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《线性代数》第二学期期末试卷B (精选04)
时间：120分钟 | 课程：线性代数 | 学分：2 | 形式：闭卷 | 总分：100分
一、判断题（共 15 分，每小题 3 分）
- 任何实对称矩阵都可以表成一系列初等矩阵的乘积。 （ ）
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答案：×
解析：
本题考查矩阵的初等变换与矩阵的可逆性。
第一步：回顾初等矩阵的性质
初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等变换得到的，所有的初等矩阵都是可逆的。因此，有限个初等矩阵的乘积也必然是可逆矩阵。
第二步：分析实对称矩阵
实对称矩阵 $A$ 满足 $A^T = A$，但它不一定是可逆的。例如，零矩阵 $O$ 是实对称矩阵，但 $|O|=0$，它是不可逆的。
第三步：得出结论
由于只有可逆矩阵才能表示为初等矩阵的乘积，而实对称矩阵不一定可逆，所以该命题错误。
难度: ⭐
考点: #实对称矩阵 #初等矩阵 #矩阵可逆性
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📖 相关公式与知识点:
- 矩阵 $A$ 可逆 $\iff$ $A$ 可表示为有限个初等矩阵的乘积。
- 实对称矩阵定义：$A^T = A$。
思路分析
看到“表示为初等矩阵乘积”，立刻想到“可逆性”。找反例时，最简单的反例通常是奇异矩阵（行列式为 0 的矩阵）。
易错点
- 误认为所有对称矩阵都可逆。
- 混淆“初等变换”与“表示为初等矩阵乘积”的区别（前者任何矩阵都能做，后者仅限可逆矩阵）。
🔄 举一反三
- 若 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，则 $A$ 必能表示为一系列初等矩阵的乘积。
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答案：√
解析：这是教材中的基本定理。可逆矩阵可以通过初等行变换化为单位矩阵 $E$，对应的初等矩阵乘积即为 $A$ 的逆或 $A$ 本身。 - 两个 $n$ 阶方阵 $A$ 与 $B$ 等价的充分必要条件是它们可以由一系列初等矩阵相互转化。
查看练习答案与解析
答案：√
解析：矩阵等价定义即为存在可逆阵 $P, Q$ 使得 $PAQ=B$，而可逆阵可表示为初等矩阵乘积。
- 方阵 $A$ 与其转置阵 $A^T$ 有相同的特征值，因此有相同的特征向量。（ ）
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答案：×
解析：
本题考查特征值与特征向量的性质。
第一步：验证特征值是否相同
特征值由特征多项式 $| \lambda E - A | = 0$ 决定。
因为 $| \lambda E - A^T | = | (\lambda E - A)^T | = | \lambda E - A |$，所以 $A$ 与 $A^T$ 的特征多项式相同，特征值也完全相同。
第二步：验证特征向量是否相同
特征向量是方程 $(\lambda E - A)X = 0$ 的非零解。虽然特征值相同，但系数矩阵 $\lambda E - A$ 与 $\lambda E - A^T$ 通常不同，其零空间（即特征子空间）也不同。
举例说明：
设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，其特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=2$。
对于 $\lambda_1=1$，$(E-A)X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$，特征向量为 $k(1,0)^T$。
而 $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，对于 $\lambda_1=1$，$(E-A^T)X = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$，特征向量为 $k(1,-1)^T$。
显然特征向量不同。
难度: ⭐
考点: #特征值 #特征向量 #矩阵转置
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $|A| = |A^T|$。
- $A$ 的特征值是 $|\lambda E - A| = 0$ 的根。
思路分析
牢记：特征值是“标量”性质，转置不改变行列式值，所以特征值不变；特征向量是“空间”性质，转置改变了行向量和列向量的关系，通常会改变特征向量。
易错点
- 错误地认为 $|A|=|A^T|$ 意味着 $A=A^T$。
- 混淆特征值（数）与特征向量（向量）的性质。
🔄 举一反三
- 若 $A$ 是实对称矩阵，则 $A$ 与 $A^T$ 的特征向量是否相同？
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答案：是。
解析：因为实对称矩阵满足 $A = A^T$，既然矩阵本身完全相同，其特征向量自然也相同。 - 设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda$ 是否一定是 $A^T$ 的特征值？
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答案：是。
解析：$A$ 与 $A^T$ 的特征多项式相同，故特征值集合完全一致。
- 设 $A_{ij}$ 为 $n$ 阶行列式 $D = |a_{ij}|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，若 $a_{ij} = -A_{ij} (i,j = 1,2,\ldots,n)$ ，则 $D \neq 0$ 。（ ）
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答案：×
解析：
本题考查行列式展开定理及伴随矩阵。
第一步：分析已知条件
已知 $a_{ij} = -A_{ij}$，这意味着矩阵 $A$ 的元素与其代数余子式成相反数关系。
写成矩阵形式：$A = -(A^*)^T$，其中 $A^*$ 是伴随矩阵。
第二步：利用行列式性质
根据 $AA^* = |A|E$，取行列式得 $|A||A^*| = |A|^n$。
又 $|A^*| = |A|^{n-1}$。
根据已知 $A = -(A^*)^T$，则 $|A| = |-(A^*)^T| = (-1)^n |A^*| = (-1)^n |A|^{n-1}$。
第三步：寻找反例
若 $A = O$（零矩阵），则 $a_{ij} = 0$，$A_{ij} = 0$（对于 $n \ge 2$），满足 $a_{ij} = -A_{ij}$。
此时 $D = |A| = 0$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #代数余子式 #行列式展开 #伴随矩阵
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📖 相关公式与知识点:
- $AA^* = |A|E$
- $|A^*| = |A|^{n-1}$
- 行列式按行（列）展开定理：$\sum a_{ij} A_{ij} = |A|$
思路分析
对于这种“若...则 $D \neq 0$”的命题，首先考虑零矩阵是否符合条件。如果零矩阵符合条件，命题立判为错。
易错点
- 忽略 $D=0$ 的特殊情况。
- 错误地将 $a_{ij} = -A_{ij}$ 转化为 $\sum a_{ij} A_{ij} = - \sum a_{ij}^2$ 从而断定 $D < 0$（这在 $A$ 为非零实矩阵时成立，但 $A$ 为零矩阵时 $D=0$）。
🔄 举一反三
- 若 $n$ 阶行列式 $D$ 中每个元素 $a_{ij}$ 满足 $a_{ij} = A_{ij}$，且 $D \neq 0$，求 $D$ 的可能取值（$n > 2$）。
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答案：$D=1$（$n$ 为偶数时可为 $\pm 1$）
解析：由 $a_{ij} = A_{ij}$ 得 $A = (A^*)^T$，则 $|A| = |A^*| = |A|^{n-1}$。若 $|A| \neq 0$，则 $|A|^{n-2} = 1$。 - 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若 $A^* = A^T$，则 $|A|$ 可能取哪些值？
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答案：当 $n > 2$ 时，$|A| = 0, 1$（若 $n$ 为偶数则可为 $0, \pm 1$）；当 $n = 2$ 时，$|A|$ 可取任意非负实数。
