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《线性代数》第一学期期末试卷B (精选02)
课程代码：线性代数 | 考试形式：闭卷 | 考试时间：120 分钟 | 满分：100 分
一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
- 下列排列中，属于 4 阶偶排列的是（ ）
- A. $4321$
- B. $4123$
- C. $1324$
- D. $2341$
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答案：A
解析： 本题考查排列逆序数的计算及其奇偶性判定。
- 选项 A：排列为 $4321$。
- $4$ 前面没有数。
- $3$ 前面有 $4 > 3$，逆序数 $1$。
- $2$ 前面有 $4, 3 > 2$，逆序数 $2$。
- $1$ 前面有 $4, 3, 2 > 1$，逆序数 $3$。
- 总逆序数 $\tau(4321) = 1 + 2 + 3 = 6$。$6$ 为偶数，故为偶排列。
- 选项 B：排列为 $4123$。$\tau(4123) = 0 + 1 + 1 + 1 = 3$（奇排列）。
- 选项 C：排列为 $1324$。$\tau(1324) = 0 + 0 + 1 + 0 = 1$（奇排列）。
- 选项 D：排列为 $2341$。$\tau(2341) = 0 + 0 + 0 + 3 = 3$（奇排列）。
故选 A。
难度: ⭐ 考点: #排列 #逆序数 #奇偶排列
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📖 相关公式与知识点:
- 逆序：在一个排列中，如果一个大的数排在一个小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。
- 逆序数：一个排列中所有逆序的总数，记为 $\tau(p)$。
- 奇/偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
思路分析
计算逆序数时，逐个检查每个数字，看它前面有多少个比它大的数字，最后求和。
🔄 举一反三
- 计算排列 $3124$ 的逆序数并判定其奇偶性。
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答案：逆序数为 $2$，偶排列。 解析：
- $3$ 前面无。
- $1$ 前面有 $3$，逆序 $1$。
- $2$ 前面有 $3$，逆序 $1$。
- $4$ 前面无比它大的。
- 总计 $1+1=2$，为偶数。
- 若齐次线性方程组 $\begin{cases} kx + z = 0 \\ 2x + ky + z = 0 \\ kx - 2y + z = 0 \end{cases}$ 有非零解，则常数 $k = $（ ）
- A. $0$
- B. $-1$
- C. $2$
- D. $-2$
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答案：C
解析： 本题考查齐次线性方程组有非零解的充要条件。 齐次线性方程组有非零解，等价于其系数矩阵的行列式 $D = 0$。
第一步：写出系数矩阵并计算行列式
第二步：计算行列式的值 按第一行展开：
第三步：令 $D = 0$ 求解
故选 C。
难度: ⭐⭐ 考点: #齐次线性方程组 #非零解 #行列式
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📖 相关公式与知识点:
- 克拉默法则推论：对于 $n$ 元齐次线性方程组，其有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式等于 $0$。
- 如果行列式不等于 $0$，则方程组只有零解。
思路分析
看到“有非零解”且方程个数等于未知数个数，应立即联想到“行列式为零”。
🔄 举一反三
- 若方程组 $\begin{cases} x + ky = 0 \\ kx + 4y = 0 \end{cases}$ 有非零解，求 $k$。
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答案：$k = \pm 2$解析：系数矩阵行列式 $D = \begin{vmatrix} 1 & k \\ k & 4 \end{vmatrix} = 4 - k^2$。令 $4 - k^2 = 0$，解得 $k = \pm 2$。
- 行列式方程 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2-x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3-x \end{vmatrix} = 0$ 的根为（ ）
- A. $0, 1, 2$
- B. $1, 2, 3$
- C. $0, 1, 2, 3$
- D. $1, 2, 3, 4$
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答案：A
解析： 本题考查利用行列式性质化简行列式并求解方程。
第一步：利用性质化简 保持第一行不变，分别用第 $2, 3, 4$ 行减去第一行（$R_i - R_1, i=2,3,4$）：
