：$1 - 1 = 0$，这是对应齐次方程组的解。
- 选项 C：$1/3 + 1/3 = 2/3 \neq 1$。
- 选项 D：$1/4 + 1/4 = 1/2 \neq 1$。
难度: ⭐ 考点: #非齐次线性方程组解的结构
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📖 性质总结:
- 两个解之差是齐次方程组的解：$A(\beta_1 - \beta_2) = 0$。
- 解的凸组合仍是解：$\sum k_i \beta_i$ 且 $\sum k_i = 1$ 时 $A(\sum k_i \beta_i) = b$。
🔄 举一反三
- 设 $\eta^*$ 是 $AX=b$ 的一个特解，$\zeta_1, \zeta_2$ 是 $AX=0$ 的基础解系，则 $AX=b$ 的通解为 ______。
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答案：$\eta^* + c_1\zeta_1 + c_2\zeta_2$。
二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分)
- 设 $A, B$ 为 3 阶矩阵，且 $|A| = 1, |B| = 8$，则 $|2AB^{-1}| =$ ______。
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答案：1
详细推导： 根据行列式性质： $|2AB^{-1}| = 2^3 \cdot |A| \cdot |B^{-1}| = 8 \cdot |A| \cdot \frac{1}{|B|}$ 代入数据： $|2AB^{-1}| = 8 \cdot 1 \cdot \frac{1}{8} = 1$
难度: ⭐ 考点: #行列式计算
💡 学习锦囊
📖 相关公式: $|kA| = k^n|A|, |AB| = |A||B|, |A^{-1}| = 1/|A|$。
🔄 举一反三
- 设 $A, B$ 为 2 阶矩阵，$|A|=2, |B|=3$，求 $|(AB)^{-1}|$。
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答案：1/6。解析：$|(AB)^{-1}| = 1/|AB| = 1/(|A||B|) = 1/6$。
- 已知方阵 $A$ 满足方程 $A^2 - A - 2E = 0$，则 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1} =$ ______。
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答案：$\frac{1}{2}(A - E)$
详细推导： 由 $A^2 - A - 2E = 0$ 移项得： $A^2 - A = 2E \implies A(A - E) = 2E$ 两边除以 2： $A \cdot \left[ \frac{1}{2}(A - E) \right] = E$ 根据逆矩阵定义，$A^{-1} = \frac{1}{2}(A - E)$。
难度: ⭐ 考点: #逆矩阵 #矩阵多项式
💡 学习锦囊
思路分析
遇到矩阵多项式求逆，核心目标是凑出 $A \cdot (\text{某矩阵}) = E$ 的形式。
🔄 举一反三
- 若方阵 $A$ 满足 $A^2 + E = 0$，则 $A^{-1} =$ ______。
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答案：$-A$。解析：$A^2 = -E \implies A(-A) = E$。
- 若矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & t & 6 \end{pmatrix}$ 的秩 $r(A) = 2$，则 $t =$ ______。
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答案：-3
详细推导： 由于 $A$ 是 3 阶方阵且 $r(A) = 2 < 3$，故 $|A| = 0$。 $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & t & 6 \end{vmatrix} = 1(18 - 2t) + 2(2t - 6) = 18 - 2t + 4t - 12 = 2t + 6$ 令 $2t + 6 = 0$，得 $t = -3$。
难度: ⭐ 考点: #矩阵的秩 #行列式计算
💡 学习锦囊
📖 核心知识: 对于 $n$ 阶方阵，$r(A) < n \iff |A| = 0$。
🔄 举一反三
- 若矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & t \end{pmatrix}$ 的秩为 1，则 $t =$ ______。
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答案：1。解析：$|A| = t-1 = 0 \implies t=1$。