解析：$|A^*| = |A^T| \Rightarrow |A|^{n-1} = |A|$。当 $n > 2$ 时，解方程 $|A|^{n-1} - |A| = 0$ 得 $|A|=0$ 或 $|A|^{n-2}=1$。当 $n = 2$ 时，$|A|^1 = |A|$ 恒成立，此时 $A^* = A^T$ 等价于 $A$ 为正交矩阵乘以常数，$|A|$ 可为任意非负实数。
- 若 $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{r}$ 为线性方程组 $AX = 0$ 的基础解系，则与 $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{r}$ 等价的向量组也为此方程组的基础解系。 （ ）
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答案：×
解析：
本题考查基础解系的定义与向量组等价的概念。
第一步：回顾基础解系的定义
基础解系必须满足两个条件：
- 向量组线性无关；
- 向量组中的每一个向量都是方程组的解，且方程组的任何解都能由它们线性表示。
第二步：分析向量组等价
两个向量组等价意味着它们可以互相线性表示，即它们生成的空间相同。
但是，等价的向量组不一定线性无关。
第三步：举出反例
设 $\eta_1, \eta_2$ 是基础解系（线性无关）。
取向量组 $\eta_1, \eta_2, \eta_1 + \eta_2$。这个新向量组与原向量组等价，且其中的向量都是解。
但是，新向量组有 3 个向量，且线性相关，不满足基础解系的“线性无关”要求。
难度: ⭐⭐
考点: #基础解系 #向量组等价 #线性无关
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 基础解系含有的向量个数等于 $n - R(A)$。
- 向量组等价 $\iff$ 两个向量组可以相互线性表示。
思路分析
注意“基础解系”隐含了“最大无关组”的概念。等价只能保证“空间相同”，不能保证“个数最少”且“线性无关”。
易错点
- 误以为“等价”包含“线性无关”的性质。
- 忽略了基础解系对向量个数和线性无关性的严格要求。
🔄 举一反三
- 若 $\eta_{1}, \dots, \eta_{r}$ 为 $AX=0$ 的基础解系，$\gamma_{1}, \dots, \gamma_{r}$ 与其等价，则 $\gamma_{1}, \dots, \gamma_{r}$ 是否一定是基础解系？
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答案：是。
解析：因为个数相同且等价，则秩相同。由于原组线性无关，秩为 $r$，故新组秩也为 $r$。个数为 $r$ 且秩为 $r$ 的向量组必线性无关，满足基础解系定义。 - 基础解系是否唯一？
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答案：不唯一。
解析：只要是解空间的一组基都可以作为基础解系，通常有无穷多组。
- 设 $a, b, c$ 是互不相等的数，则向量组 $(1, a, a ^ {2}, a ^ {3}), (1, b, b ^ {2}, b ^ {3}), (1, c, c ^ {2}, c ^ {3})$ 是线性无关的。 （ ）
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答案：√
解析：
本题考查 Vandermonde 行列式的应用。
第一步：构造矩阵
将这三个向量作为矩阵 $A$ 的行：
第二步：分析矩阵的秩
考虑其左侧 $3 \times 3$ 的子矩阵（即前三列）：
这是一个 3 阶 Vandermonde 行列式，其值为 $(b-a)(c-a)(c-b)$。
第三步：利用已知条件
因为 $a, b, c$ 互不相等，所以 $D \neq 0$。
这意味着矩阵 $A$ 的秩 $R(A) \ge 3$。由于 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，秩最大为 3，故 $R(A) = 3$。
第四步：得出结论
矩阵的秩等于其行向量组的秩。秩为 3 意味着这 3 个行向量线性无关。
难度: ⭐⭐
考点: #线性无关 #范德蒙德行列式 #矩阵的秩
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- Vandermonde 行列式：$V_n = \prod_{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j)$。
- 向量组线性无关 $\iff$ 向量组的秩等于向量个数。
思路分析
看到 $(1, x, x^2, \dots)$ 这种形式的向量，第一反应应该是 Vandermonde 行列式。
易错点
- 忘记范德蒙德行列式的非零条件（变量互不相等）。
- 混淆行向量无关与列向量无关的关系（秩相等，结论一致）。
🔄 举一反三
- 若 $a, b, c$ 中有两个数相等，该向量组是否线性无关？
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答案：否。
解析：若 $a=b$，则第一个向量和第二个向量完全相同，向量组显然线性相关。 - 四个向量 $(1, a_i, a_i^2, a_i^3)$ ($i=1,2,3,4$) 线性无关的条件是什么？
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答案：$a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等。
解析：此时构成 4 阶范德蒙德行列式，非零则无关。
二、单项选择题（共 15 分，每小题 3 分）
设 $n$ 阶方阵 $A, B, C$ 满足关系式 $ABC = E$ ，则 ______ 成立。
- A. $ACB = E$
- B. $C B A = E$
- C. $B A C = E$
- D. $B C A = E$
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答案：D
解析：
本题考查矩阵乘法与逆矩阵的性质。
第一步：利用逆矩阵定义
由 $ABC = E$ 可知，矩阵 $A$ 是可逆的，且 $A^{-1} = BC$。
同理，$C$ 也是可逆的，且 $C^{-1} = AB$。
第二步：利用 $AA^{-1} = A^{-1}A = E$
因为 $A^{-1} = BC$，所以 $A(BC) = E$（已知条件）。
根据逆矩阵的性质，$(BC)A = E$ 也必须成立。
即 $BCA = E$。
第三步：验证其他选项
矩阵乘法不满足交换律，除非有特殊条件，否则不能随意交换 $B$ 和 $C$ 的位置。
难度: ⭐
考点: #逆矩阵 #矩阵乘法结合律
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 若 $XY = E$，则 $YX = E$（对于方阵）。
- $(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$。
思路分析
这类题目有个技巧：乘法环状移动（轮换）不改变乘积为 $E$ 的性质。即 $ABC=E \Rightarrow BCA=E \Rightarrow CAB=E$。
易错点
- 错误地认为 $ABC=E$ 可以推导出 $ACB=E$（交换 $B, C$ 需要它们可交换）。
- 忘记逆矩阵的定义是双向的（$XY=E \Rightarrow YX=E$）。
🔄 举一反三
- 已知 $AB = E$，则 $BA = E$ 是否成立？
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答案：是（若 $A, B$ 是方阵）。
解析：这是方阵逆矩阵的基本性质。 - 设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，满足 $A^2 + AB + E = O$，则 $A$ 是否可逆？
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答案：是。
解析：$A(A+B) = -E$，故 $A(-A-B) = E$，满足逆矩阵定义，$A^{-1} = -A-B$。
- 设 $n$ 维向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}(m < n)$ 线性无关, 则 $n$ 维向量 $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{m}$ 线性无关的充要条件为
- A. 向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{m}$ 可由向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}, \dots, \beta_{m}$ 线性表示
