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《线性代数》第一学期期末试卷A (精选01)
时间：120分钟 | 课程：线性代数 | 学分：2 | 形式：闭卷 | 总分：100分
一、填空题（本题满分为20分，每题4分）
- 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $|A| = 3$，则 $|3A| = $ ______
查看答案与解析
答案：$3^{n+1}$
解析： 本题考查行列式的性质。
第一步：分析行列式的数乘性质 根据 $n$ 阶方阵行列式的性质，对于常数 $k$ 和 $n$ 阶方阵 $A$，有：
第二步：代入已知条件 本题中，$k=3$，方阵阶数为 $n$，且 $|A|=3$。 代入公式得：
结论： 答案为 $3^{n+1}$。
难度: ⭐ 考点: #行列式性质 #数乘行列式
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 行列式的基本性质：$|kA| = k^n |A|$
- 行列式乘法法则：$|AB| = |A||B|$
思路分析
直接利用行列式的数乘性质公式 $|kA| = k^n |A|$ 即可，注意阶数 $n$ 与系数的关系。
易错点
- 混淆 $|kA|$ 与 $k|A|$，注意常数 $k$ 提出来时需要带上 $n$ 次方。
- 忘记 $|A|$ 本身的值，导致漏乘。
学习建议
熟练掌握行列式的 8 大基本性质，特别是关于数乘、交换行、单行倍加等性质，这些是求解高阶行列式的基石。
🔄 举一反三
- 设 $A$ 是 3 阶方阵，且 $|A| = 2$，求 $|-2A|$。
查看练习答案与解析
答案：$-16$解析： $|-2A| = (-2)^3 \cdot |A| = -8 \cdot 2 = -16$。
- 设 $A, B$ 是三阶方阵，$I$ 是三阶单位阵，$|A| = 2$ 且 $A^2 + AB + 2I = 0$，则 $|A + B| = $ ______
查看答案与解析
答案：$-4$
解析： 本题考查矩阵方程与行列式的综合运用。
第一步：整理矩阵方程 已知 $A^2 + AB + 2I = 0$，将其变形为：
第二步：两边取行列式 对等式两边同时取行列式：
根据行列式乘法法则 $|AB| = |A||B|$：
第三步：计算右侧行列式 由于 $I$ 是三阶单位阵，根据性质 $|kI| = k^3$：
第四步：代入 $|A|=2$ 求解
结论： 答案为 $-4$。
难度: ⭐⭐ 考点: #矩阵方程 #行列式性质 #矩阵乘法
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 行列式性质：$|AB| = |A||B|$
- 单位矩阵性质：$|kI| = k^n$
- 矩阵分配律：$A(B+C) = AB + AC$
思路分析
解题关键在于提取公因子 $A$，构造出待求项 $A+B$，然后利用行列式的乘法性质进行求解。
易错点
- 在计算 $|-2I|$ 时，忘记 $I$ 是三阶矩阵，错误地计算为 $(-2) \cdot |I| = -2$。
- 提取公因子时方向错误，如将 $A^2 + AB$ 提取为 $(A+B)A$，注意矩阵乘法不满足交换律。
🔄 举一反三
- 设 $A, B$ 为 2 阶方阵，$|A|=3, |B|=4$，求 $|2AB|$。
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答案：$48$解析： $|2AB| = 2^2 \cdot |A| \cdot |B| = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48$。
- 向量 $(2,0,0)$ 在基 $\alpha_1=(1,1,0), \alpha_2=(1,0,1), \alpha_3=(0,1,1)$ 下的坐标是 ______
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答案：$(1, 1, -1)$
解析： 本题考查向量在特定基下的坐标定义。
第一步：列出坐标定义方程 设向量 $\beta = (2,0,0)$ 在基 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$ 下的坐标为 $(x, y, z)$，则有：
代入具体向量：
第二步：建立线性方程组 对应分量相等，得：
第三步：解方程组 由 (2) 得 $x = -z$，由 (3) 得 $y = -z$。 代入 (1) 得： $(-z) + (-z) = 2 \Rightarrow -2z = 2 \Rightarrow z = -1$ 从而 $x = 1, y = 1$。
结论： 坐标为 $(1, 1, -1)$。
难度: ⭐⭐ 考点: #基与坐标 #线性方程组
