《线性代数》第二学期期末试卷A (精选03)

时间：120分钟 | 课程：线性代数 | 学分：2 | 形式：闭卷 | 总分：100分

一、单项选择题（10 分，每小题 2 分）

设 4 阶行列式 $$D$$ 的第 $$i$$ 行第 $$j$$ 列的元素为 $a_{ij}$ ，则 $$D$$ 的展开式中，下列各项符号为负的是（）
- A. $a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}$
- B. $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$
- C. $a_{21}a_{13}a_{34}a_{42}$
- D. $a_{13}a_{21}a_{32}a_{44}$

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答案：C

解析：

行列式展开式中每一项的符号由对应排列的奇偶性决定。

A 对应排列 $$(1,2,3,4)$$ ，为偶排列，符号为正。
B 对应列指标 $$(2,3,1,4)$$ ，其排列可写成循环 $(1\ 2\ 3)$ ，为偶排列，符号为正。
C 对应列指标 $$(3,1,4,2)$$ ，其排列可写成循环 $(1\ 3\ 4\ 2)$ ，4 循环为奇排列，符号为负。
D 对应列指标 $$(3,1,2,4)$$ ，可写成循环 $(1\ 3\ 2)$ ，为偶排列，符号为正。

故选 C。

方法总结：判断行列式展开式某一项的符号，本质上就是判断对应列指标排列的奇偶性，不必真正把行列式完全展开。

难度: ⭐ 考点: #行列式展开 #排列奇偶性 #符号判定

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📖 相关公式与知识点:

行列式展开式中的一般项为 $\pm a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$ 。
排列为偶排列时取正号，奇排列时取负号。
一个 $$k$$ 循环的符号为 $(-1)^{k-1}$ 。

思路分析

看到“展开式中哪一项符号为负”，不要真的展开行列式，只需判断对应列排列的奇偶性即可。

易错点

将“元素下标顺序”误当成“行列位置的自然顺序”。
记错 $$3$$ 循环和 $$4$$ 循环的奇偶性。

🔄 举一反三

在 3 阶行列式的展开式中，项 $a_{12}a_{21}a_{33}$ 的符号是什么？
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答案：负号。
解析：对应排列为 $$(2,1,3)$$ ，是一次对换得到的奇排列，因此符号为负。

设 $$A,B$$ 均为 $$n$$ 阶方阵， $$I$$ 为 $$n$$ 阶单位矩阵，则有（）
- A. $$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$$
- B. $$(AB)^3=A^3B^3$$
- C. $$(A+3I)(A-3I)=A^2-9I$$
- D. $$|-5A|=|-5|A$$

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答案：C

解析：

A 错误。矩阵乘法一般不满足交换律，正确展开应为
$$$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2.$$$
B 错误。
$$$(AB)^3=ABABAB,$$$
只有在 $$AB=BA$$ 时才能化成 $$A^3B^3$$ 。
C 正确。因为 $$I$$ 与任意矩阵可交换，所以
$$$(A+3I)(A-3I)=A^2-3AI+3IA-9I^2=A^2-9I.$$$
D 错误。应为
$$$|-5A|=(-5)^n|A|.$$$

故选 C。

方法总结：矩阵选择题最常见陷阱是误用交换律。凡是出现平方展开、幂运算和因式分解时，都要先确认相关矩阵是否可交换。

难度: ⭐ 考点: #矩阵运算 #单位矩阵 #行列式性质

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📖 相关公式与知识点:

矩阵乘法一般不满足交换律： $AB\neq BA$ 。
单位矩阵满足 $$AI=IA=A$$ 。
$$|kA|=k^n|A|$$ ，其中 $$A$$ 为 $$n$$ 阶矩阵。

思路分析

此类题的核心是先判断能否交换。只要涉及 $$AB$$ 与 $$BA$$ 互换，就要特别警惕。

易错点

把多项式恒等式直接照搬到矩阵上。
忽略行列式中数乘会产生 $$n$$ 次方。

🔄 举一反三

若 $$A$$ 为 3 阶矩阵，则 $$|2A|$$ 等于多少？
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答案： $$8|A|$$ 。
解析：因为 $$|kA|=k^n|A|$$ ，这里 $$n=3$$ ，故 $$|2A|=2^3|A|=8|A|$$ 。

设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ 的秩为 $$r$$ ，则（）
- A. $$r<m$$
- B. $r\leq m$
- C. $$r>m$$
- D. $r\geq m$

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答案：B

解析：

向量组的秩等于该向量组中极大线性无关组所含向量个数，而极大线性无关组中的向量数显然不可能超过原向量总数 $$m$$ ，故

r\leq m.