- B. 向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{m}$ 可由向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}$ 线性表示
- C. 向量组 $\alpha_{1}, \dots, \alpha_{m}$ 与向量组 $\beta_{1}, \dots, \beta_{m}$ 等价
- D. 矩阵 $A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m})$ 与矩阵 $B = (\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{m})$ 等价
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答案：D
解析：
本题考查向量组的秩与矩阵等价的关系。
第一步：分析 $\alpha$ 向量组
已知 $\alpha_{1}, \dots, \alpha_{m}$ 线性无关，所以其秩 $R(\alpha_1, \dots, \alpha_m) = m$。
对应的矩阵 $A$ 的秩 $R(A) = m$。
第二步：分析 $\beta$ 向量组线性无关的条件
$\beta_{1}, \dots, \beta_{m}$ 线性无关的充要条件是其秩 $R(\beta_1, \dots, \beta_m) = m$。
即矩阵 $B$ 的秩 $R(B) = m$。
第三步：分析选项
- A 选项：只能说明 $R(\alpha) \le R(\beta)$，即 $m \le R(B)$。因为 $R(B)$ 最大为 $m$，这确实能推出 $R(B)=m$。但这只是充分条件，不是充要条件吗？等等，如果 $\beta$ 线性无关，那么 $R(\beta)=m$，因为 $\alpha$ 也是 $m$ 个无关向量，所以它们生成的空间维数相同，$\alpha$ 不一定能由 $\beta$ 表示（除非空间相同）。
- D 选项：矩阵 $A$ 与 $B$ 等价 $\iff$ $R(A) = R(B)$。
已知 $R(A) = m$，所以 $A$ 与 $B$ 等价 $\iff$ $R(B) = m$。
而 $R(B) = m \iff \beta_{1}, \dots, \beta_{m}$ 线性无关。
因此，D 是充要条件。
难度: ⭐⭐
考点: #线性无关 #矩阵等价 #向量组的秩
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 向量组线性无关 $\iff$ 秩等于向量个数。
- 矩阵 $A \sim B \iff R(A) = R(B)$。
思路分析
本题的关键在于将“向量组线性无关”转化为“矩阵的秩”，再利用“矩阵等价”与“秩相等”的等价性。
易错点
- 混淆“向量组等价”与“矩阵等价”的概念（前者要求可以互相表示，后者仅要求秩相等）。
- 误选 C，忽略了等价要求空间一致，而题目只要求 $\beta$ 组线性无关。
🔄 举一反三
- 若向量组 $I$ 可由向量组 $II$ 线性表示，则两个向量组的秩有何关系？
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答案：$R(I) \le R(II)$。
解析：被表示组的秩不超过表示组的秩。 - 两个矩阵 $A$ 与 $B$ 等价的充要条件是它们有相同的 ______。
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答案：秩。
解析：矩阵等价的本质就是秩相等。
设非齐次线性方程组 $AX = b$ 的两个不同解为 $\beta_{1},\beta_{2}$ , 它的导出组的一个基础解系为 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ , 则线性方程组 $AX = b$ 的通解 $X =$ (其中 $k_{1},k_{2}$ 为任意常数)。
- A. $k_{1} \alpha_{1} + k_{2} (\alpha_{1} + \alpha_{2}) + \frac{1}{2} (\beta_{1} - \beta_{2})$
- B. $k_{1} \alpha_{1} + k_{2} (\alpha_{1} - \alpha_{2}) + \frac{1}{2} (\beta_{1} + \beta_{2})$
- C. $k_{1} \alpha_{1} + k_{2} (\beta_{1} + \beta_{2}) + \frac{1}{2} (\beta_{1} - \beta_{2})$
- D. $k_{1} \alpha_{1} + k_{2} (\beta_{1} - \beta_{2}) + \frac{1}{2} (\beta_{1} + \beta_{2})$
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答案：B
解析：
本题考查非齐次线性方程组通解的结构。
第一步：通解结构回顾
非齐次线性方程组 $AX=b$ 的通解 = 对应齐次方程组 $AX=0$ 的通解 + $AX=b$ 的一个特解。
第二步：分析各选项的齐次部分
已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 是 $AX=0$ 的基础解系（线性无关，且张成整个 2 维解空间）。
A 选项：齐次部分为 $k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1+\alpha_2)$。$\alpha_1$ 与 $\alpha_1+\alpha_2$ 线性无关，可张成解空间。但特解 $\frac{1}{2}(\beta_1-\beta_2)$ 是齐次解（$A(\beta_1-\beta_2)=0$），不是 $AX=b$ 的特解。❌
B 选项：齐次部分为 $k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1-\alpha_2)$。$\alpha_1$ 与 $\alpha_1-\alpha_2$ 线性无关（系数矩阵行列式 $= -1 \neq 0$），可张成完整的 2 维解空间。特解 $\frac{1}{2}(\beta_1+\beta_2)$ 满足 $A \cdot \frac{1}{2}(\beta_1+\beta_2) = \frac{1}{2}(b+b) = b$。✅
C 选项：齐次部分含 $\beta_1+\beta_2$，但 $A(\beta_1+\beta_2)=2b \neq 0$，不是齐次解。❌
D 选项：齐次部分为 $k_1\alpha_1 + k_2(\beta_1-\beta_2)$。虽然 $\beta_1-\beta_2$ 是齐次解，但无法保证 $\alpha_1$ 与 $\beta_1-\beta_2$ 线性无关（$\beta_1-\beta_2$ 可能平行于 $\alpha_1$）。若两者线性相关，则齐次部分只能张成 1 维空间，不能覆盖所有解。❌
第三步：得出结论
只有 B 选项恒为正确的通解表达式。
方法总结：验证通解需同时检查两点：(1) 齐次部分能否张成完整的解空间（系数向量线性无关）；(2) 特解是否满足原方程。
难度: ⭐⭐
考点: #非齐次线性方程组 #通解结构 #解的性质
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $A(\beta_1 - \beta_2) = A\beta_1 - A\beta_2 = b - b = 0$。
- $A(\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}) = \frac{1}{2}(A\beta_1 + A\beta_2) = \frac{1}{2}(b+b) = b$。
思路分析
通解必须包含两部分：任意常数倍的齐次解，加上一个不带常数的特解。观察选项，特解必须满足 $A \cdot \text{特解} = b$。
易错点
- 错误地选择 $\beta_1 - \beta_2$ 作为特解（它是齐次解）。
- 错误地选择 $\beta_1 + \beta_2$ 作为特解（它满足 $AX=2b$）。
🔄 举一反三
- 若 $\beta$ 是 $AX=b$ 的特解，$\eta$ 是 $AX=0$ 的解，则 $\beta + \eta$ 是什么方程的解？
查看练习答案与解析
答案：$AX=b$ 的解。
解析：$A(\beta + \eta) = A\beta + A\eta = b + 0 = b$。 - 设 $AX=b$ 有解 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$，则 $\frac{1}{3}\eta_1 + \frac{1}{3}\eta_2 + \frac{1}{3}\eta_3$ 是否为 $AX=b$ 的解？
查看练习答案与解析
答案：是。
解析：系数之和为 $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$，根据解的线性组合性质可知成立。
设 $A, B$ 均为 $n (n \geq 2)$ 阶方阵，则必有 ________。