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 坐标定义：若 $\beta = \sum x_i \alpha_i$，则 $(x_1, \dots, x_n)$ 为坐标。
- 基的变换：过渡矩阵 $P$ 满足 $\mathcal{B}' = \mathcal{B}P$。
思路分析
根据坐标的定义直接列出向量线性组合的方程，将其转化为求解线性方程组的问题。
易错点
- 方程组列错：注意基向量 $\alpha_i$ 是作为列向量构建方程组的。
- 坐标顺序错误：解出的 $(x, y, z)$ 必须按照基向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的顺序排列。
🔄 举一反三
- 求向量 $(1, 2)$ 在基 $(1, 0), (0, 1)$ 下的坐标。
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答案：$(1, 2)$解析： 在标准基下的坐标即为分量本身。$(1, 2) = 1(1, 0) + 2(0, 1)$。
- 若向量组 $\alpha_1 = (1, 2, -1, 1), \alpha_2 = (2, 0, t, 0), \alpha_3 = (0, -4, 5, -2)$ 的秩为 2，则 $t = $ ______
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答案：$3$
解析： 本题考查向量组的秩与线性相关性。
第一步：分析秩的含义 向量组的秩为 2，说明这三个向量线性相关，且其中有两个向量线性无关。即 $\alpha_3$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示（或行列式相关性质）。
第二步：建立线性表示关系 设 $\alpha_3 = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2$。 代入分量：
第三步：求解系数 由 (2) 或 (4) 可直接解得 $k_1 = -2$。 将 $k_1 = -2$ 代入 (1)： $0 = -2 + 2k_2 \Rightarrow k_2 = 1$。
第四步：代入 (3) 求 $t$$5 = (-2)(-1) + 1 \cdot t$$5 = 2 + t \Rightarrow t = 3$。
结论： $t = 3$。
难度: ⭐⭐ 考点: #向量组的秩 #线性相关 #线性表示
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 矩阵的秩 = 向量组的秩。
- 若向量组线性相关，则其构成的矩阵秩小于向量个数。
思路分析
利用“秩为 2”这一条件判断向量之间的线性依赖关系，通过待定系数法列方程组求解。
易错点
- 忽略分量对应关系：在解 $k_1, k_2$ 时，必须确保所选的两个方程能解出唯一的系数。
- $t$ 计算失误：最后一步代入时符号出错。
🔄 举一反三
- 若向量 $(1, 2), (2, k)$ 线性相关，求 $k$。
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答案：$4$解析： 分量对应成比例：$1/2 = 2/k \Rightarrow k=4$。
- 二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2$ 的矩阵是 ______
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答案：$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
解析： 本题考查二次型矩阵的构造方法。
第一步：回顾二次型矩阵定义 二次型 $f(X) = X^T A X$ 的矩阵 $A$ 是一个对称矩阵，其元素定义如下：
- 对角线元素 $a_{ii}$ 是平方项 $x_i^2$ 的系数。
- 非对角线元素 $a_{ij}$ 是交叉项 $x_i x_j$ 系数的一半（即 $a_{ij} = a_{ji} = \frac{1}{2} c_{ij}$）。
第二步：提取各项系数 已知 $f = 1 \cdot x_1^2 + 1 \cdot x_2^2 + 0 \cdot x_3^2 - 2 \cdot x_1x_2 + 0 \cdot x_1x_3 + 0 \cdot x_2x_3$。
- $a_{11} = 1, a_{22} = 1, a_{33} = 0$。
- $a_{12} = a_{21} = \frac{-2}{2} = -1$。
- $a_{13} = a_{31} = 0$。
- $a_{23} = a_{32} = 0$。
第三步：写出矩阵
难度: ⭐ 考点: #二次型矩阵 #对称矩阵
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 二次型标准形式：$f = \sum a_{ii} x_i^2 + 2 \sum_{i<j} a_{ij} x_i x_j$。