故选 B。

方法总结：向量组的秩就是能从中抽出的极大线性无关组的向量个数，因此一定不超过原向量总数。

难度: ⭐ 考点: #向量组的秩 #极大线性无关组

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📖 相关公式与知识点:

向量组的秩不超过向量个数。
向量组的秩也不超过每个向量的维数。

思路分析

秩本质上是“最多能抽出多少个线性无关向量”，所以一定不会超过原向量个数。

易错点

将“最多”误写成“严格小于”。
忽略当向量组本身线性无关时可以取到 $$r=m$$ 。

🔄 举一反三

若 5 个向量线性无关，则其秩是多少？
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答案：5。
解析：线性无关时，极大线性无关组就是它本身，因此秩等于向量个数 5。

设 $$n$$ 阶矩阵 $$A$$ 满足 $$A^2=A$$ ，则 $$A$$ 的特征值为（）
- A. 0
- B. 1
- C. $\pm 1$
- D. 0 或 1

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答案：D

解析：

设 $\lambda$ 是 $$A$$ 的特征值， $\alpha\neq 0$ 是对应特征向量，则

A\alpha=\lambda \alpha.

由 $$A^2=A$$ 得

A^2\alpha=A\alpha.

代入上式：

\lambda^2\alpha=\lambda \alpha.

因为 $\alpha\neq 0$ ，故

\lambda^2-\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda(\lambda-1)=0.

因此 $\lambda=0$ 或 $\lambda=1$ 。

故选 D。

方法总结：由矩阵方程求特征值时，最有效的方法是把方程作用到特征向量上，将矩阵问题转化为一元代数方程。

难度: ⭐ 考点: #特征值 #幂等矩阵

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📖 相关公式与知识点:

若 $A\alpha=\lambda\alpha$ ，则 $A^k\alpha=\lambda^k\alpha$ 。
幂等矩阵满足 $$A^2=A$$ 。
利用矩阵方程求特征值时，常把特征向量代入。

思路分析

题目给的是矩阵恒等式，求特征值时最直接的方法就是让它作用在特征向量上，把矩阵方程变成关于 $\lambda$ 的代数方程。

易错点

只得到一个特征值 0 或 1 中的某一个。
忘记说明特征向量非零，因此可以约去。

🔄 举一反三

若 $$A^2=I$$ ，则 $$A$$ 的特征值可能是什么？
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答案： $\pm 1$ 。
解析：设 $A\alpha=\lambda\alpha$ ，则 $A^2\alpha=\lambda^2\alpha=\alpha$ ，故 $\lambda^2=1$ ，所以 $\lambda=\pm 1$ 。

设 $$A,B$$ 都是同阶正定矩阵，则以下各类矩阵中，二者都是正定矩阵的是（）
- A. $$A^*,A^T$$
- B. $$AB,A+B$$
- C. $A^{-1},A-B$
- D. $A^{-1},kA$ （ $$k$$ 为常数）

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答案：A

解析：

在线性代数课程中，正定矩阵默认是实对称正定矩阵。

A 正确。正定矩阵必为对称矩阵，因此 $$A^T=A$$ 仍正定；在实矩阵情形下 $$A^*=A^T$$ ，也正定。
B 错误。 $$A+B$$ 一定正定，但 $$AB$$ 一般不对称，通常不能称为正定矩阵。
C 错误。 $A^{-1}$ 一定正定，但 $$A-B$$ 不一定正定。
D 错误。 $A^{-1}$ 一定正定，但 $$kA$$ 只有在 $$k>0$$ 时才正定，题中 $$k$$ 为任意常数，不一定成立。

故选 A。

方法总结：判断矩阵是否正定时，先看其是否仍保持对称结构，再结合逆矩阵、和矩阵、数乘矩阵的常用结论逐项排除。

难度: ⭐⭐ 考点: #正定矩阵 #逆矩阵 #矩阵加法

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📖 相关公式与知识点:

若 $$A$$ 正定，则 $$A^T=A$$ 。
若 $$A$$ 正定，则 $A^{-1}$ 也正定。
若 $$A,B$$ 正定，则 $$A+B$$ 正定。
数乘 $$kA$$ 正定的条件是 $$k>0$$ 。

思路分析

判断“是否正定”时，先看它是否仍是对称矩阵，再看二次型是否恒正。

易错点

因为 $$AB$$ 可逆就误判其正定。
忽略 $$kA$$ 中常数 $$k$$ 的符号条件。

🔄 举一反三

若 $$A$$ 为正定矩阵，则下列一定正定的是（）
A. $$-A$$
B. $A^{-1}$
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答案：B。
解析：正定矩阵的逆矩阵仍正定；而 $$-A$$ 为负定矩阵，不正定。

二、填空题（15 分，每小题 3 分）

若齐次线性方程组

\left\{ \begin{array}{l} \lambda x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+\mu x_2+x_3=0 \\ x_1+2\mu x_2+x_3=0 \end{array} \right.

有非零解，则 $\lambda=$ ________ 或 $\mu=$ ________。

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答案： $\lambda=1$ ，或 $\mu=0$

解析：

齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为 0。

系数矩阵为

M=\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \mu & 1 \\ 1 & 2\mu & 1 \end{bmatrix}.

计算其行列式：

|M| = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \mu & 1 \\ 1 & 2\mu & 1 \end{vmatrix} =-\mu(\lambda-1).

由 $$|M|=0$$ 得

\mu=0 \quad \text{或} \quad \lambda=1.