- 已知 $\alpha = (1, 2, 3), \beta = (1, 0, 2)$，且 $\alpha - 2y = \beta$，则 $y =$ ______。
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答案：$(0, 1, 1/2)$
详细推导： 由 $\alpha - 2y = \beta$ 得： $2y = \alpha - \beta = (1, 2, 3) - (1, 0, 2) = (0, 2, 1)$ 则 $y = \frac{1}{2}(0, 2, 1) = (0, 1, 1/2)$。
难度: ⭐ 考点: #向量运算
💡 学习锦囊
📖 向量运算: 向量的加减法和数乘运算按分量进行。
🔄 举一反三
- 已知 $\alpha = (1,1), \beta = (0,1)$，求 $2\alpha - \beta$。
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答案：(2, 1)。
- 若 $A, B$ 均为 3 阶非零方阵，$r(A) = 2$ 且 $AB = 0$，则 $r(B) =$ ______。
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答案：1
详细推导： 根据 Sylvester 不等式性质，若 $AB = 0$，则 $r(A) + r(B) \leq n$。 此处 $n = 3, r(A) = 2$，则 $2 + r(B) \leq 3 \implies r(B) \leq 1$。 又因为 $B$ 是非零方阵，故 $r(B) \geq 1$。综上，$r(B) = 1$。
难度: ⭐⭐ 考点: #矩阵秩的性质
💡 学习锦囊
📖 相关定理: $AB=0 \implies r(A)+r(B) \leq n$。
拓展
这意味着 $B$ 的每一列都是齐次方程组 $AX=0$ 的解。
🔄 举一反三
- 设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，若 $r(A)=n$，且 $AB=0$，则 $B =$ ______。
查看练习答案与解析
答案：0。解析：$r(A)=n \implies A$ 可逆，两边左乘 $A^{-1}$ 得 $B=0$。
- 设 3 阶方阵 $A = (\alpha, \beta, \gamma), B = (2\beta, 3\alpha, 4\gamma)$，其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 为 3 维列向量，若 $|A| = 1$，则 $|B| =$ ______。
查看答案与解析
答案：-24
详细推导：$|B| = |2\beta, 3\alpha, 4\gamma| = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot |\beta, \alpha, \gamma| = 24 |\beta, \alpha, \gamma|$ 交换第一列和第二列（变号）： $|B| = -24 |\alpha, \beta, \gamma| = -24 |A| = -24$。
难度: ⭐ 考点: #行列式性质
💡 学习锦囊
📖 行列式性质: 提取一列的倍数、交换两列变号。
🔄 举一反三
- 设 $A = (\alpha, \beta, \gamma)$，则 $|(\alpha, \gamma, \beta)| =$ ______。
查看练习答案与解析
答案：$-|A|$。解析：交换两列。
三、计算题 (每小题 8 分，共 56 分)
- 计算下列行列式中第四行元素的代数余子式之和 $A_{41} + A_{42} + A_{43} + A_{44}$：
查看答案与解析
答案：0
详细推导： 代数余子式之和 $\sum_{j=1}^4 A_{4j}$ 等效于将原行列式 $D$ 的第四行替换为 $(1, 1, 1, 1)$：
由于第二行和第四行相同，故 $D' = 0$。
难度: ⭐⭐ 考点: #代数余子式 #行列式性质
💡 学习锦囊
📖 相关定理: $\sum a_{ij} A_{kj} = \begin{cases} |A|, & i=k \\ 0, & i \neq k \end{cases}$。
🔄 举一反三
- 计算 $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$ 中第一行代数余子式之和。
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答案：1。解析：$A_{11} = 4, A_{12} = -3$，之和为 1。等效于把第一行换成 (1,1)。
- 设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$，求乘积 $AB$。
查看答案与解析
答案：$\begin{pmatrix} 10 & 1 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}$
详细推导：
难度: ⭐ 考点: #矩阵乘法
💡 学习锦囊
📖 规则: 行乘列。
🔄 举一反三
- 求 $B^T A^T$。