- 矩阵 $A$ 必须是对称矩阵。
思路分析
直接根据二次型系数与对称矩阵元素的对应关系填入即可。注意 $x_3$ 虽然没在表达式中显现，但由于是三元二次型，矩阵仍为 3 阶，相关系数为 0。
🔄 举一反三
- 写出 $f = x_1^2 + 2x_1x_2$ 的矩阵。
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答案：$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$解析： 平方项 $x_1^2$ 系数为 1，$x_2^2$ 系数为 0；交叉项 $2x_1x_2$ 系数减半得 1。
二、选择题（本题满分为15分，每小题3分）
方程 $\begin{vmatrix} k & -1 & k \\ 1 & k & 1 \\ 1 & k & 2 \end{vmatrix} = 0$ 的实根个数为（ ）
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 3
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答案：A
解析： 本题考查行列式的计算与方程根的性质。
第一步：计算行列式 对行列式进行初等列变换，第三列减去第一列（$C_3 - C_1$）：
按第三列展开：
第二步：分析方程的根 题目要求 $D = 0$，即：
在实数范围内，$k^2 \geq 0$，故 $k^2 + 1 \geq 1$，方程无实根。
结论： 实根个数为 0，选 A。
难度: ⭐ 考点: #行列式计算 #代数方程
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 行列式展开性质。
- 实数平方性质：$a^2 \geq 0$。
思路分析
看到行列式中第一列和第三列前两行相同，优先考虑初等列变换简化计算。
知识点拨
行列式按行（列）展开是计算高阶行列式的核心手段。在展开前，尽可能通过初等变换制造更多的“0”，可以大幅减少计算量。
🔄 举一反三
- 若 $\begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = 0$，求 $x$。
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答案：$\pm 1$解析：$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$。
设 $A, B$ 都是 $n$ 阶非零矩阵，且 $AB = 0$，则 $A, B$ 的秩为（ ）
- A. 必有一个为 0
- B. 都小于 $n$
- C. 如果一个等于 $n$，则另一个小于 $n$
- D. 都等于 $n$
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答案：B
解析： 本题考查矩阵乘积与秩的关系。
第一步：利用秩的性质公式 已知 $AB = 0$，根据 Sylvester 不等式（或更基础的性质）：
第二步：排除选项
- 题目已知 $A, B$ 均为非零矩阵，所以 $r(A) \geq 1$ 且 $r(B) \geq 1$。排除 (A)。
- 若 $r(A) = n$，则 $A$ 可逆。由 $AB = 0$ 两边左乘 $A^{-1}$ 得 $B = 0$，这与 $B$ 是非零矩阵矛盾。同理 $r(B)$ 也不能等于 $n$。
- 因此，$r(A) < n$ 且 $r(B) < n$。
结论： 秩都小于 $n$，选 B。
难度: ⭐⭐ 考点: #矩阵的秩 #零矩阵 #Sylvester不等式
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 若 $AB=0$，则 $r(A) + r(B) \leq n$。
- 可逆矩阵与零矩阵的关系：可逆矩阵乘非零矩阵必非零。
思路分析
掌握“可逆矩阵不存在非零零因子”这一核心概念，即可快速排除 $r=n$ 的情况。
::: note 补充结论 若 $AB=0$，则：
- $B$ 的列向量均为 $Ax=0$ 的解。
- $A$ 的行向量均为 $x^T B = 0$ 的解。
- $r(A) + r(B) \leq n$（Sylvester 不等式）。 :::
🔄 举一反三
- 若 $A^2 = 0$，则 $A$ 的秩满足什么？
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答案：$r(A) \leq n/2$解析：由 $AA=0$ 得 $r(A)+r(A) \leq n \Rightarrow 2r(A) \leq n$。
设 $n$ 阶方阵 $A$ 的行列式 $|A| = 0$，则 $A$ 中（ ）
- A. 必有一列元素全为 0
- B. 必有两列元素对应成比例
- C. 必有一列向量可由其余向量线性表示