- A. $|A + B| = |A| + |B|$
- B. $AB = BA$
- C. $|AB| = |BA|$
- D. $(A + B)^{-1} = B^{-1} + A^{-1}$
查看答案与解析
答案：C
解析：
本题考查矩阵行列式的乘法性质。
第一步：分析行列式乘法公式
对于任何 $n$ 阶方阵 $A, B$，有 $|AB| = |A| \cdot |B|$。
第二步：比较 $|AB|$ 与 $|BA|$
因为 $|A|$ 和 $|B|$ 是标量（数），数乘满足交换律。
所以 $|AB| = |A||B| = |B||A| = |BA|$。
此结论对任何方阵 $A, B$ 恒成立。
第三步：排除其他错误选项
- A：行列式不满足加法分配律。例如 $A=E, B=E$，$|A+B| = |2E| = 2^n$，而 $|A|+|B| = 1+1 = 2$。当 $n \ge 2$ 时二者不等。
- B：矩阵乘法一般不满足交换律。
- D：逆矩阵不满足加法分配律。
难度: ⭐
考点: #行列式性质 #矩阵乘法
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $|AB| = |A||B|$。
- 矩阵乘法不满足交换律：$AB \neq BA$（一般情况下）。
思路分析
行列式是将矩阵映射为一个“数”。在“数”的层面，乘法是可以交换的。
易错点
- 误认为行列式具有加法性质 $|A+B|=|A|+|B|$。
- 误认为矩阵乘法满足交换律。
🔄 举一反三
- 若 $AB=O$，是否一定有 $BA=O$？
查看练习答案与解析
答案：不一定。
解析：例如 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。则 $AB=O$ 但 $BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq O$。 - 已知 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则 $|kA| =$ ______。
查看练习答案与解析
答案：$k^n |A|$。
解析：每一行都提取一个 $k$，共 $n$ 行。
$n$ 阶实对称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同的充分必要条件是
- A. $R(A) = R(B)$
- B. $A$ 与 $B$ 的正惯性指数相等
- C. $A, B$ 为正定矩阵
- D. A, B 秩相等且正惯性指数相等
查看答案与解析
答案：D
解析：
本题考查二次型与实对称矩阵合同的判别。
第一步：回顾合同的定义
若存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^T AP = B$，则称 $A$ 与 $B$ 合同。
第二步：回顾惯性定理
实对称矩阵合同的充要条件是：它们有相同的正惯性指数 $p$ 和负惯性指数 $q$。
第三步：分析选项
- A：秩相等只是必要条件，因为秩 $R = p + q$。秩相等不能保证 $p$ 和 $q$ 分别相等。
- B：只说正惯性指数相等是不够的，还需要负惯性指数相等（或者秩相等）。
- D：秩相等（$p+q$ 相等）且正惯性指数 $p$ 相等，则负惯性指数 $q$ 必然相等。这构成了合同的充要条件。
难度: ⭐⭐
考点: #矩阵合同 #惯性定理 #正惯性指数
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 惯性定理：实二次型经可逆线性变换后，其标准形中正项个数 $p$ 和负项个数 $q$ 是唯一的。
- 合同 $\iff$ $p_A = p_B$ 且 $q_A = q_B$。
思路分析
“合同”看“惯性指数”，“相似”看“特征值”。实对称矩阵的世界里，这两个概念非常核心。
易错点
- 混淆“合同”与“相似”的判别条件。
- 认为秩相等即可合同。
🔄 举一反三
- 若 $A$ 与 $B$ 相似，则它们是否一定合同？
查看练习答案与解析
答案：是（对于实对称矩阵）。
解析：相似意味着特征值相同。特征值的正负个数即为正负惯性指数。特征值相同则惯性指数必相同，故合同。 - 两个实对称矩阵 $A, B$ 合同的几何意义是它们对应相同的 ______。
查看练习答案与解析
答案：二次型。
解析：在不同的基下，同一个二次型的矩阵是合同的。
三、填空题（共 30 分，每小题 3 分）
- $\alpha, \beta, \gamma$ 为三维列向量，已知三阶行列式 $|4\gamma - \alpha, \beta - 2\gamma, 2\alpha| = 40$ ，则行列式 $|\alpha, \beta, \gamma| =$ ________。
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答案：-5
解析：
本题考查行列式的线性性质（多线性）。
第一步：利用行列式的倍乘性质
第二步：利用行列式的加法性质（按列拆分）
由于第三列是 $\alpha$，第一列中的 $-\alpha$ 可以消去（相当于第一列加第三列）：
第三步：继续消去相同向量的倍数
第一列是 $4\gamma$，可以消去第二列中的 $-2\gamma$（相当于第二列加第一列的 $1/2$）：
第四步：提取常数因子
第五步：交换列改变符号
交换第一列和第三列：
第六步：代入已知条件求解
$-8 |\alpha, \beta, \gamma| = 40 \Rightarrow |\alpha, \beta, \gamma| = -5$。
难度: ⭐⭐
考点: #行列式性质 #多线性 #行列式变换
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📖 相关公式与知识点:
- $| \dots, k\alpha, \dots | = k | \dots, \alpha, \dots |$
- $| \dots, \alpha + \beta, \dots | = | \dots, \alpha, \dots | + | \dots, \beta, \dots |$
- 交换两列，行列式变号。
思路分析
先提取常数，再利用某列是 $\alpha$ 或 $\gamma$ 的倍数去简化其他列。最后调整列的顺序使其符合标准形式。
易错点
- 提取常数时漏乘。
- 交换列时忘记改变符号。
- 混淆行列式的线性性质与矩阵的倍乘性质（矩阵倍乘提取 $k^n$）。
🔄 举一反三
- 若 $|\alpha, \beta, \gamma| = 2$，求 $|\alpha + \beta, \beta + \gamma, \gamma + \alpha|$。
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答案：4
解析：原式 = $|\alpha, \beta, \gamma| + |\beta, \gamma, \alpha| = 2 + 2 = 4$（拆分后只有两项不为 0）。 - 已知 $|\alpha, \beta, \gamma| = k$，求 $|2\alpha, 3\beta, 4\gamma|$。
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答案：$24k$
解析：每一列分别提取常数 $2, 3, 4$，积为 $24$。
- 五阶方阵 $A$ 的特征值为 1，1，2，2，3， $E$ 为五阶单位阵，则 $|A - 4E| =$ ________。
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答案：-36
解析：
本题考查矩阵特征值与行列式的关系。
第一步：确定 $A-4E$ 的特征值
若 $A$ 的特征值为 $\lambda$，则 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$。
这里 $f(A) = A - 4E$，故其特征值为 $\lambda_i - 4$。
代入 $\lambda = 1, 1, 2, 2, 3$ 得：
$1-4, 1-4, 2-4, 2-4, 3-4$
即 $-3, -3, -2, -2, -1$。
第二步：利用行列式等于特征值之积
$|A - 4E| = (-3) \times (-3) \times (-2) \times (-2) \times (-1)$
$|A - 4E| = 9 \times 4 \times (-1) = -36$。
难度: ⭐
考点: #特征值性质 #矩阵行列式
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📖 相关公式与知识点:
- $|A| = \prod \lambda_i$。
- 若 $A \xi = \lambda \xi$，则 $(A+kE) \xi = (\lambda+k) \xi$。
思路分析
看到 $|A-kE|$，应立刻联想到这其实是在求特征多项式在 $k$ 点的值，即所有 $(\lambda_i - k)$ 的乘积。
易错点
- 忘记行列式等于特征值之积。
- 计算符号出错（奇数个负号结果为负）。
🔄 举一反三