方法总结：齐次线性方程组的参数题，核心就是把“有非零解”转化为“系数行列式等于零”。

难度: ⭐ 考点: #齐次线性方程组 #非零解条件 #行列式

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📖 相关公式与知识点:

$$n$$ 元齐次线性方程组有非零解 $\iff$ 系数矩阵行列式为 0。
解参数问题时，通常先列出行列式方程再因式分解。

思路分析

“有非零解”是典型信号，第一反应就是把系数行列式设为零。

易错点

将“有非零解”误判成“有解”。
行列式展开后忘记继续因式分解。

🔄 举一反三

齐次方程组 $\begin{cases} ax+y=0\\ x+ay=0\end{cases}$ 有非零解时， $$a$$ 取什么值？
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答案： $a=\pm 1$ 。
解析：系数行列式为 $\begin{vmatrix} a&1\\1&a\end{vmatrix}=a^2-1$ 。令其为 0，得 $a=\pm 1$ 。

设 $$A$$ 为 $$n$$ 阶矩阵且 $$|A|=-2$$ ，则 $|3(A^{-1})A^T|=$ ________。

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答案： $$3^n$$

解析：

由行列式性质得

|3(A^{-1})A^T|=|3A^{-1}||A^T|.

因为 $$A$$ 为 $$n$$ 阶矩阵，

|3A^{-1}|=3^n|A^{-1}|,\qquad |A^T|=|A|.

又

|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=-\frac12.

故

|3(A^{-1})A^T| =3^n|A^{-1}||A^T| =3^n\cdot \frac{1}{|A|}\cdot |A| =3^n.

方法总结：这类题通常不需要展开矩阵，只需连续套用 $$|kA|$$ 、 $|A^{-1}|$ 、 $$|A^T|$$ 三个基本公式即可。

难度: ⭐ 考点: #行列式性质 #逆矩阵 #转置矩阵

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📖 相关公式与知识点:

$$|A^T|=|A|$$ 。
$|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}$ 。
$$|kA|=k^n|A|$$ 。

思路分析

本题不需要真的求矩阵，只需连续使用三个常见行列式公式即可。

易错点

把 $|3A^{-1}|$ 错写成 $3|A^{-1}|$ 。
漏掉 $$|A^T|=|A|$$ 这一步。

🔄 举一反三

若 $$|A|=5$$ ，则 $$|2A^T|$$ 等于多少？
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答案： $2^n\cdot 5$ 。
解析： $|2A^T|=2^n|A^T|=2^n|A|=2^n\cdot 5$ 。

向量组 $\alpha_1=(1,2,3,4)$ ， $\alpha_2=(2,3,4,5)$ ， $\alpha_3=(3,4,5,6)$ ， $\alpha_4=(4,5,6,7)$ 的秩为 ________。

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答案：2

解析：

观察可得

\alpha_3=2\alpha_2-\alpha_1,\qquad \alpha_4=3\alpha_2-2\alpha_1.

因此这 4 个向量都可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，故向量组的秩不超过 2。

又由于 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 不成比例，所以它们线性无关，因此向量组的秩至少为 2。

综上，向量组的秩为

$$r=2.$$

方法总结：求向量组的秩时，先建立线性表示关系压低上界，再找出一组线性无关向量确定下界。

难度: ⭐ 考点: #向量组的秩 #线性表示 #线性无关

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

若其余向量都能由两个线性无关向量表示，则向量组的秩为 2。
判断秩时，先找线性关系，再验证保留下来的向量是否无关。

思路分析

这类“相邻元素都差 1”的向量组，通常只含两个自由方向，可以优先尝试把后面的向量表示成前两个向量的线性组合。

易错点

只看出“秩不超过 2”，却没有再证明“秩至少为 2”。
把“不成比例”误写成“正交”。

🔄 举一反三

向量 $$(1,1,1)$$ 、 $$(2,2,2)$$ 、 $$(0,1,2)$$ 的秩是多少？
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答案：2。
解析：前两个向量成比例，只能提供一个方向；再加上 $$(0,1,2)$$ 与其不成比例，因此总秩为 2。

设矩阵

A= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt3} & \frac{1}{\sqrt3} & \frac{1}{\sqrt3} \\ \frac{1}{\sqrt6} & \frac{-2}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt6} \\ \frac{-1}{\sqrt2} & a & b \end{bmatrix}

为正交矩阵，则 $$a=$$ ________， $$b=$$ ________。

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答案： $$a=0$$ ， $b=\dfrac{1}{\sqrt2}$

解析：

正交矩阵的行向量两两正交且都为单位向量。

设第三行为

r_3=\left(-\frac{1}{\sqrt2},a,b\right).

由 $r_1\cdot r_3=0$ 得

\frac{1}{\sqrt3}\left(-\frac{1}{\sqrt2}+a+b\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad a+b=\frac{1}{\sqrt2}.

由 $r_2\cdot r_3=0$ 得

\frac{1}{\sqrt6}\left(-\frac{1}{\sqrt2}-2a+b\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad b-2a=\frac{1}{\sqrt2}.

联立方程组

\begin{cases} a+b=\dfrac{1}{\sqrt2},\\ b-2a=\dfrac{1}{\sqrt2}, \end{cases}

解得

a=0,\qquad b=\frac{1}{\sqrt2}.