- D. 任一向量是其余向量的线性组合
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答案：C
解析： 本题考查行列式为零与线性相关性的关系。
第一步：分析条件 $|A|=0$$|A|=0$ 等价于矩阵 $A$ 的列向量组（或行向量组）线性相关。
第二步：分析选项
- (A) 和 (B) 是线性相关的特殊情况，但不是必要条件。例如 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 满足 (B)，但 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 满足 (A)，而 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 9 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ 两者都不满足。
- (C) 向量组线性相关的定义：至少存在一个向量可以由其余向量线性表示。这正是 $|A|=0$ 的等价描述。
- (D) 要求“任一向量”，太强了。只有当秩极低或者所有向量都相等时才可能。
结论： 选 C。
难度: ⭐ 考点: #行列式与秩 #线性相关
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $|A| \neq 0 \iff$ 列向量组线性无关。
- $|A| = 0 \iff$ 列向量组线性相关。
思路分析
线性相关的本质就是向量组中存在“冗余”，即某个成员可以被其他成员“替代”。
设 $\lambda = 2$ 是非零方阵 $A$ 的一个特征值，则矩阵 $\frac{1}{3} A^2$ 有一个特征值等于（ ）
- A. $\frac{4}{3}$
- B. $\frac{3}{4}$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. $\frac{1}{4}$
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答案：A
解析： 本题考查矩阵函数的特征值性质。
第一步：回顾特征值性质 若 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，则对于多项式 $f(x)$，$f(\lambda)$ 是矩阵 $f(A)$ 的特征值。
第二步：代入计算 本题中，$f(A) = \frac{1}{3} A^2$。 已知 $A$ 有特征值 $\lambda = 2$，则 $\frac{1}{3} A^2$ 的对应特征值为：
结论： 选 A。
难度: ⭐ 考点: #特征值性质 #矩阵函数
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 若 $Ax = \lambda x$，则 $A^k x = \lambda^k x$。
- 若 $Ax = \lambda x$，则 $(kA)x = (k\lambda)x$。
思路分析
直接利用特征值的多项式映射性质即可，属于基础概念题。
🔄 举一反三
- 若 $A$ 的特征值为 3，求 $A^{-1}$ 的特征值。
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答案：$1/3$解析：若 $Ax=3x$，则 $x=A^{-1}(3x) \Rightarrow A^{-1}x = \frac{1}{3}x$。
$n$ 阶方阵 $A$ 相似于对角矩阵的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个（ ）
- A. 相同的特征值
- B. 互不相同的特征值
- C. 线性无关的特征向量
- D. 两两正交的特征向量
查看答案与解析
答案：C
解析： 本题考查矩阵可对角化的充要条件。
第一步：回顾充要条件 一个 $n$ 阶矩阵 $A$ 可对角化（即相似于对角阵）的充要条件是：$A$ 拥有 $n$ 个线性无关的特征向量。
第二步：分析选项
- (A) 错误，相同特征值不保证可对角化（如 Jordan 块）。
- (B) 是充分条件，但不是必要条件（特征值可以重复但特征向量仍可无关）。
- (C) 正确，是充要条件。
- (D) 是实对称矩阵对角化的性质，比一般矩阵要求更严。
结论： 选 C。
难度: ⭐ 考点: #相似对角化 #特征向量
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $P^{-1}AP = \Lambda$ 的本质是基变换，新基由特征向量组成。
- 若有 $n$ 个互异特征值，必可对角化。
思路分析
牢记可对角化的物理意义：在某个坐标系（由特征向量构成的基）下，线性变换表现为简单的缩放。
三、（共 2 题 14 分，第 1 题 6 分，第 2 题 8 分）计算下列行列式。