- 若 $A$ 的特征值为 1, 2, 3，求 $|A^2|$。
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答案：36
解析：$A^2$ 的特征值为 $1^2, 2^2, 3^2$，即 1, 4, 9。其积为 36。 - 设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$，求 $|A + E|$。
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答案：$\prod (\lambda_i + 1)$。
解析：$A+E$ 的特征值为 $\lambda_i + 1$。
- 设 $A, B$ 为同阶可逆矩阵，则 $\begin{pmatrix} O & 2A \\ B & O \end{pmatrix}^{-1} =$ ________。
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答案：$\begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ \frac{1}{2}A^{-1} & O \end{pmatrix}$
解析：
本题考查分块矩阵的逆。
方法一：待定系数法
设逆矩阵为 $\begin{pmatrix} X_1 & X_2 \\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$，则：
$\begin{pmatrix} O & 2A \\ B & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_1 & X_2 \\ X_3 & X_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & O \\ O & E \end{pmatrix}$
展开得：
- $2AX_3 = E \Rightarrow X_3 = \frac{1}{2}A^{-1}$
- $2AX_4 = O \Rightarrow X_4 = O$
- $BX_1 = O \Rightarrow X_1 = O$
- $BX_2 = E \Rightarrow X_2 = B^{-1}$
方法二：利用分块矩阵求逆公式
对于副对角线分块矩阵 $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}$。
将 $A$ 替换为 $2A$，得结果为 $\begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ (2A)^{-1} & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ \frac{1}{2}A^{-1} & O \end{pmatrix}$。
难度: ⭐⭐
考点: #分块矩阵 #逆矩阵
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📖 相关公式与知识点:
- $\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}$
思路分析
记住分块矩阵的两种基本形式：主对角线型和副对角线型。副对角线型求逆后，分块位置对调且分别取逆。
易错点
- 忘记分块位置对调。
- 忘记对常数 $2$ 求逆（变成 $1/2$）。
🔄 举一反三
- 求 $\begin{pmatrix} E & A \\ O & E \end{pmatrix}^{-1}$。
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答案：$\begin{pmatrix} E & -A \\ O & E \end{pmatrix}$
解析：这是上三角分块矩阵，其逆矩阵只需将右上角变号。 - 求 $\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix}^{-1}$。
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答案：$\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix}$
解析：利用分块矩阵求逆公式（下三角情况）。
- 设向量组 $\alpha_{1} = (1,2,3,4)^{T}$ , $\alpha_{2} = (2,3,4,5)^{T}$ , $\alpha_{3} = (3,4,5,6)^{T}$ , $\alpha_{4} = (4,5,6,7)^{T}$ , 则 $R(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}) =$ ________。
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答案：2
解析：
本题考查向量组的秩。
第一步：观察向量规律
$\alpha_2 - \alpha_1 = (1,1,1,1)^T$
$\alpha_3 - \alpha_2 = (1,1,1,1)^T$
$\alpha_4 - \alpha_3 = (1,1,1,1)^T$
第二步：找出线性组合关系
由上式可知：
$\alpha_3 = \alpha_2 + (\alpha_2 - \alpha_1) = 2\alpha_2 - \alpha_1$
$\alpha_4 = \alpha_3 + (\alpha_3 - \alpha_2) = 2\alpha_3 - \alpha_2$
这意味着 $\alpha_3$ 和 $\alpha_4$ 都可以由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示。
第三步：判断极大无关组
向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\}$ 与 $\{\alpha_1, \alpha_2\}$ 等价。
因为 $\alpha_1, \alpha_2$ 显然不比例，所以线性无关。
故秩为 2。
难度: ⭐
考点: #向量组的秩 #线性表示
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 向量组的秩即为其极大线性无关组所含向量的个数。
- 若向量组的分量成等差数列，通常秩较小。
思路分析
做题时先看向量之间有没有明显的加减关系。分量呈现等差规律时，相邻向量的差往往相同，这能快速判断线性相关性。
易错点
- 误认为分量越多秩越大。
- 忽略了向量之间的线性相关关系。
🔄 举一反三
- 若 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，$\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2$，则 $R(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 为多少？
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答案：2
解析：$\alpha_3$ 可由前两个表示，极大无关组为 $\{\alpha_1, \alpha_2\}$。 - 设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则 $\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ 的秩为多少？
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答案：3
解析：这是典型的阶梯形变换，线性无关性保持不变。
- 若方阵 $A$ 相似于 $\begin{pmatrix} 1 & & \\ & -2 & \\ & & 2 \end{pmatrix}$ ，则 $|A^{-1}|^3 =$ ________。
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答案：-1/64
解析：
本题考查矩阵相似、行列式及逆矩阵的性质。
第一步：求 $|A|$
相似矩阵具有相同的行列式。
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & & \\ & -2 & \\ & & 2 \end{vmatrix} = 1 \times (-2) \times 2 = -4$。
第二步：求 $|A^{-1}|$
$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = -\frac{1}{4}$。
第三步：计算 $|A^{-1}|^3$
$|A^{-1}|^3 = (-\frac{1}{4})^3 = -\frac{1}{64}$。
难度: ⭐
考点: #矩阵相似 #行列式性质 #逆矩阵行列式
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 若 $A \sim B$，则 $|A| = |B|$。