再验证单位长度：

\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)^2+0^2+\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2=1,

满足条件。

方法总结：正交矩阵中含未知参数时，一般先用“行向量两两正交”列方程，再用“各行长度为 1”做最终验证。

难度: ⭐⭐ 考点: #正交矩阵 #向量正交 #单位向量

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

正交矩阵的行向量组是标准正交组。
标准正交组需满足“互相垂直 + 长度为 1”。

思路分析

未知数只出现在第三行，最直接的做法就是利用“第三行与前两行正交”列方程，再用单位长度核对。

易错点

只用了正交条件，没有验长度是否为 1。
点乘运算中根号因子处理出错。

🔄 举一反三

若 $$(a,b)$$ 与 $$(1,1)$$ 正交且为单位向量，并且 $$a>0$$ ，求 $$(a,b)$$ 。
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答案： $\left(\dfrac{1}{\sqrt2},-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$ 。
解析：正交给出 $$a+b=0$$ ，即 $$b=-a$$ ；单位长度给出 $$a^2+b^2=1$$ ，即 $$2a^2=1$$ 。又因 $$a>0$$ ，所以 $a=\dfrac{1}{\sqrt2}$ ， $b=-\dfrac{1}{\sqrt2}$ 。

设二次型

f(x_1,x_2,x_3)= [x_1,x_2,x_3] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 3 & -4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix},

则 $$f$$ 的矩阵为 $$A=$$ ________。

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答案：

A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & 0 \end{bmatrix}

解析：

二次型的矩阵应取为对称矩阵。设题中给出的矩阵为

B= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 3 & -4 & 0 \end{bmatrix},

则二次型对应的标准矩阵为

A=\frac{B+B^T}{2}.

计算得

B^T= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & -4 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix},

于是

A=\frac12 \begin{bmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 2 & 8 & -4 \\ 6 & -4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & 0 \end{bmatrix}.

方法总结：二次型的矩阵必须取对称矩阵，因此遇到非对称表示时要先做对称化处理 $A=\dfrac{B+B^T}{2}$ 。

难度: ⭐⭐ 考点: #二次型矩阵 #对称化 #矩阵转置

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

二次型矩阵必须是对称矩阵。
一般矩阵 $$B$$ 产生的二次型对应矩阵为 $\dfrac{B+B^T}{2}$ 。

思路分析

题目给的矩阵不是对称矩阵，因此不能直接作为二次型矩阵，必须先做对称化处理。

易错点

直接把原矩阵当成二次型矩阵。
忘记非对角元要平分到对称位置上。

🔄 举一反三

若
$B=\begin{bmatrix}2&4\\0&1\end{bmatrix},$
则对应二次型的矩阵是什么？
查看练习答案与解析
答案：
$\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}.$
解析：对称化得
$\frac{B+B^T}{2} = \frac12 \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}.$

三、计算行列式（10 分）

计算

\begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & n \end{vmatrix}.

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答案： $$6(n-3)$$

解析：

记原行列式为 $$D$$ 。作行变换

R_1\leftarrow R_1-R_3,\qquad R_2\leftarrow R_2-R_3,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_3,

则

D= \begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & n-3 \end{vmatrix}.

此时按第 1 行、第 2 行和第 4 行展开，可得

D=(-2)\cdot(-1)\cdot(n-3)\cdot 3=6(n-3).

因此

\boxed{D=6(n-3)}.

方法总结：行列式中若多行或多列结构相近，优先用“减去某行（列）”制造零元，再配合按行展开往往最快。

难度: ⭐⭐ 考点: #行列式计算 #初等行变换 #按行展开

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

某一行加上另一行的倍数，行列式不变。
出现大量重复元素时，优先考虑“减去某一行或列”制造零元。

思路分析

本题的关键不是硬算，而是先把第 3 行当作“参照行”，用减法快速制造三条只含一个非零元的行。

易错点

行变换后漏写某个元素。
展开时忽略代数余子式符号。

🔄 举一反三

计算
$\begin{vmatrix} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&m \end{vmatrix}.$
查看练习答案与解析
答案： $$-3m+6$$ 。
解析：作变换 $R_1\leftarrow R_1-R_2$ ， $R_3\leftarrow R_3-R_2$ ，得
$\begin{vmatrix} -1&1&0\\ 2&1&2\\ 0&1&m-2 \end{vmatrix}.$
再按第一行展开可得结果为 $$-3m+6$$ 。

四、求方程组的通解（10 分）

求方程组

\left\{ \begin{array}{l} 2x_1+x_2-x_3+x_4=1 \\ x_1+2x_2+x_3-x_4=2 \\ x_1+x_2+2x_3+x_4=3 \end{array} \right.

的通解。

查看答案与解析

答案：

\begin{cases} x_1=1-\dfrac{3}{2}t,\\ x_2=\dfrac{3}{2}t,\\ x_3=1-\dfrac{1}{2}t,\\ x_4=t, \end{cases} \qquad t\in \mathbb{R}.

也可写为

\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} -\frac32\\[2pt]\frac32\\[2pt]-\frac12\\[2pt]1 \end{bmatrix}.