- $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
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答案：160
解析： 本题考查四阶行列式的计算，特别是循环行列式的技巧。
第一步：利用对称性简化 观察到每一行或每一列的元素之和均为 $1+2+3+4 = 10$。 将第 2, 3, 4 列全部加到第 1 列（$C_1 + C_2 + C_3 + C_4 \to C_1$）：
提取第一列的公因子 10：
第二步：制造零元素 利用第一行消去第一列的其他元素（$R_2 - R_1, R_3 - R_1, R_4 - R_1$）：
按第一列展开：
第三步：计算三阶行列式 对三阶行列式继续简化，将 $R_3$ 加到 $R_1$（$R_1 + R_3 \to R_1$）：
按第一行展开：
结论： 行列式的值为 160。
难度: ⭐⭐ 考点: #行列式性质 #循环行列式 #初等变换
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 行列式某行（列）加到另一行（列）值不变。
- 提取公因子性质。
- 降阶展开性质。
思路分析
遇到这种每行元素和相等的行列式，第一步永远是“全加到第一列”，这样可以迅速制造出全 1 列，进而制造大量零元素。
::: note 循环行列式 形如本题的行列式称为循环行列式。其一般结论是：各行元素之和必是其一个因式。 :::
🔄 举一反三
- 计算 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix}$。
查看练习答案与解析
答案：$2$解析：范德蒙德行列式变体或直接消元。$R_2-R_1, R_3-R_1$ 后可得。
- $D = \begin{vmatrix} a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2 \\ b^2 & (b+1)^2 & (b+2)^2 & (b+3)^2 \\ c^2 & (c+1)^2 & (c+2)^2 & (c+3)^2 \\ d^2 & (d+1)^2 & (d+2)^2 & (d+3)^2 \end{vmatrix}$
查看答案与解析
答案：0
解析： 本题考查行列式的线性相关性与多项式性质。
第一步：展开多项式项 每一行的元素其实都是形如 $x^2, (x+1)^2, (x+2)^2, (x+3)^2$ 的形式。 展开这些平方项：
- $C_1 = (x^2)$
- $C_2 = (x^2 + 2x + 1)$
- $C_3 = (x^2 + 4x + 4)$
- $C_4 = (x^2 + 6x + 9)$
第二步：利用初等列变换消去 $x^2$ 做列变换 $C_2 - C_1, C_3 - C_2, C_4 - C_3$：
- $C_2' = (2x + 1)$
- $C_3' = (2x + 3)$
- $C_4' = (2x + 5)$
第三步：再次做差消去 $2x$ 做列变换 $C_3' - C_2', C_4' - C_3'$：
- $C_3'' = (2x + 3) - (2x + 1) = (2)$
- $C_4'' = (2x + 5) - (2x + 3) = (2)$
第四步：得出结论 变换后的行列式中，第 3 列和第 4 列全为 2，即两列相同：
根据行列式性质，若有两列相同，则行列式的值为 0。
结论： 答案为 0。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #行列式性质 #线性相关 #多项式展开
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$。
- 若行列式中有两行（列）成比例或相同，则值为 0。
思路分析
这道题不需要死算。关键在于意识到 $(x+k)^2$ 是关于 $x$ 的二次多项式。二阶差分（即做两次差）会将二次多项式变为常数。由于有 4 列，做三次差必然会出现 0 或成比例的常数列。
::: note 多项式线性相关性 对于 $n$ 阶行列式，如果每一项都是关于某个变量的 $m$ 次多项式，且 $m < n-1$，那么通过初等变换一定可以构造出全 0 行（列）或成比例行（列），其行列式值必为 0。 :::
四、（本题满分为 12 分）
设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$，$A^* X = A^{-1} + 2X$，其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求 $X$。
查看答案与解析
答案：$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
解析： 本题考查伴随矩阵、逆矩阵以及矩阵方程的求解。
第一步：化简矩阵方程 利用公式 $A^* = |A| A^{-1}$，原方程可写作：
方程两边左乘矩阵 $A$：