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答案：$(AB)^T = \begin{pmatrix} 10 & 7 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$。
- 设矩阵 $B$ 满足方程 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$，求矩阵 $B$。
查看答案与解析
答案：$\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0.5 & 1.5 \end{pmatrix}$
详细推导： 设 $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则 $B = M^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$。 $M^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$$B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0.5 & 1.5 \end{pmatrix}$。
难度: ⭐⭐ 考点: #矩阵方程 #逆矩阵
💡 学习锦囊
📖 技巧: 也可以使用初等行变换 $(M | C) \to (E | B)$。
🔄 举一反三
- 若 $XB = C$ 且 $B$ 可逆，则 $X =$ ______。
查看练习答案与解析
答案：$CB^{-1}$。注意是右乘。
- 求向量组 $\alpha_{1} = (1, 2, 3, -1)^{T}, \alpha_{2} = (2, 2, 1, -1)^{T}, \alpha_{3} = (-1, -3, 0, 0)^{T}, \alpha_{4} = (2, 1, 4, -2)^{T}$ 的一个最大无关组。
查看答案与解析
答案：$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ (不唯一)
详细推导： 变换过程同前，得秩为 3，主元列对应 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。
难度: ⭐⭐ 考点: #最大线性无关组
💡 学习锦囊
📖 步骤: 构造矩阵 -> 初等行变换 -> 确定主元列。
🔄 举一反三
- 若向量组的秩为 $r$，其最大无关组含有多少个向量？
查看练习答案与解析
答案：$r$ 个。
- 求下列非齐次线性方程组的通解，并用对应齐次方程组的基础解系表示：
查看答案与解析
答案：$X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$（$k_1, k_2 \in \mathbb{R}$）
详细推导：
第一步：写出增广矩阵并作初等行变换
- $r_2 - 2r_1$： $\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 2 & \bigm| & 0 \end{pmatrix}$
- $r_3 - 3r_1$： $\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 2 & \bigm| & 0 \end{pmatrix}$
得行阶梯形：
第二步：分析秩与解的情况
$r(A) = r(A \mid b) = 2 < n = 4$，故方程组有无穷多解。
第三步：写出同解方程组并确定自由变量
由行阶梯形得同解方程组：
由第二个方程得：$x_3 = 2x_4$
代入第一个方程：
自由变量为 $x_2, x_4$。令 $x_2 = k_1$, $x_4 = k_2$（$k_1, k_2 \in \mathbb{R}$），得通解：
第四步：写出向量形式的通解
其中 $\eta^* = (1, 0, 0, 0)^T$ 为特解，$\xi_1 = (-2, 1, 0, 0)^T$ 与 $\xi_2 = (-3, 0, 2, 1)^T$ 为导出组（齐次方程组 $AX=0$）的基础解系。
方法总结：求解非齐次线性方程组的通解步骤：(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形；(2) 比较 $r(A)$ 与 $r(A \mid b)$ 判断解的存在性和个数；(3) 写出同解方程组，确定自由变量；(4) 用自由变量表示主变量，写成向量形式。
难度: ⭐⭐ 考点: #非齐次线性方程组 #通解 #基础解系 #初等行变换
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $AX=b$ 有解 $\iff r(A) = r(A \mid b)$
- 通解 = 导出组的通解（基础解系的线性组合）+ 一个特解
- 自由变量个数 = $n - r(A)$（即基础解系所含向量个数）
思路分析
看到非齐次线性方程组求通解，核心是做初等行变换，化增广矩阵为行阶梯形。先判断是否有解，再区分主变量和自由变量，最终用向量形式表达。
易错点
- 忘记对增广矩阵（而非系数矩阵）做变换
- 将 $b$ 列也参与列变换
- 通解中遗漏特解项（仅写出齐次部分）
- 基础解系向量个数误算为 $n - r(A\mid b)$（应为 $n - r(A)$）
