《线性代数》期末试卷 (精选12)

时间：120分钟 | 课程：线性代数 | 学分：2 | 形式：闭卷 | 总分：100分

一、选择题（每题 3 分，共 18 分）

设 $$A$$ 为 $m \times n$ 矩阵，则下列说法错误的是（）
- A. 若 $$A$$ 的 $$n$$ 个列向量线性无关，则 $$A$$ 的秩为 $$n$$ ；
- B. 若 $$A$$ 的秩为 $$m$$ , 则 $$A$$ 的 $$m$$ 个行向量线性无关;
- C. 若 $$A$$ 的秩小于 $$n$$ , 则 $$A$$ 的 $$n$$ 个列向量线性相关;
- D. $$A$$ 的行向量组与列向量组等价.

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答案：D

解析：

A选项正确：若 $$n$$ 个列向量线性无关，则列秩为 $$n$$ ，由秩的定义可知 $$R(A)=n$$ 。
B选项正确：若 $$R(A)=m$$ ，则行秩为 $$m$$ ，即 $$m$$ 个行向量线性无关。
C选项正确：若 $$R(A) < n$$ ，则列秩小于列数，列向量组线性相关。
D选项错误：矩阵的行向量组属于 $\mathbb{R}^n$ ，列向量组属于 $\mathbb{R}^m$ 。当 $m \neq n$ 时，它们属于不同的向量空间，不能谈论等价；即使 $$m=n$$ ，两个向量组也不一定等价，等价要求它们能相互线性表示。

难度: ⭐ 考点: #矩阵的秩 #向量组的等价 #线性相关性

思路分析

本题考查秩的基本概念以及行/列向量组的关系。注意“等价”与“秩相等”的区别：秩相等是等价的必要不充分条件。

易错点

混淆“向量组等价”与“矩阵等价”。矩阵等价只需秩相等，向量组等价还要求能相互线性表示。
误认为行向量组和列向量组总是在同一个空间。

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🔄 举一反三

设 $$A$$ 是 $m \times n$ 矩阵，若 $$A$$ 的 $$n$$ 个列向量线性相关，则（）。 A. $$A$$ 的秩必小于 $$n$$ B. $$A$$ 的秩必等于 $$n$$
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答案：A。解析：列向量组线性相关 $\iff$ 列秩 < 列数 $$n$$ $\iff R(A) < n$ 。

设矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ 与矩阵 $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 等价，则 $$a = $$ （）
- A. 1 或 -2
- B. 1
- C. -2
- D. 2

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答案：C

解析：

等价矩阵性质：矩阵 $A \sim B \iff R(A) = R(B)$ 。
计算 $$R(B)$$ ： $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 故 $$R(B) = 2$$ 。
确定 $$a$$ 的值：矩阵 $A$ 为 3 阶方阵，$R(A) = 2 \implies |A| = 0$ 且存在 2 阶子式不为 0。
$$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (a+2)(a-1)^2 = 0 \implies a = 1 \text{ 或 } a = -2$$
- 当 $$a=1$$ 时， $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ ，其 $R(A) = 1 \neq 2$ 。
- 当 $$a=-2$$ 时， $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ ，其 $$R(A) = 2$$ 。综上， $$a = -2$$ 。

难度: ⭐⭐ 考点: #矩阵等价 #矩阵的秩 #行列式计算

思路分析

看到“等价”二字，第一时间联想“秩相等”。通过计算常数矩阵 $$B$$ 的秩，转化为求解 $$A$$ 的秩的问题。

易错点

记错等价矩阵的充要条件。
在计算 $$|A|=0$$ 得到 $$a=1$$ 或 $$-2$$ 后，忘记验证 $$a=1$$ 时秩是否真的为 2。

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🔄 举一反三

若矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 与 $$B$$ 等价，则 $$B$$ 的秩为（）。
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答案：2。解析：因为 $|A| = 4-6 = -2 \neq 0$ ，故 $$R(A)=2$$ 。等价矩阵秩相等，故 $$R(B)=2$$ 。

设向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}$ 线性表示，但不可由向量组 I: $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s-1}$ 线性表示，记向量组 II: $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s-1}, \beta$ ，则下列结论正确的是（）
- A. $\alpha_{s}$ 既可由 I 线性表示, 也可由 II 线性表示;
- B. $\alpha_{s}$ 可由 I 线性表示, 但不可由 II 线性表示;
- C. $\alpha_{s}$ 不可由 I 线性表示, 也不可由 II 线性表示;
- D. $\alpha_{s}$ 不可由 I 线性表示, 但可由 II 线性表示.