整理得：
因此，$X = (|A| I - 2A)^{-1}$。
第二步：计算行列式 $|A|$
按第一行展开：
第三步：计算待求逆矩阵 $B = |A|I - 2A$
令 $M = 2I - A$，求 $M^{-1}$。 利用初等行变换 $(M | I) \to (I | M^{-1})$：
得 $M^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
第四步：求最终结果 $X$ 因为 $B = 2M$，所以 $X = B^{-1} = (2M)^{-1} = \frac{1}{2} M^{-1}$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #伴随矩阵 #矩阵方程 #求逆矩阵
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 核心公式：$AA^* = A^*A = |A|I$。
- 矩阵方程求解思路：通过初等变换将未知项 $X$ 隔离。
思路分析
本题的难点在于如何处理 $A^*$。直接计算 $A^*$ 会非常繁琐。利用 $A^* = |A|A^{-1}$ 将方程转化为只含 $A$ 的形式是最高效的方法。
注意事项
公式 $A^* = |A|A^{-1}$ 仅在 $A$ 可逆（即 $|A| \neq 0$）时成立。在本题解题过程中，我们先通过计算验证了 $|A|=4 \neq 0$，从而保证了后续推导的合法性。
🔄 举一反三
- 若 $AX = B$，求 $X$。
查看练习答案与解析
答案：$X = A^{-1}B$解析：前提是 $A$ 可逆，方程两边同时左乘 $A^{-1}$。
五、（本题满分为 14 分）
讨论下列方程组解的存在性，在有解的情况下求出其通解。
查看答案与解析
答案：
- 当 $k = 2$ 时，方程组无解。
- 当 $k = 1$ 时，通解为 $X = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$（$c$ 为任意常数）。
- 当 $k = -2$ 时，通解为 $X = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$（$c$ 为任意常数）。
- 当 $k \neq 1, 2, -2$ 时，方程组有唯一解：$x_1 = \frac{-k-1}{k-2}, x_2 = \frac{1}{k-2}, x_3 = \frac{(k-1)^2}{k-2}$。
解析： 本题考查含参数线性方程组解的讨论。
第一步：写出增广矩阵并进行初等行变换
交换 $R_1$ 与 $R_3$：
第二步：分类讨论情况 1：$k = 1$ 矩阵变为：
$r(A) = r(A|b) = 2 < 3$，有无穷多解。 自由变量设 $x_3 = c$，则 $x_2 = -1, x_1 = 2 - c$。 通解为 $X = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。
情况 2：$k \neq 1$ 第二行除以 $k-1$：
（注：$-2-k^3+3k = -(k-1)^2(k+2)$）
若 $k = 2$： 第三行对应方程为 $0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = -4$，这显然矛盾。 此时 $r(A)=2, r(A|b)=3$，故方程组无解。
若 $k = -2$： 第三行全为 0，$r(A)=r(A|b)=2 < 3$，方程组有无穷多解。 矩阵简化为：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1-R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 设 $x_3 = c$，则 $x_2 = c+2, x_1 = c+2$。 通解为 $X = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$（$c$ 为任意常数）。
若 $k \neq 1, 2, -2$： $r(A)=r(A|b)=3$，方程组有唯一解。 由第三行得：$(2-k)(2+k)x_3 = -(k-1)^2(k+2)$ 由于 $k \neq -2$，约去 $k+2$ 得：$(2-k)x_3 = -(k-1)^2 \Rightarrow x_3 = \frac{(k-1)^2}{k-2}$。 代入第二行：$x_2 - x_3 = -k \Rightarrow x_2 = x_3 - k = \frac{k^2-2k+1 - k(k-2)}{k-2} = \frac{1}{k-2}$。 代入第一行：$x_1 + x_2 + kx_3 = k^2 \Rightarrow x_1 = k^2 - \frac{1}{k-2} - \frac{k(k-1)^2}{k-2} = \frac{k^2(k-2) - 1 - (k^3-2k^2+k)}{k-2} = \frac{-k-1}{k-2}$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #非齐次线性方程组 #参数讨论 #克莱姆法则