第二步：计算化简后的行列式 这是一个上三角形行列式，其值为对角线元素之积：
第三步：令 $D = 0$ 求解
解得：$x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = 2$。
故选 A。
难度: ⭐⭐ 考点: #行列式方程 #行列式化简 #三角形行列式
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📖 相关公式与知识点:
- 上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积。
- 行列式行变换：将某一行的倍数加到另一行，行列式的值不变。
思路分析
观察到行列式中有很多相同的元素 $1$，通过行减行可以制造大量 $0$，从而快速化为三角形行列式。
🔄 举一反三
- 求解方程 $\begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix} = 0$。
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答案：$x_1 = 1, x_2 = -2$解析：将 $C_2, C_3$ 加到 $C_1$ 得第一列全为 $x+2$，提公因式后化简得 $(x+2)(x-1)^2 = 0$，故根为 $1$ 和 $-2$。
- 下列矩阵不一定为方阵的是（ ）
- A. 对称矩阵
- B. 可逆矩阵
- C. $n$ 阶矩阵的转置矩阵
- D. 线性方程组的系数矩阵
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答案：D
解析： 本题考查矩阵的基本分类及定义。
- A. 对称矩阵：定义为 $A^T = A$ 的矩阵。由相等定义可知，$A$ 必须与其转置 $A^T$ 阶数相同，因此必须是方阵。
- B. 可逆矩阵：在线性代数基础定义中，可逆性是针对方阵定义的。如果存在 $B$ 使得 $AB = BA = I$，则 $A$ 必须是方阵。
- C. $n$ 阶矩阵的转置矩阵：$n$ 阶矩阵指 $n \times n$ 的方阵，其转置依然是 $n \times n$ 的方阵。
- D. 线性方程组的系数矩阵：线性方程组可以有 $m$ 个方程和 $n$ 个未知数，此时系数矩阵为 $m \times n$ 矩阵，不一定是方阵。
故选 D。
难度: ⭐ 考点: #矩阵定义 #对称矩阵 #方阵
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📖 相关公式与知识点:
- 方阵：行数等于列数的矩阵。
- 系数矩阵的阶数由方程个数和变量个数决定。
思路分析
排除法：前三个选项的定义中隐含了“行数等于列数”的必要性。
- 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵， $|A| = 2, |B| = -3$，则 $|2A^* B^{-1}| = $（ ）
- A. $-\frac{2^{2n-1}}{3}$
- B. $(-1)^n \frac{2^{2n-1}}{3}$
- C. $-\frac{2^{n-1}}{3}$
- D. $-\frac{2^n}{3}$
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答案：A
解析： 本题考查行列式的运算性质，涉及倍法、伴随矩阵及逆矩阵。
第一步：应用倍法性质 根据 $|kA| = k^n |A|$，其中 $k=2$ 且矩阵阶数为 $n$：
第二步：应用乘法性质
第三步：计算伴随矩阵与逆矩阵的行列式
- 伴随矩阵行列式：$|A^*| = |A|^{n-1} = 2^{n-1}$
- 逆矩阵行列式：$|B^{-1}| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$
第四步：组合结果
故选 A。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #行列式性质 #伴随矩阵 #逆矩阵
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📖 相关公式与知识点:
- $|kA| = k^n |A|$ （$A$ 为 $n$ 阶方阵）
- $|AB| = |A||B|$
- $|A^*| = |A|^{n-1}$
- $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$
易错点
容易忽略 $|kA|$ 中的 $n$ 次幂，误记为 $k|A|$。同时注意符号，不要漏掉 $|B|$ 的负号。
🔄 举一反三
- 已知 $|A| = 3, n=3$，求 $|A^*|$ 和 $|2A|$。
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答案：$|A^*| = 3^{3-1} = 9$；$|2A| = 2^3 \cdot 3 = 24$。
二、计算、证明题（本大题共 8 小题，每小题 10 分，共 80 分）
- 计算 $n$ 阶行列式：$$D_n = \begin{vmatrix} a_1+b & a_2 & a_3 & \dots & a_n \\ a_1 & a_2+b & a_3 & \dots & a_n \\ a_1 & a_2 & a_3+b & \dots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \dots & a_n+b \end{vmatrix}$$