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答案：D

解析：

已知条件：
- $\beta$ 可由 $\alpha_{1}, \dots, \alpha_{s}$ 表示： $\beta = k_1\alpha_1 + \dots + k_s\alpha_s$ 。
- $\beta$ 不能由 $\alpha_{1}, \dots, \alpha_{s-1}$ 表示：说明系数 $k_s \neq 0$ 。
推导 $\alpha_s$ 的表示：由于 $k_s \neq 0$ ，我们可以反解出 $\alpha_s$ ： $\alpha_s = \frac{1}{k_s}\beta - \frac{k_1}{k_s}\alpha_1 - \dots - \frac{k_{s-1}}{k_s}\alpha_{s-1}$ 这说明 $\alpha_s$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_{s-1}, \beta$ （即向量组 II）线性表示。
排除法：若 $\alpha_s$ 能由 $\alpha_1, \dots, \alpha_{s-1}$ 表示，那么由于 $\beta$ 能由 $\alpha_1, \dots, \alpha_{s}$ 表示，通过代换， $\beta$ 也能由 $\alpha_1, \dots, \alpha_{s-1}$ 表示，这与已知矛盾。故 $\alpha_s$ 不可由 I 线性表示。

难度: ⭐⭐ 考点: #线性表示 #向量组的线性相关性

关键定理

若 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 线性表示，但不能由 $\alpha_1, \dots, \alpha_{s-1}$ 线性表示，则 $\alpha_s$ 必可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_{s-1}, \beta$ 线性表示。

思路分析

本题的核心是利用线性表示的可逆性。如果加入一个向量后能表示，但去掉另一个向量后就不能表示，说明这两个向量在表示空间中地位是对等的。

易错点

混淆表示的充分性与必要性。
在反向推导 $\alpha_s$ 时，忽略了系数非零的前提（本题由“不可由 I 表示”保证了系数非零）。

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🔄 举一反三

若 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，且 $\alpha_1, \alpha_2, \beta$ 线性相关，则 $\beta$ 是否必可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示？
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答案：是。解析：因为添加 $\beta$ 后相关，且原组无关，说明 $\beta$ 是“多余”的，必能被原组表示。

设向量组 $A: \alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}$ 可由向量组 $B: \beta_{1}, \beta_{2}, \dots, \beta_{t}$ 线性表示，则（）
- A. 若向量组 $$A$$ 线性无关，则 $s \leq t$ ；
- B. 若向量组 $$B$$ 线性无关，则 $s \leq t$ ；
- C. 当 $$s > t$$ 时, 向量组 $$B$$ 线性相关;
- D. 当 $$s < t$$ 时，向量组 $$A$$ 线性相关。

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答案：A

解析：

A选项正确：这是线性代数的基本定理——如果无关组 $$A$$ 可由向量组 $$B$$ 线性表示，则 $$A$$ 的向量个数 $$s$$ 不超过 $$B$$ 的向量个数 $$t$$ 。
B选项错误：无关组 $$B$$ 表示 $$A$$ ，对 $$s$$ 无限制。例如基可以表示任意多的线性相关向量。
C选项错误：当 $$s > t$$ 时，只能断定向量组 $$A$$ 线性相关，不能断定 $$B$$ 相关。
D选项错误：当 $$s < t$$ 时，无法断定 $$A$$ 的相关性。

难度: ⭐ 考点: #线性表出 #维数定理

思路分析

这是关于向量组秩与线性表出的基础命题。核心结论是：被表示组的秩不能超过表示组的秩。

易错点

记反不等式方向，误认为 $t \leq s$ 。
误以为只有在无关时才有秩的关系。实际上 $R(A) \leq R(B)$ 总是成立的。

🔄 举一反三

若向量组 $$A$$ 可由向量组 $$B$$ 线性表示，且 $$s > t$$ , 则向量组 $$A$$ 必定（）。
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答案：线性相关。解析：因为 $R(A) \leq R(B) \leq t < s$ ，秩小于向量个数，故相关。

已知 3 元非齐次线性方程组 $$Ax = b$$ 的 3 个解 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ ，且 $\varepsilon_1 + \varepsilon_2 = (2,0,6)^T$ ， $\varepsilon_2 + \varepsilon_3 = (1,-2,1)^T$ ， $$R(A) = 2$$ ， $$k$$ 为任意常数，则 $$Ax = b$$ 的通解 $$x = $$ （）
- A. $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}$

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答案：B

解析：

求基础解系：非齐次解之差是齐次解。 $\xi = (\varepsilon_1 + \varepsilon_2) - (\varepsilon_2 + \varepsilon_3) = \varepsilon_1 - \varepsilon_3$ 是 $$Ax=0$$ 的解。 $\xi = (2,0,6)^T - (1,-2,1)^T = (1, 2, 5)^T$ 。因为 $$n=3, R(A)=2$$ ，故 $$Ax=0$$ 的基础解系只含 $$3-2=1$$ 个向量，即 $\xi$ 为基础解系。
求特解：因为 $A\varepsilon_1 = b, A\varepsilon_2 = b$ ，所以 $A(\varepsilon_1 + \varepsilon_2) = 2b$ ，即 $A \left[ \frac{1}{2}(\varepsilon_1 + \varepsilon_2) \right] = b$ 。故特解 $\eta = \frac{1}{2}(2, 0, 6)^T = (1, 0, 3)^T$ 。
写通解： $x = \eta + k\xi = (1, 0, 3)^T + k(1, 2, 5)^T$ 。