解析：

写出增广矩阵

\left[ \begin{array}{cccc|c} 2&1&-1&1&1\\ 1&2&1&-1&2\\ 1&1&2&1&3 \end{array} \right].

交换前两行，再作消元：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 1&2&1&-1&2\\ 2&1&-1&1&1\\ 1&1&2&1&3 \end{array} \right] \xrightarrow{\substack{R_2\leftarrow R_2-2R_1\\ R_3\leftarrow R_3-R_1}} \left[ \begin{array}{cccc|c} 1&2&1&-1&2\\ 0&-3&-3&3&-3\\ 0&-1&1&2&1 \end{array} \right].

再化简第二、三行：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 1&2&1&-1&2\\ 0&1&1&-1&1\\ 0&-1&1&2&1 \end{array} \right] \xrightarrow{R_3\leftarrow R_3+R_2} \left[ \begin{array}{cccc|c} 1&2&1&-1&2\\ 0&1&1&-1&1\\ 0&0&2&1&2 \end{array} \right].

于是

\begin{cases} x_2+x_3-x_4=1,\\ 2x_3+x_4=2. \end{cases}

令 $$x_4=t$$ ，则

x_3=1-\frac{t}{2},

再代回得

x_2=1-x_3+t=\frac{3}{2}t.

最后由第一行

$$x_1+2x_2+x_3-x_4=2$$

可得

x_1=1-\frac{3}{2}t.

方法总结：求通解的标准流程是“化阶梯形矩阵、设自由变量、逐步回代、写成特解加齐次解的形式”。

难度: ⭐⭐ 考点: #线性方程组 #高斯消元法 #通解

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

求通解的核心是把增广矩阵化为阶梯形。
自由未知量可设为参数，再依次回代求主变量。

思路分析

本题是 3 个方程、4 个未知量，通常会有 1 个自由变量。先把矩阵化简，再设自由变量为参数即可。

易错点

消元时把增广列漏掉。
写通解时只写一个特解，没有加齐次部分。

🔄 举一反三

求方程组 $\begin{cases}x+y+z=2\\ x-y+z=0\end{cases}$ 的通解。
查看练习答案与解析
答案：
$(x,y,z)=(1-t,1,t),\quad t\in\mathbb{R}.$
解析：两式相减得 $$2y=2$$ ，所以 $$y=1$$ ；代入第一式得 $$x+z=1$$ 。令 $$z=t$$ ，则 $$x=1-t$$ 。

五、矩阵方程（10 分）

设 $$AX-A=3X$$ ，且

A= \begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 2&3&-1\\ -1&0&4 \end{bmatrix},

求矩阵 $$X$$ 。

查看答案与解析

答案：

X= \begin{bmatrix} 1&3&3\\ -3&-2&0\\ 0&3&7 \end{bmatrix}.

解析：

由题意

AX-A=3X \quad\Longrightarrow\quad AX-3X=A.

把 $$X$$ 提出，得

$$(A-3I)X=A.$$

先求

A-3I= \begin{bmatrix} -2&-1&1\\ 2&0&-1\\ -1&0&1 \end{bmatrix}.

其行列式为

|A-3I|=1\neq 0,

故可逆，于是

X=(A-3I)^{-1}A.

计算得

(A-3I)^{-1}= \begin{bmatrix} 0&1&1\\ -1&-1&0\\ 0&1&2 \end{bmatrix}.

因此

X= \begin{bmatrix} 0&1&1\\ -1&-1&0\\ 0&1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 2&3&-1\\ -1&0&4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&3&3\\ -3&-2&0\\ 0&3&7 \end{bmatrix}.

方法总结：矩阵方程里若未知矩阵都在同一侧，可先提取公因子凑出 $$(A-kI)X=C$$ 的形式，再借助逆矩阵直接求解。

难度: ⭐⭐ 考点: #矩阵方程 #逆矩阵 #单位矩阵

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

矩阵方程中可先移项，把未知矩阵左乘同一矩阵的形式凑出来。
若 $$(A-3I)$$ 可逆，则可左乘其逆矩阵求解。

思路分析

这类题的标准套路是先把含 $$X$$ 的项放在一起，再判断系数矩阵是否可逆。可逆时直接用逆矩阵求解。

易错点

将 $$AX-3X$$ 错写成 $$A(X-3I)$$ 。
左右乘顺序写反，因为矩阵乘法不可交换。

🔄 举一反三

若 $$BX+2X=C$$ ，且 $$B+2I$$ 可逆，则 $$X=$$ ？
查看练习答案与解析
答案： $X=(B+2I)^{-1}C$ 。
解析：由 $$BX+2X=(B+2I)X=C$$ ，左乘 $(B+2I)^{-1}$ 即得。

六、相似对角化判断（10 分）

设

A= \begin{bmatrix} -1&1&0\\ -4&3&0\\ 1&0&2 \end{bmatrix},

问 $$A$$ 能否与对角矩阵相似？

查看答案与解析

答案：不能。

解析：

先求特征多项式：

|A-\lambda I| = \begin{vmatrix} -1-\lambda&1&0\\ -4&3-\lambda&0\\ 1&0&2-\lambda \end{vmatrix} =(2-\lambda) \begin{vmatrix} -1-\lambda&1\\ -4&3-\lambda \end{vmatrix}.