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 解的判定：$r(A) < r(A|b)$ 无解；$r(A)=r(A|b)=n$ 唯一解；$r(A)=r(A|b)<n$ 无穷多解。
- 齐次方程组通解形式：特解 + 齐次通解。
思路分析
讨论参数时，首选行初等变换化为阶梯形。注意在变换过程中如果要除以某个含参表达式，必须先讨论该表达式是否为 0。
判别准则
对于 $n$ 元线性方程组 $Ax=b$：
- $r(A) \neq r(A, b) \iff$ 无解。
- $r(A) = r(A, b) = n \iff$ 唯一解。
- $r(A) = r(A, b) < n \iff$ 无穷多解。
🔄 举一反三
- 讨论方程组 $\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+2y+4z=k \\ x+4y+10z=k^2 \end{cases}$ 的解。
查看练习答案与解析
答案：当 $k=1$ 或 $k=2$ 时有无穷多解；当 $k \neq 1, 2$ 时无解。 解析： 增广矩阵变换为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & k-1 \\ 0 & 0 & 0 & (k-1)(k-2) \end{pmatrix}$。 当 $(k-1)(k-2) \neq 0$ 时，$r(A)=2, r(A|b)=3$，无解。 当 $k=1, 2$ 时，$r(A)=r(A|b)=2 < 3$，有无穷多解。
六、（本题满分为 15 分，第 1 小题 3 分，第 2 小题 9 分，第 3 小题 3 分）
已知一个二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 6x_2^2 + 3x_3^2 - 4x_1x_2 - 8x_1x_3 - 4x_2x_3$
(1) 写出二次型 $f$ 的矩阵。
(2) 利用配方法化 $f$ 为标准形，并求出所做的可逆线性变换。
(3) 判断 $f$ 是否正定，并写出理由。
查看答案与解析
答案： (1) 矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -4 \\ -2 & 6 & -2 \\ -4 & -2 & 3 \end{pmatrix}$。 (2) 标准形为 $y_1^2 + 2y_2^2 - 63y_3^2$。所求可逆线性变换为 $X = CY$，其中 $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 14 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。 (3) 该二次型不是正定的。理由：其标准形的系数（即规范性系数）中包含负数 $-63$。
解析： 本题考查二次型的矩阵表示、配方法化标准形以及正定性的判断。
第一步：写出二次型矩阵 根据二次型系数 $a_{ii}$ 为平方项系数，$a_{ij}$ 为交叉项系数的一半：
- $a_{11}=1, a_{22}=6, a_{33}=3$
- $a_{12}=a_{21}=-2, a_{13}=a_{31}=-4, a_{23}=a_{32}=-2$ 得矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -4 \\ -2 & 6 & -2 \\ -4 & -2 & 3 \end{pmatrix}$。
第二步：利用配方法化标准形
对 $x_1$ 进行配方：
整理剩余项：
对 $x_2$ 进行配方：
第三步：求线性变换 令：
解出 $x_i$：
变换矩阵 $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 14 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
第四步：判断正定性 标准形为 $y_1^2 + 2y_2^2 - 63y_3^2$。 由于标准形中 $y_3^2$ 的系数为 $-63 < 0$，根据惯性定理，该二次型的负惯性指数为 1，不全为正，故不是正定的。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #二次型矩阵 #配方法 #标准形 #正定性
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 二次型矩阵构造。
- 配方法步骤：按变量顺序依次配方。
- 正定性判定：所有特征值大于 0，或正惯性指数等于阶数，或各阶顺序主子式均大于 0。
思路分析
配方法的核心是“先抓一个变量，把含它的项全部收拢到平方里”。注意计算过程中系数的提取和抵消，这是最容易出错的地方。