🔄 举一反三
- 若将上述方程组中右端常数项改为 $b = (2, 4, 6)^T$，求通解。
查看练习答案与解析
答案：$X = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$（$k_1, k_2 \in \mathbb{R}$）
解析：- 第一步：对增广矩阵作同样的初等行变换，得 $r(A) = r(A \mid b) = 2$，仍为无穷多解
- 第二步：导出组不变，仅特解变化：$x_1 = 2 - 2x_2 - 3x_4$，特解为 $(2, 0, 0, 0)^T$
- 第三步：基础解系仍为 $\xi_1 = (-2, 1, 0, 0)^T$、$\xi_2 = (-3, 0, 2, 1)^T$
- 这说明非齐次项的变化只影响特解，不影响导出组的解空间。
- 写出上述方程组导出组的一个基础解系，并验证基础解系中的向量线性无关。
查看练习答案与解析
答案：$\xi_1 = (-2, 1, 0, 0)^T$, $\xi_2 = (-3, 0, 2, 1)^T$
解析：- 第一步：由 $r(A) = 2$ 知基础解系含 $n - r(A) = 4 - 2 = 2$ 个向量
- 第二步：由 $x_1 = -2x_2 - 3x_4$, $x_3 = 2x_4$，分别令 $(x_2, x_4) = (1, 0)$ 和 $(0, 1)$，得 $\xi_1 = (-2, 1, 0, 0)^T$、$\xi_2 = (-3, 0, 2, 1)^T$
- 第三步：验证线性无关：若 $c_1\xi_1 + c_2\xi_2 = 0$，取其第 2、4 分量得 $c_1 = 0$, $c_2 = 0$，故线性无关
- 设 $A$ 为三阶矩阵，$|A| = \frac{1}{2}$，求 $|(3A)^{-1} - 2A^{*}|$。
查看答案与解析
答案：$-16/27$
详细推导：$|(3A)^{-1} - 2A^{*}| = | \frac{1}{3}A^{-1} - 2|A|A^{-1} | = | (\frac{1}{3} - 1)A^{-1} | = | -\frac{2}{3}A^{-1} | = (-\frac{2}{3})^3 \cdot \frac{1}{|A|} = -\frac{8}{27} \cdot 2 = -\frac{16}{27}$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #伴随矩阵性质
💡 学习锦囊
📖 性质: $A^* = |A|A^{-1}$。
🔄 举一反三
- 求 $|A^2 (A^*)^{-1}|$。
查看练习答案与解析
答案：$|A|^2 / |A|^{n-1} = |A|^{3-n}$。
- 求矩阵 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。
查看答案与解析
答案：$\lambda_1=2, \lambda_2=\lambda_3=1$；对应向量为 $k_1(0,0,1)^T$ 和 $k_2(1,2,-1)^T$。
详细推导： 特征方程 $(\lambda-2)(\lambda-1)^2 = 0 \implies \lambda=2, 1, 1$。 对应的基础解系同前。
难度: ⭐⭐ 考点: #特征值 #特征向量
💡 学习锦囊
📖 提示: 求特征向量即解齐次线性方程组 $(\lambda E - A)X = 0$。
🔄 举一反三
- 该矩阵 $A$ 是否可对角化？
查看练习答案与解析
答案：不可对角化。解析：$\lambda=1$ 是二重根，但其对应的线性无关特征向量只有一个（基础解系维数为 $3-2=1$），少于重数。
四、证明题 (本题满分 8 分)
- 证明：如果向量组 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关，则向量组 $\alpha, \alpha + 2\beta, \alpha + 2\beta + 3\gamma$ 也线性无关。
查看答案与解析
证明： 设 $k_1\alpha + k_2(\alpha + 2\beta) + k_3(\alpha + 2\beta + 3\gamma) = 0$。 整理得 $(k_1 + k_2 + k_3)\alpha + (2k_2 + 2k_3)\beta + 3k_3\gamma = 0$。 由于 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关，得系数全为 0，解方程组得 $k_1=k_2=k_3=0$。故结论成立。
难度: ⭐⭐ 考点: #线性无关定义
💡 学习锦囊
证明思路
核心在于利用已知无关向量组的定义，将新向量组的线性组合转化为已知组的线性组合。
🔄 举一反三
- 证明：$\alpha, \beta$ 线性无关 $\implies \alpha+\beta, \alpha-\beta$ 线性无关。
查看解析
$k_1(\alpha+\beta) + k_2(\alpha-\beta) = (k_1+k_2)\alpha + (k_1-k_2)\beta = 0$。由 $\alpha, \beta$ 无关得 $k_1+k_2=0, k_1-k_2=0 \implies k_1=k_2=0$。