计算二阶行列式：

(-1-\lambda)(3-\lambda)+4 =\lambda^2-2\lambda+1 =(\lambda-1)^2.

故

|A-\lambda I|=(2-\lambda)(\lambda-1)^2.

所以特征值为

\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=1 \text{（二重根）}.

若 $$A$$ 可对角化，则对于重根 $\lambda=1$ ，其特征子空间维数必须等于 2。下面求 $\lambda=1$ 的特征向量：

A-I= \begin{bmatrix} -2&1&0\\ -4&2&0\\ 1&0&1 \end{bmatrix}.

解齐次方程组 $$(A-I)x=0$$ ：

\begin{cases} -2x_1+x_2=0,\\ x_1+x_3=0. \end{cases}

得

x_2=2x_1,\qquad x_3=-x_1,

故特征子空间为

\mathrm{span}\{(1,2,-1)^T\},

维数只有 1。

这说明特征值 $\lambda=1$ 的几何重数小于代数重数，因此 $$A$$ 不能对角化，也就不能与对角矩阵相似。

方法总结：判断矩阵能否对角化，关键不是只看特征值是否重复，而是检查每个特征值的几何重数是否达到代数重数。

难度: ⭐⭐ 考点: #相似对角化 #特征值 #几何重数

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

矩阵可对角化的充要条件之一：每个特征值的几何重数等于其代数重数。
若 $$n$$ 阶矩阵有 $$n$$ 个线性无关特征向量，则可对角化。

思路分析

看到“能否与对角矩阵相似”，优先走“特征值 + 特征空间维数”路线，尤其注意重特征值对应的特征向量是否够多。

易错点

只看到有两个不同特征值，就误判可对角化。
算出重根后没有继续检查对应特征空间维数。

🔄 举一反三

若矩阵的 3 个特征值互不相同，它一定能对角化吗？
查看练习答案与解析
答案：一定能。
解析：不同特征值对应的特征向量线性无关。3 阶矩阵若有 3 个互异特征值，就有 3 个线性无关特征向量，因此可对角化。

七、正定二次型（10 分）

设二次型

f=x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+2\lambda x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3,

问 $\lambda$ 取何值时， $$f$$ 为正定二次型？

查看答案与解析

答案：

-2<\lambda<1.

解析：

二次型对应的对称矩阵为

Q= \begin{bmatrix} 1&\lambda&-1\\ \lambda&4&2\\ -1&2&4 \end{bmatrix}.

要使 $$f$$ 正定，根据西尔维斯特判别法，顺序主子式必须全为正。

第一顺序主子式：

\Delta_1=1>0.

第二顺序主子式：

\Delta_2= \begin{vmatrix} 1&\lambda\\ \lambda&4 \end{vmatrix} =4-\lambda^2>0,

所以

-2<\lambda<2.

第三顺序主子式：

\Delta_3= \begin{vmatrix} 1&\lambda&-1\\ \lambda&4&2\\ -1&2&4 \end{vmatrix} =-4(\lambda-1)(\lambda+2).

由正定条件 $\Delta_3>0$ 得

-4(\lambda-1)(\lambda+2)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad (\lambda-1)(\lambda+2)<0,

因此

-2<\lambda<1.

与 $\Delta_2>0$ 的条件联立后，最终得到

\boxed{-2<\lambda<1}.

方法总结：含参数的正定二次型问题，标准做法是先写对称矩阵，再用西尔维斯特判别法逐个求顺序主子式并联立不等式。

难度: ⭐⭐ 考点: #正定二次型 #西尔维斯特判别法 #顺序主子式

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

实二次型正定 $\iff$ 对应对称矩阵的所有顺序主子式都大于 0。
二次型中交叉项 $2a_{ij}x_ix_j$ 对应矩阵元 $a_{ij}=a_{ji}$ 。

思路分析

这类参数题最稳的方法就是先写出对称矩阵，再逐个算顺序主子式，最后联立不等式。

易错点

将交叉项系数直接填进矩阵而忘了“平分”。
只验到二阶主子式，没有继续验三阶主子式。

🔄 举一反三

二次型 $$x_1^2+2ax_1x_2+3x_2^2$$ 何时正定？
查看练习答案与解析
答案： $- \sqrt3<a<\sqrt3$ 。
解析：对应矩阵为 $\begin{bmatrix}1&a\\a&3\end{bmatrix}$ 。正定要求 $$1>0$$ 且 $$3-a^2>0$$ ，故 $$a^2<3$$ ，即 $-\sqrt3<a<\sqrt3$ 。

八、正交对角化（15 分）

设

A= \begin{bmatrix} 1&-2&2\\ -2&4&-4\\ 2&-4&4 \end{bmatrix},

求正交矩阵 $$P$$ ，使 $$P^TAP$$ 为对角矩阵。

查看答案与解析

答案：

取

u_1=\frac{1}{3}(1,-2,2)^T,\qquad u_2=\frac{1}{\sqrt5}(2,1,0)^T,\qquad u_3=\frac{1}{3\sqrt5}(-2,4,5)^T.