正定性判定准则
判定对称矩阵 $A$ 正定的常用方法：
- 定义法：对任意非零向量 $x$，恒有 $x^T Ax > 0$。
- 特征值法：$A$ 的所有特征值均大于 0。
- 顺序主子式法：$A$ 的各阶顺序主子式均大于 0。
- 合同矩阵法：$A$ 合同于单位阵（即正惯性指数 $p=n$）。
🔄 举一反三
- 判断 $f = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2$ 的正定性。
查看练习答案与解析
答案：半正定，非正定。 解析：矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。特征值为 $0, 1, 2$。由于存在特征值为 0，且其余大于 0，故为半正定。
七、（本题满分为 10 分）
已知：$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r, \alpha_{r+1}, \dots, \alpha_s$ 有相同的秩。
证明：向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r, \alpha_{r+1}, \dots, \alpha_s$ 等价。
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证明：
第一步：明确子集包含关系 设向量组 $(I): \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$，向量组 $(II): \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r, \alpha_{r+1}, \dots, \alpha_s$。 显然，向量组 $(I)$ 的每一个向量都属于向量组 $(II)$。 因此，向量组 $(I)$ 可以由向量组 $(II)$ 线性表示（表示系数为单位矩阵的列）。
第二步：利用秩相等推导极大线性无关组 已知 $r(I) = r(II) = r$。 由于向量组 $(I)$ 是向量组 $(II)$ 的子集，且向量组 $(I)$ 的秩等于原向量组 $(II)$ 的秩。 设 $\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_r}$ 是向量组 $(I)$ 的一个极大线性无关组，根据秩的定义，它也必然是向量组 $(II)$ 的一个极大线性无关组。 由于向量组 $(I)$ 与其极大无关组等价，且向量组 $(II)$ 也与其极大无关组等价。
第三步：得出等价结论 由极大线性无关组的性质可知：
- 向量组 $(II)$ 中的每一个向量 $\alpha_j$（$j=1, \dots, s$）都可以由其极大线性无关组（即向量组 $(I)$ 的极大无关组）线性表示。
- 既然能由 $(I)$ 的极大无关组表示，必然能由向量组 $(I)$ 本身线性表示。
- 结合第一步的结论（$(I)$ 可由 $(II)$ 表示），根据向量组等价的定义，向量组 $(I)$ 与向量组 $(II)$ 等价。
难度: ⭐⭐ 考点: #向量组等价 #向量组的秩 #极大线性无关组
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 向量组等价定义：两个向量组可以互相线性表示。
- 极大线性无关组性质：向量组中的任一向量均可由其极大无关组线性表示。
- 若 $A$ 可由 $B$ 表示，则 $r(A) \leq r(B)$。
思路分析
证明等价的核心是证明“互相表示”。由于一个组是另一个组的子集，单向表示是显然的。难点在于利用“秩相等”这一条件，通过极大无关组的性质证明反向表示。
::: note 等价向量组性质
- 向量组等价具有自反性、对称性和传递性。
- 等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价（除非存在包含关系或能互相表示）。
- 向量组与其极大线性无关组等价。 :::
🔄 举一反三
- 证明：若 $\alpha$ 可由 $\beta_1, \dots, \beta_n$ 线性表示，则 $r(\beta_1, \dots, \beta_n) = r(\beta_1, \dots, \beta_n, \alpha)$。
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证明：
- 设 $V_1 = \text{span}\{\beta_1, \dots, \beta_n\}$，$V_2 = \text{span}\{\beta_1, \dots, \beta_n, \alpha\}$。
- 因为 $\alpha \in V_1$，所以 $V_2 \subseteq V_1$。
- 又显然 $V_1 \subseteq V_2$，故 $V_1 = V_2$。
- 维数相等，即秩相等。