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答案：$b^{n-1}(\sum_{i=1}^n a_i + b)$
解析：第一步：行变换 将所有行都减去最后一行（$R_i - R_n, i=1, 2, \dots, n-1$）：
第二步：列变换 将前 $n-1$ 列都加到最后一列（$C_n + \sum_{j=1}^{n-1} C_j$）： 最后一列的元素变为：
- 第 $1$ 到 $n-1$ 行：$-b + b = 0$
- 第 $n$ 行：$(a_n+b) + a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} = \sum_{i=1}^n a_i + b$
得到：
第三步：计算对角线乘积 这是一个下三角形行列式：
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #行列式计算 #行列式性质 #行变换
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📖 相关公式与知识点:
- 行（列）变换：将某一行的倍数加到另一行，行列式值不变。
- 提取公因式：行列式的某一行（列）有公因子，可以提到行列式符号外面。
思路分析
观察发现每一行除了对角线外都非常接近。通过行减行可以制造出大量的 $0$，再通过列加列将剩下的非零元集中到对角线上。
🔄 举一反三
- 计算 $n$ 阶行列式 $\begin{vmatrix} x & a & \dots & a \\ a & x & \dots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \dots & x \end{vmatrix}$。
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答案：$[x+(n-1)a](x-a)^{n-1}$解析：
- 将所有列加到第一列，提取公因子 $x+(n-1)a$。
- 第一列全为 $1$。
- 用第 $i$ 行减去第一行（$i \ge 2$），化为上三角阵。
- 对角线元素为 $1, x-a, \dots, x-a$。
- 计算 $n$ 阶行列式：$$D_n = \begin{vmatrix} a_1+1 & a_2 & \dots & a_n \\ a_1 & a_2+2 & \dots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & \dots & a_n+n \end{vmatrix}$$
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答案：$n!(1 + \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{i})$
解析：第一步：拆分行列式（利用线性性质） 该行列式可以看作是单位阵的倍数阵与秩为 $1$ 的矩阵之和。我们采用提取公因数的方法。 从第 $i$ 列提取公因数 $i$：
令 $x_i = a_i/i$，则 $D_n = n! \begin{vmatrix} x_1 + 1 & x_2 & \dots & x_n \\ x_1 & x_2 + 1 & \dots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n + 1 \end{vmatrix}$
第二步：计算化简后的行列式 将第 $2, 3, \dots, n$ 列都加到第一列： 第一列变为 $1 + \sum x_i$。提取公因式：
用第 $i$ 行减去第一行（$i \ge 2$），化为上三角阵： 对角线变为 $1, 1, \dots, 1$，值为 $1$。
第三步：代回原变量
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #行列式提取公因式 #秩1更新
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📖 相关公式与知识点:
- 行列式按行（列）拆分：行列式具有线性性质。
- 特殊结构：对于 $D = \det(I + \mathbf{u}\mathbf{v}^T)$，其值为 $1 + \mathbf{v}^T \mathbf{u}$。
思路分析
这种形式的行列式属于 $A + \mathbf{u}\mathbf{v}^T$ 类型。技巧：先通过列变换使得各行和相等，再提取公因式。
🔄 举一反三
- 计算 $\begin{vmatrix} 1+a_1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+a_2 & 1 \\ 1 & 1 & 1+a_3 \end{vmatrix}$。
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答案：$a_1 a_2 a_3 (1 + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3})$解析：提取各行的 $a_i$ 后，化为与例题相同的形式。