- $|A^{-1}| = |A|^{-1}$。
- $|A^k| = |A|^k$。
思路分析
相似 $\rightarrow$ 特征值相同 $\rightarrow$ 行列式相同（特征值之积）。这是一条非常常用的逻辑链。
易错点
- 忘记 $|A^{-1}| = 1/|A|$。
- 忘记对行列式值求立方。
🔄 举一反三
- 若 $A$ 相似于对角阵 $\text{diag}(1, 2, 3)$，求 $|A^*|$。
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答案：36
解析：$|A| = 1 \times 2 \times 3 = 6$。$|A^*| = |A|^{n-1} = 6^{3-1} = 36$。 - 已知 $A$ 与 $B$ 相似，且 $|A|=2$，求 $|B^{-1}|$。
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答案：1/2
解析：相似则行列式相等，$|B|=|A|=2$，故 $|B^{-1}|=1/2$。
- 已知 $A, B$ 均为 $n (n \geq 2)$ 阶矩阵， $A^{*}, B^{*}$ 分别为它们的伴随矩阵，如果 $R(A) = n - 1, R(B) = n$ ，则 $R(A^{*}B^{*}) =$ ________。
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答案：1
解析：
本题考查伴随矩阵的秩及其乘积的秩。
第一步：确定 $R(A^*)$
根据伴随矩阵秩的性质：
- 若 $R(A) = n$，则 $R(A^*) = n$；
- 若 $R(A) = n-1$，则 $R(A^*) = 1$；
- 若 $R(A) < n-1$，则 $R(A^*) = 0$。
已知 $R(A) = n-1$，故 $R(A^*) = 1$。
第二步：确定 $R(B^*)$
已知 $R(B) = n$，即 $B$ 可逆，故 $B^*$ 也可逆，$R(B^*) = n$。
第三步：分析乘积的秩
$R(A^* B^*)$：由于 $B^*$ 是可逆矩阵，矩阵乘以可逆矩阵不改变秩。
所以 $R(A^* B^*) = R(A^*) = 1$。
难度: ⭐⭐
考点: #伴随矩阵的秩 #矩阵秩的性质 #可逆矩阵
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 伴随矩阵秩的“三段式”结论（重点记忆）。
- 若 $Q$ 可逆，则 $R(AQ) = R(A), R(QA) = R(A)$。
思路分析
看到伴随矩阵的秩，立刻想到 $n, n-1, <n-1$ 的判定规则。看到乘以可逆矩阵，立刻想到“秩不变”。
易错点
- 记错伴随矩阵秩的判定结论。
- 误以为两个矩阵乘积的秩等于秩的乘积。
🔄 举一反三
- 若 $R(A)=n-2$，求 $R(A^*)$。
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答案：0
解析：当秩亏损大于 1 时，所有 $n-1$ 阶子式均为 0，故伴随矩阵为零矩阵。 - 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$R(A)=n$，求 $R(A^*)$。
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答案：$n$
解析：可逆矩阵的伴随矩阵仍可逆。
- 若齐次线性方程组 $\begin{cases} 2x + y + z = 0, \\ ax \quad -z = 0, \\ -x \quad +3z = 0. \end{cases}$ 存在非零解，则系数 $a =$ ________。
查看答案与解析
答案：1/3
解析：
本题考查齐次线性方程组有非零解的充要条件。
第一步：列出系数行列式
第二步：利用有非零解的条件
$n$ 元齐次线性方程组有非零解 $\iff$ 系数矩阵的秩 $R(A) < n \iff$ 系数行列式 $D = 0$。
第三步：计算行列式
按第二列展开（因为有两个 0）：
第四步：求解方程
令 $1 - 3a = 0 \Rightarrow a = 1/3$。
难度: ⭐
考点: #齐次线性方程组 #非零解 #行列式展开
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 克拉默法则：若 $D \neq 0$，齐次方程组只有零解。
- 只有当 $D = 0$ 时，齐次方程组才有非零解。
思路分析
齐次方程组有非零解 $\rightarrow$ 行列式为 0。计算行列式时，选择 0 较多的行或列展开可以大大简化计算。
易错点
- 展开行列式时符号出错。
- 混淆齐次与非齐次方程组有解的条件。
🔄 举一反三
- 若 $a=1$，方程组是否有非零解？
查看练习答案与解析
答案：否。
解析：若 $a=1$，$D = 1-3(1) = -2 \neq 0$，此时只有零解。 - 齐次线性方程组解的个数可能有哪些情况？
查看练习答案与解析
答案：唯一零解或无穷多解。
解析：齐次方程组必有零解，若有非零解则必有无穷多解。
- 设 $A$ 为三阶实对称矩阵，其特征值分别为 1，0，-3。已知与特征值 1, -3 对应的特征向量分别为 $(1, 0, 1)^T$ 和 $(1, 1, -1)^T$ , 则与特征值 0 对应的一个特征向量为 ________。
查看答案与解析
答案：$(1, -2, -1)^T$（或其非零倍数）
解析：
本题考查实对称矩阵特征向量的性质。
第一步：利用实对称矩阵的性质
实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必相互正交。
第二步：设定待求特征向量
设与特征值 0 对应的特征向量为 $\xi = (x_1, x_2, x_3)^T$。
第三步：列出正交方程组
$\xi$ 必须同时正交于已知特征向量 $\eta_1 = (1, 0, 1)^T$ 和 $\eta_2 = (1, 1, -1)^T$：
- $\xi \cdot \eta_1 = x_1 + x_3 = 0$
- $\xi \cdot \eta_2 = x_1 + x_2 - x_3 = 0$
第四步：求解方程组
由 (1) 得 $x_3 = -x_1$。
代入 (2) 得 $x_1 + x_2 - (-x_1) = 2x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2x_1$。
取 $x_1 = 1$，则 $\xi = (1, -2, -1)^T$。
难度: ⭐⭐
考点: #实对称矩阵 #特征向量正交性 #内积
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 实对称矩阵性质：不同特征值的特征向量正交。
- 向量正交 $\iff$ 内积为 0。
思路分析
看到“实对称矩阵”和“不同特征值”，第一反应就是“正交”。求正交向量本质上是解一个齐次线性方程组。
易错点
- 忘记实对称矩阵特征向量的正交性。
- 解齐次方程组时出现计算错误。
🔄 举一反三
- 已知两个正交向量 $\alpha_1, \alpha_2$，如何求出第三个与之都正交的向量？
查看练习答案与解析
答案：利用向量积（叉乘） $\alpha_1 \times \alpha_2$。
解析：在三维空间中，叉乘结果同时垂直于原有的两个向量。 - 设 $A$ 为实对称矩阵，$\lambda_1 \neq \lambda_2$。若 $\xi_1$ 是 $\lambda_1$ 的特征向量，$\xi_2$ 是 $\lambda_2$ 的特征向量，则 $\xi_1 \cdot \xi_2 =$ ______。
查看练习答案与解析
答案：0
解析：属于不同特征值的特征向量相互正交。
9．已知二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}^{2} + 6x_{2}x_{3} + 9x_{3}^{2}$ ，它的标准形为 ________。
查看答案与解析
答案：$y_1^2 + y_2^2$
解析：
本题考查二次型的配方法化标准形。
第一步：配方含有 $x_1$ 的项
$f = (x_1^2 + 2x_1x_2) + 2x_2^2 + 6x_2x_3 + 9x_3^2$
$f = (x_1 + x_2)^2 - x_2^2 + 2x_2^2 + 6x_2x_3 + 9x_3^2$
$f = (x_1 + x_2)^2 + x_2^2 + 6x_2x_3 + 9x_3^2$
第二步：继续配方含有 $x_2$ 的项
$f = (x_1 + x_2)^2 + (x_2^2 + 6x_2x_3 + 9x_3^2)$
$f = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 + 3x_3)^2$
第三步：作变量代换
令 $\begin{cases} y_1 = x_1 + x_2 \\ y_2 = x_2 + 3x_3 \\ y_3 = x_3 \end{cases}$
则 $f = y_1^2 + y_2^2$。
难度: ⭐⭐
考点: #二次型 #配方法 #标准形