则

P=\begin{bmatrix} \frac13 & \frac{2}{\sqrt5} & -\frac{2}{3\sqrt5}\\ -\frac23 & \frac{1}{\sqrt5} & \frac{4}{3\sqrt5}\\ \frac23 & 0 & \frac{5}{3\sqrt5} \end{bmatrix}

为所求正交矩阵，且

P^TAP= \begin{bmatrix} 9&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}.

解析：

先观察矩阵

A= \begin{bmatrix} 1\\-2\\2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-2&2 \end{bmatrix} =vv^T,\qquad v=(1,-2,2)^T.

因此 $$A$$ 是秩为 1 的实对称矩阵，可正交对角化。

第一步：求非零特征值及特征向量

因为

$$Av=vv^Tv=(v^Tv)v=(1^2+(-2)^2+2^2)v=9v,$$

所以

\lambda_1=9,\qquad \text{对应特征向量 } v=(1,-2,2)^T.

单位化得

u_1=\frac{v}{\|v\|}=\frac{1}{3}(1,-2,2)^T.

第二步：求零特征值对应的两个正交单位向量

由于 $$A=vv^T$$ ，满足 $$Ax=0$$ 等价于

$$v^Tx=0.$$

故只要取两个与 $$v$$ 正交、且彼此正交的单位向量即可。

取

w_2=(2,1,0)^T,\qquad v^Tw_2=2-2+0=0.

单位化得

u_2=\frac{1}{\sqrt5}(2,1,0)^T.

再取同时与 $$v,w_2$$ 正交的向量

$$w_3=(-2,4,5)^T,$$

可验算

v^Tw_3=-2-8+10=0,\qquad w_2^Tw_3=-4+4+0=0.

且

\|w_3\|=\sqrt{(-2)^2+4^2+5^2}=3\sqrt5,

故

u_3=\frac{1}{3\sqrt5}(-2,4,5)^T.

第三步：组成正交矩阵

令 $$P=(u_1,u_2,u_3)$$ ，则 $$P$$ 为正交矩阵，且

P^TAP=\operatorname{diag}(9,0,0).

方法总结：实对称矩阵的正交对角化，本质上是寻找一组标准正交特征向量；若矩阵具有 $$vv^T$$ 结构，通常可以大幅简化求解。

难度: ⭐⭐⭐ 考点: #正交对角化 #实对称矩阵 #特征值与特征向量

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

实对称矩阵一定可以正交对角化。
若 $$A=vv^T$$ ，则 $$v$$ 是非零特征值对应的特征向量，其余与 $$v$$ 正交的向量都对应特征值 0。
正交矩阵的列向量应构成标准正交基。

思路分析

本题的亮点在于先看出 $$A=vv^T$$ 的结构，这会让特征值和特征向量的求法大幅简化。

易错点

只找出特征向量，没有做单位化。
找到两个零特征值对应向量后，没有保证它们彼此正交。

🔄 举一反三

若 $$A=uu^T$$ ，其中 $$u=(1,1)^T$$ ，求一个正交矩阵 $$P$$ 使 $$P^TAP$$ 对角化。
查看练习答案与解析
答案：
$P= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2}\\ \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt2} \end{bmatrix}, \qquad P^TAP= \begin{bmatrix} 2&0\\ 0&0 \end{bmatrix}.$
解析： $$u=(1,1)^T$$ 对应特征值 $$u^Tu=2$$ ，与其正交的 $$(1,-1)^T$$ 对应特征值 0。将二者单位化后作为列向量组成 $$P$$ 即可。

九、证明题（10 分，每小题 5 分）

设 $$A$$ 是秩为 $$r$$ 的 $$n$$ 阶矩阵，证明：存在秩为 $$n-r$$ 的矩阵 $$B$$ ，使 $$AB=O$$ 。

查看答案与解析

证明：

因为 $$A$$ 是 $$n$$ 阶矩阵且 $\operatorname{rank}(A)=r$ ，由秩-零度定理可知齐次线性方程组

$$Ax=0$$

的解空间维数为

$$n-r.$$

因此，存在 $$n-r$$ 个线性无关解向量

\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r},

它们构成零空间 $$N(A)$$ 的一组基。

现在构造矩阵

B= \begin{bmatrix} \xi_1&\xi_2&\cdots&\xi_{n-r}&0&\cdots&0 \end{bmatrix},

其中后面补上 $$r$$ 个零列，使 $$B$$ 成为 $$n$$ 阶矩阵。

由于每个 $\xi_i$ 都满足 $A\xi_i=0$ ，并且零列左乘 $$A$$ 后仍为零列，所以

AB= \begin{bmatrix} A\xi_1&A\xi_2&\cdots&A\xi_{n-r}&0&\cdots&0 \end{bmatrix} =O.

再看矩阵 $$B$$ 的秩。由于前 $$n-r$$ 列向量 $\xi_1,\dots,\xi_{n-r}$ 线性无关，而其余列全为零，故

\operatorname{rank}(B)=n-r.