- 计算 $n+1$ 阶行列式：$$D = \begin{vmatrix} -a_1 & a_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & -a_2 & a_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & -a_n & a_n \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \end{vmatrix}$$
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答案：$(-1)^n(n+1)a_1 a_2 \dots a_n$
解析：第一步：列加变换 将所有列都加到最后一列（$C_{n+1} + \sum_{j=1}^n C_j$）：
- 前 $n$ 行的最后一列元素变为：$-a_i + a_i = 0$
- 最后一行（第 $n+1$ 行）的最后一列元素变为：$1 + 1 + \dots + 1 = n+1$
第二步：按最后一列展开
第三步：计算对角行列式 展开后的矩阵是上三角阵，其值为对角元乘积：
难度: ⭐⭐ 考点: #行列式展开 #列变换
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📖 相关公式与知识点:
- 按行（列）展开定理：行列式等于某一行（列）元素与其代数余子式乘积之和。
思路分析
由于行列式中 $-a_i$ 和 $a_i$ 成对出现且位于相邻位置，利用列加法可以迅速抵消掉前 $n$ 行中的大部分元素，只留下一列。
🔄 举一反三
- 计算 $n$ 阶行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ -1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & -2 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & -(n-1) & 0 \end{vmatrix}$。
查看练习答案与解析
答案：$n!$解析：按最后一列展开，或通过行变换将第一行化为只剩最后一项。
- 求行列式 $\begin{vmatrix} -3 & 0 & 4 \\ 5 & 0 & 3 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix}$ 中元素 $2$ 与 $-2$ 的代数余子式。
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答案：$A_{31} = 0, A_{32} = 29$
解析：第一步：定位元素位置
- 元素 $2$ 位于第 $3$ 行第 $1$ 列，记作 $a_{31}$。
- 元素 $-2$ 位于第 $3$ 行第 $2$ 列，记作 $a_{32}$。
第二步：计算 $a_{31}$ 的代数余子式 $A_{31}$
第三步：计算 $a_{32}$ 的代数余子式 $A_{32}$
难度: ⭐ 考点: #代数余子式 #余子式
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是划掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩下的子式。
易错点
经常忘记乘以符号因子 $(-1)^{i+j}$，或者计算 $2 \times 2$ 行列式时正负号弄反。
🔄 举一反三
- 求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的所有代数余子式。
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答案：$A_{11}=4, A_{12}=-3, A_{21}=-2, A_{22}=1$。
- 已知 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，求： (1) $(A + B)(A - B)$ (2) $A^2 - B^2$
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答案：(1) $\begin{pmatrix} -9 & 0 & 6 \\ -6 & 0 & 0 \\ -6 & 0 & 9 \end{pmatrix}$；(2) $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ -3 & 0 & 0 \\ -6 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
解析：第一步：计算 $A+B$ 和 $A-B$
第二步：计算 (1) $(A+B)(A-B)$
第三步：计算 (2) $A^2 - B^2$
难度: ⭐⭐ 考点: #矩阵乘法 #矩阵加减
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 矩阵乘法规则：$C = AB \implies c_{ij} = \sum a_{ik} b_{kj}$。
- 分配律：$A(B+C) = AB + AC$，但注意方向不可交换。
易错点
在计算 $(A+B)(A-B)$ 时，不要直接套用平方差公式 $A^2 - B^2$，除非题目说明 $AB=BA$。
🔄 举一反三