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 二次型的标准形只包含平方项。
- 正惯性指数是标准形中系数为正的平方项个数。
思路分析
配方法的核心是“先排好一个变量，再处理剩下的”。如果配方后项数少于变量个数，说明矩阵是奇异的（秩不满）。
易错点
- 配方过程中常数项或交叉项处理错误。
- 忘记写出变量代换关系。
🔄 举一反三
- 求该二次型的秩。
查看练习答案与解析
答案：2
解析：标准形中非零平方项的个数为 2。 - 化二次型 $f = x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1$ 为标准形。
查看练习答案与解析
答案：$y_1^2 - y_2^2 - y_3^2$（一种可能）
解析：由于缺少平方项，需先作代换 $x_1 = y_1+y_2, x_2 = y_1-y_2$ 产生平方项再配方。
- 设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值分别为 1, 2, 3, \dots, $n$ 。则当 $t$ ________时，矩阵 $tE - A$ 为正定矩阵。
查看答案与解析
答案：$> n$
解析：
本题考查正定矩阵的判定。
第一步：确定 $tE - A$ 的特征值
若 $A$ 的特征值为 $\lambda_i$，则 $tE - A$ 的特征值为 $t - \lambda_i$。
代入 $\lambda = 1, 2, \dots, n$，特征值为：
$t-1, t-2, \dots, t-n$
第二步：利用正定矩阵的充要条件
实对称矩阵正定 $\iff$ 所有特征值均大于 0。
第三步：列出不等式组
$\begin{cases} t-1 > 0 \\ t-2 > 0 \\ \dots \\ t-n > 0 \end{cases}$
第四步：得出结论
要使所有特征值大于 0，只需最小的特征值 $t-n > 0$，即 $t > n$。
难度: ⭐⭐
考点: #正定矩阵 #特征值 #矩阵函数
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 正定矩阵所有特征值都大于零。
- 特征值之间的线性关系：$A \rightarrow \lambda \Rightarrow (tE-A) \rightarrow (t-\lambda)$。
思路分析
“正定”在特征值层面的定义最直接。把问题转化为对所有特征值求不等式，最后取交集即可。
易错点
- 误认为 $t$ 只要大于 1 即可（忽略了所有特征值都必须大于 0）。
- 记错正定矩阵的判别条件。
🔄 举一反三
- 若要使 $tE - A$ 是负定矩阵，$t$ 应满足什么条件？
查看练习答案与解析
答案：$t < 1$
解析：负定要求所有特征值小于 0，即 $t-1 < 0 \Rightarrow t < 1$。 - 设 $A$ 为正定矩阵，则 $A^{-1}$ 是否为正定矩阵？
查看练习答案与解析
答案：是。
解析：$A$ 的特征值 $\lambda_i > 0$，则 $A^{-1}$ 的特征值 $1/\lambda_i > 0$。
四、计算题（共 30 分，每小题 15 分）
- 设 $\alpha = (2, -1, 1)$ ，求： （1） $\alpha^T \alpha$ 的特征值与特征向量；
（2） 一正交阵 $Q$ , 使得 $Q^{T} \alpha^{T} \alpha Q$ 为对角阵。
查看答案与解析
答案：
(1) 特征值为 $6, 0, 0$；特征值 6 对应特征向量 $k_1(2, -1, 1)^T$；特征值 0 对应基础解系 $(1, 2, 0)^T, (0, 1, 1)^T$。
(2) $Q = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{30}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{30}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{5}{\sqrt{30}} \end{pmatrix}$ （结果不唯一）。
解析：
本题考查矩阵的特征值、特征向量及正交对角化。
第一步：计算矩阵 $A = \alpha^T \alpha$
$A = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。
第二步：求特征值
这是一个秩为 1 的矩阵。对于 $A = uv^T$，其特征值为 $v^T u$ 和 $n-1$ 个 $0$。
此处 $u = \alpha^T, v = \alpha$，则 $v^T u = \alpha \alpha^T = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 6$。
故特征值为 $\lambda_1 = 6, \lambda_2 = \lambda_3 = 0$。
第三步：求特征向量
- 对于 $\lambda_1 = 6$：解 $(6E-A)X=0$，得特征向量 $\xi_1 = (2, -1, 1)^T$。
- 对于 $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$：解 $AX=0$，即 $2x_1 - x_2 + x_3 = 0$。
基础解系为 $\xi_2 = (1, 2, 0)^T, \xi_3 = (0, 1, 1)^T$。
第四步：正交化与单位化
- 单位化 $\xi_1$：$q_1 = \frac{1}{\sqrt{6}}(2, -1, 1)^T$。
- 正交化 $\xi_2, \xi_3$（施密特正交化）：
$\eta_2 = \xi_2 = (1, 2, 0)^T$。
$\eta_3 = \xi_3 - \frac{(\xi_3, \eta_2)}{(\eta_2, \eta_2)}\eta_2 = (0, 1, 1)^T - \frac{2}{5}(1, 2, 0)^T = (-\frac{2}{5}, \frac{1}{5}, 1)^T$。
取 $\eta_3 = (-2, 1, 5)^T$。 - 单位化：
$q_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2, 0)^T$。
$q_3 = \frac{1}{\sqrt{30}}(-2, 1, 5)^T$。
第五步：构造正交阵 $Q$
$Q = (q_1, q_2, q_3) = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{30}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{30}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{5}{\sqrt{30}} \end{pmatrix}$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #实对称矩阵对角化 #特征值与特征向量 #施密特正交化
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 秩 1 矩阵 $uv^T$ 的特征值为 $u^T v, 0, \dots, 0$。
- 正交阵 $Q$ 满足 $Q^T Q = E$。
思路分析
对于秩 1 矩阵，非零特征值对应的特征向量就是生成该矩阵的向量本身。求 0 特征值对应的向量本质是求该向量的法平面。
易错点
- 施密特正交化过程中计算出错（特别是分式运算）。
- 忘记单位化特征向量。
- 构造正交阵时向量顺序与对角阵特征值顺序不对应。
🔄 举一反三
- 若 $\alpha = (1, 1, 1)$，求 $\alpha^T \alpha$ 的非零特征值。
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答案：3
解析：$\lambda = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$。 - 设 $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$，求一个正交阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q$ 为对角阵。
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答案：$Q = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\ 2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \end{pmatrix}$
解析：特征值为 5, 0。对应特征向量为 $(1, 2)^T$ 和 $(-2, 1)^T$。单位化后构成 $Q$。
- 已知 $R^{3}$ 中的二组基