于是存在秩为 $$n-r$$ 的矩阵 $$B$$ ，使得

$$AB=O.$$

证毕。

方法总结：证明存在 $$B$$ 使 $$AB=0$$ 时，最自然的构造思路就是把 $$B$$ 的列向量全部取自 $$A$$ 的零空间基。

难度: ⭐⭐ 考点: #秩-零度定理 #齐次线性方程组 #矩阵乘法

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

$$n$$ 阶矩阵 $$A$$ 满足 $\dim N(A)=n-\operatorname{rank}(A)$ 。
矩阵乘积 $$AB$$ 的每一列都等于 $$A$$ 乘以 $$B$$ 的对应列向量。

思路分析

要让 $$AB=0$$ ，最自然的想法就是让 $$B$$ 的每一列都落在 $$A$$ 的零空间里。

易错点

只说明 $$AB=0$$ ，没有说明构造出的 $$B$$ 的秩。
忘记 $$B$$ 必须是矩阵，不是只取一个向量。

🔄 举一反三

若 $\operatorname{rank}(A)=n$ ，是否存在非零矩阵 $$B$$ 使 $$AB=O$$ ？
查看练习答案与解析
答案：不存在。
解析：当 $\operatorname{rank}(A)=n$ 时，零空间维数为 $$n-n=0$$ ，齐次方程 $$Ax=0$$ 只有零解，所以 $$B$$ 的每一列都只能是零向量，故 $$B=O$$ 。

设 $\lambda=-5$ 是 $$n$$ 阶可逆矩阵 $$A$$ 的一个特征值，证明： $\mu=\dfrac45$ 是 $I+A^{-1}$ 的一个特征值。（ $$I$$ 是 $$n$$ 阶单位矩阵）

查看答案与解析

证明：

由 $\lambda=-5$ 是矩阵 $$A$$ 的特征值，知存在非零向量 $\alpha$ ，使

A\alpha=-5\alpha.

又因为 $$A$$ 可逆，所以两边同乘 $A^{-1}$ ，得到

\alpha=-5A^{-1}\alpha,

即

A^{-1}\alpha=-\frac15\alpha.

于是

(I+A^{-1})\alpha =I\alpha+A^{-1}\alpha =\alpha-\frac15\alpha =\frac45\alpha.

因为 $\alpha\neq 0$ ，所以这说明 $\alpha$ 是矩阵 $I+A^{-1}$ 的一个特征向量，而对应特征值为

\mu=\frac45.

故 $\dfrac45$ 是 $I+A^{-1}$ 的一个特征值。

证毕。

方法总结：涉及 $A^{-1}$ 、 $I+A^{-1}$ 之类的新矩阵时，通常直接沿用原矩阵的特征向量，逐步作用即可得到新特征值。

难度: ⭐ 考点: #特征值 #逆矩阵 #特征向量

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

若 $A\alpha=\lambda\alpha$ 且 $$A$$ 可逆，则 $A^{-1}\alpha=\dfrac1\lambda\alpha$ 。
对同一特征向量，矩阵多项式的特征值可直接代入计算。

思路分析

题目已经给了 $$A$$ 的特征值，目标又涉及 $A^{-1}$ 和 $I+A^{-1}$ ，最直接的方法就是让它们都作用在同一个特征向量上。

易错点

忘记使用“ $$A$$ 可逆”这一条件。
把 $A^{-1}$ 的特征值错写成 $-\frac{1}{5}$ 以外的数。

🔄 举一反三

若 $\lambda$ 是可逆矩阵 $$A$$ 的特征值，则 $A^{-1}$ 的对应特征值是什么？
查看练习答案与解析
答案： $\dfrac{1}{\lambda}$ 。
解析：由 $A\alpha=\lambda\alpha$ ，左乘 $A^{-1}$ 得 $\alpha=\lambda A^{-1}\alpha$ ，故 $A^{-1}\alpha=\dfrac{1}{\lambda}\alpha$ 。

《线性代数》第二学期期末试卷A (精选03) ​

一、单项选择题（10 分，每小题 2 分） ​

二、填空题（15 分，每小题 3 分） ​

三、计算行列式（10 分） ​

四、求方程组的通解（10 分） ​

五、矩阵方程（10 分） ​

六、相似对角化判断（10 分） ​

七、正定二次型（10 分） ​

八、正交对角化（15 分） ​

第一步：求非零特征值及特征向量 ​

第二步：求零特征值对应的两个正交单位向量 ​

第三步：组成正交矩阵 ​

九、证明题（10 分，每小题 5 分） ​

《线性代数》第二学期期末试卷A (精选03)

一、单项选择题（10 分，每小题 2 分）

二、填空题（15 分，每小题 3 分）

三、计算行列式（10 分）

四、求方程组的通解（10 分）

五、矩阵方程（10 分）

六、相似对角化判断（10 分）

七、正定二次型（10 分）

八、正交对角化（15 分）

第一步：求非零特征值及特征向量

第二步：求零特征值对应的两个正交单位向量

第三步：组成正交矩阵

九、证明题（10 分，每小题 5 分）