- 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，求 $A^2$。
查看练习答案与解析
答案：$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
- 解矩阵方程 $AX + B = X$，其中 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 0\\ 5 & -3 \end{pmatrix}$。
查看答案与解析
答案：$X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
解析：第一步：移项整理方程
第二步：计算 $I - A$
第三步：求解矩阵方程（可用逆矩阵或增广阵行变换） 使用增广矩阵 $(I-A | B)$ 行变换：
故 $X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #矩阵方程 #逆矩阵 #初等行变换
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 矩阵方程解法：$AX=B \implies X=A^{-1}B$。
- 初等行变换：利用 $(A|B) \to (I|A^{-1}B)$ 一次性求得结果。
思路分析
先合并同类项 $X$，注意提取方向。由于 $X$ 在右侧，故提取 $(A-I)X$ 或 $(I-A)X$。
🔄 举一反三
- 解方程 $XA = B$，其中 $A, B$ 同上。
查看练习答案与解析
答案：$X = BA^{-1}$。 提示：此时需要对 $(A^T | B^T)$ 进行行变换，或者直接计算 $A^{-1}$。
- 设 $A$ 为 $m$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $m \times n$ 矩阵，证明：$B^T A B$ 为对称矩阵。
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证明： 要证明 $B^T A B$ 为对称矩阵，只需证明其转置等于其本身，即证明 $(B^T A B)^T = B^T A B$。
第一步：应用转置性质 根据矩阵乘积的转置公式 $(XYZ)^T = Z^T Y^T X^T$：
第二步：利用已知条件化简
- 已知 $A$ 为对称矩阵，故 $A^T = A$。
- 根据转置的转置性质，$(B^T)^T = B$。
代入上式得：
结论： 由于 $B^T A B$ 的转置等于其本身，故 $B^T A B$ 是对称矩阵。
难度: ⭐⭐ 考点: #对称矩阵证明 #矩阵转置性质
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 转置性质：$(AB)^T = B^T A^T$；$(A^T)^T = A$；$(A+B)^T = A^T + B^T$。
- 对称矩阵定义：$A^T = A$。
思路分析
证明对称性的唯一途径是计算该矩阵的转置，并观察是否能还原为原式。
🔄 举一反三
- 证明 $A + A^T$ 总是对称矩阵。
查看练习答案与解析
证明：$(A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A$。由加法交换律，结果等于 $A + A^T$，证毕。
- 设方阵 $A$ 满足 $A^2 - 2A + 3I = O$，证明：$A - 3I$ 可逆，并求 $(A - 3I)^{-1}$。
查看答案与解析
答案：$(A - 3I)^{-1} = -\frac{1}{6}(A + I)$
解析/证明：第一步：构造包含 $(A - 3I)$ 的乘积式 已知 $A^2 - 2A + 3I = O$。 我们希望将该多项式改写为 $(A - 3I) \cdot P(A) = kI$ 的形式。
尝试除法或拼凑：
（验证：$(A-3I)(A+I) = A^2 + AI - 3AI - 3I = A^2 - 2A - 3I$。加上 $6I$ 正好是 $A^2 - 2A + 3I$）
第二步：移项得出逆矩阵定义 由 $(A - 3I)(A + I) + 6I = O$ 得：
两边同时除以 $-6$：
第三步：结论 根据逆矩阵的定义，若存在矩阵 $B$ 使得 $(A-3I)B = I$，则 $A-3I$ 可逆，且 $B$ 即为该逆矩阵。 故 $A - 3I$ 可逆，且其逆矩阵为：
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #逆矩阵证明 #矩阵多项式
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 逆矩阵的定义：若存在 $B$ 使得 $AB = I$，则 $A$ 可逆且 $A^{-1} = B$。
- 伴随矩阵关系：$AA^* = |A|I$。
::: note 重要技巧 对于多项式关系 $f(A) = 0$，如果能分解出 $(A-kI) \cdot P(A) = cI$ 且 $c \neq 0$，则 $A-kI$ 必可逆。 :::
🔄 举一反三
- 若 $A^2 = I$，证明 $A+I$ 不一定可逆，但 $A$ 必可逆。
查看练习答案与解析
解析：
- 由 $A^2 = I$ 得 $AA = I$，故 $A^{-1} = A$，$A$ 必可逆。
- 若 $A = -I$，则 $A^2 = I$ 但 $A+I = O$，不可逆。