(1) 求由基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 到 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 的过渡矩阵及坐标变换公式;
(2) 求向量 $\beta = 2\beta_{1} - \beta_{2} - \beta_{3}$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标。
(3) 求向量 $\alpha = \alpha_{1} - 2\alpha_{2} + 4\alpha_{3}$ 在基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的坐标。
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答案：
(1) 过渡矩阵 $P = \begin{pmatrix} -27 & -71 & -41 \\ 9 & 20 & 9 \\ 4 & 12 & 8 \end{pmatrix}$；坐标变换公式 $X = PY$。
(2) 坐标为 $(58, -11, -12)^T$。
(3) 坐标为 $(156, -109, 86)^T$。
解析：
本题考查基变换与坐标变换。
第一步：求过渡矩阵 $P$
设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3), B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3)$。过渡矩阵 $P$ 满足 $B = AP$，则 $P = A^{-1}B$。
计算 $A^{-1}$：
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$。
$A^{-1} = \begin{pmatrix} -18 & 7 & 5 \\ 5 & -2 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}$。
$P = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -18 & 7 & 5 \\ 5 & -2 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -27 & -71 & -41 \\ 9 & 20 & 9 \\ 4 & 12 & 8 \end{pmatrix}$。
第二步：写出坐标变换公式
设向量在 $\alpha$ 基下的坐标为 $X$，在 $\beta$ 基下的坐标为 $Y$，则 $X = PY$。
第三步：计算 $\beta$ 在 $\alpha$ 基下的坐标
已知 $\beta = 2\beta_1 - \beta_2 - \beta_3$，则其在 $\beta$ 基下的坐标 $Y = (2, -1, -1)^T$。
其在 $\alpha$ 基下的坐标 $X = PY = \begin{pmatrix} -27 & -71 & -41 \\ 9 & 20 & 9 \\ 4 & 12 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 58 \\ -11 \\ -12 \end{pmatrix}$。
第四步：计算 $\alpha$ 在 $\beta$ 基下的坐标
已知 $\alpha = \alpha_1 - 2\alpha_2 + 4\alpha_3$，则其在 $\alpha$ 基下的坐标 $X = (1, -2, 4)^T$。
由 $X = PY$ 得 $Y = P^{-1}X$。
计算 $B^{-1}$：$|B| = 4$，$B^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -13 & 31 & 3 \\ 10 & -22 & -2 \\ -7 & 17 & 1 \end{pmatrix}$。
$Y = B^{-1}AX = \begin{pmatrix} 156 \\ -109 \\ 86 \end{pmatrix}$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #过渡矩阵 #坐标变换 #基变换
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 基变换：$(\beta_1, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) P$。
- 坐标变换：$X = PY$（注意顺序：新基等于旧基乘 $P$，旧坐标等于 $P$ 乘新坐标）。
思路分析
基变换和坐标变换的矩阵 $P$ 是同一个，但方向相反。记住“基是新变旧，坐标是旧变新”。
易错点
- 记反过渡矩阵的定义（应该是新基 = 旧基 $\times P$）。
- 记反坐标变换公式（应该是旧坐标 = $P \times$ 新坐标）。
- 矩阵求逆及乘法过程中出现计算笔误。
🔄 举一反三
- 若 $P$ 是从基 $I$ 到基 $II$ 的过渡矩阵，则从基 $II$ 到基 $I$ 的过渡矩阵是什么？
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答案：$P^{-1}$
解析：反向变换对应逆矩阵。 - 已知基 $\alpha$ 下的坐标 $X$，求在基 $\beta$ 下的坐标 $Y$，若 $P$ 是 $\alpha$ 到 $\beta$ 的过渡矩阵。
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答案：$Y = P^{-1} X$
解析：根据 $X=PY$ 变形得到。
五、证明题（每题 10 分，共 10 分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为 $a + b + c = 0$。
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证明：
三条直线交于一点，等价于关于 $x, y$ 的线性方程组有唯一解。
第一步：构造增广矩阵
将方程组写为：
三线共点的充要条件是其增广矩阵 $M$ 的秩为 2，且 $|M| = 0$：
第二步：计算行列式 $|M|$
提取常数因子：
利用循环行列式公式或直接展开：
利用因式分解公式：
所以 $|M| = 6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$。
第三步：分析 $|M|=0$ 的条件
$|M|=0$ 的充要条件是 $a+b+c=0$ 或 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$。
其中 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$。
故该项为 0 当且仅当 $a=b=c$。
第四步：排除 $a=b=c$ 的情况
若 $a=b=c$，则三条直线的方程均变为 $ax + 2ay + 3a = 0$，即 $x + 2y + 3 = 0$（由于直线存在，故 $a \neq 0$）。
此时三条直线重合，这与题目中“三条不同直线”的假设矛盾。
因此，必有 $a+b+c=0$。
第五步：验证充分性
若 $a+b+c=0$，则 $|M|=0$，且由于直线不同，系数矩阵秩为 2，方程组有唯一解。
证毕。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #线性方程组 #三线共点 #行列式计算
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 三线共点 $\iff$ 对应齐次方程组有非零解 $(x, y, 1)^T$ $\iff$ 增广矩阵行列式为 0。
- 循环行列式：$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 3abc - a^3 - b^3 - c^3$。
思路分析
几何问题转化为代数问题。三条直线共点意味着它们对应的三个方程有公共解。通过研究增广矩阵的行列式，可以找到参数之间的关系。
易错点
- 混淆“三线共点”与“三线两两相交”的区别。
- 忘记讨论 $a=b=c$ 导致直线重合的情况，从而忽略题目中“三条不同直线”的限制。
- 在因式分解 $a^3+b^3+c^3-3abc$ 时出现错误。
🔄 举一反三
- 若三条直线平行，其对应的行列式有何特点？
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答案：系数矩阵的秩为 1。
解析：平行意味着法向量共线，即系数矩阵的行向量线性相关且秩为 1。 - 证明：若 $a+b+c=0$，则矩阵 $M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}$ 必不可逆。
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证明：将 $M$ 的所有列加到第一列，第一列变为 $(a+b+c, a+b+c, a+b+c)^T = (0, 0, 0)^T$。由行列式性质可知 $|M|=0$，故 $M$ 不可逆。