难度: ⭐⭐ 考点: #线性方程组通解 #基础解系 #非齐次线性方程组

思路分析

本题考查非齐次方程组解的结构。关键点在于：解之差是齐次解，解的凸组合（系数和为 1）仍是非齐次解。

易错点

直接将 $\varepsilon_1 + \varepsilon_2$ 作为解。实际上只有系数和为 1 的组合才是解。
找齐次解的基础解系时，忽略了 $$n-R(A)$$ 的个数限制。

🔄 举一反三

若 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是 $$Ax=b$$ 的两个解，则 $\frac{1}{3}\varepsilon_1 + \frac{2}{3}\varepsilon_2$ 是其解吗？
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答案：是。解析：系数之和 $$1/3 + 2/3 = 1$$ ，满足非齐次解的线性组合仍为解的条件。

设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + tx_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} - 8x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3}$ 在正交变换 $$x = Qy$$ 下的标准形为 $-3y_{1}^{2} + 6y_{2}^{2}$ , 则 $$t = $$ （）
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4

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答案：B

解析：

二次型矩阵： $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -4 \\ 1 & -1 & 1 \\ -4 & 1 & t \end{pmatrix}$ 。
特征值分析：正交变换不改变特征值。标准形为 $$-3y_1^2 + 6y_2^2 + 0y_3^2$$ ，说明特征值为 $\lambda_1 = -3, \lambda_2 = 6, \lambda_3 = 0$ 。
利用迹（Trace）相等： $\sum \lambda_i = \text{tr}(A)$ $-3 + 6 + 0 = 2 + (-1) + t \implies 3 = 1 + t \implies t = 2$ 。
验证行列式： $|A| = \prod \lambda_j = 0$ 。 $|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 \\ 1 & -1 & 1 \\ -4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(-2-1) - 1(2-(-4)) - 4(1-4) = -6 - 6 + 12 = 0$ 。符合。

难度: ⭐⭐ 考点: #二次型标准形 #特征值与迹的关系 #正交变换

思路分析

本题最简便的方法是利用迹（主对角线元素之和）在相似变换/正交变换下保持不变的性质。同时利用标准形系数即为特征值的结论。

易错点

忘记正交变换下迹保持不变。
对应错标准形中的特征值个数（本题中有 0 特征值）。

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🔄 举一反三

若二次型的标准形中只含有两个非零平方项，则其矩阵的秩为多少？
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答案：2。解析：秩等于标准形中非零系数的个数。

二、填空题（每题 3 分，共 18 分）

设 $$A$$ 是 $4 \times 3$ 矩阵，且 $$A$$ 的秩 $$R(A) = 2$$ ，而 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ ，则 $$AB$$ 的秩 $$R(AB) =$$ \underline{\quad 2 \quad}.

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答案：2

解析：

分析矩阵 $$B$$ ： $|B| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 2(3 + 2) = 10 \neq 0$ 。故 $$B$$ 是可逆矩阵。
秩的性质：一个矩阵乘以一个可逆矩阵，其秩不变。故 $$R(AB) = R(A) = 2$$ 。

难度: ⭐ 考点: #矩阵的秩 #可逆矩阵

思路分析

计算可逆矩阵 $$B$$ 的行列式，确定其可逆性。由于 $$B$$ 可逆，左乘或右乘 $$B$$ 均不改变矩阵 $$A$$ 的秩。

易错点

盲目进行矩阵乘法 $$AB$$ 后求秩，计算量巨大且易错。
忽略秩在可逆变换下的不变性。

🔄 举一反三

若 $$A$$ 为 $m \times n$ 矩阵， $$P, Q$$ 分别为 $$m, n$$ 阶可逆矩阵，则 $$R(PAQ)$$ 为多少？
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答案：R(A)。解析：可逆变换不改变矩阵的秩。

已知 $$A$$ 是 3 阶方阵，且 $$|A| = 2$$ ， $A^{*}$ 是 $$A$$ 的伴随矩阵，则 $\left| \left( \frac{1}{3} A \right)^{-1} - 2A^{*} \right| =$ \underline{\quad -1/2 \quad}.

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答案：-1/2

解析：

公式转换：利用 $A^* = |A|A^{-1} = 2A^{-1}$ 。
表达式简化： $\left( \frac{1}{3}A \right)^{-1} = 3A^{-1}$ 。原式 $= |3A^{-1} - 2(2A^{-1})| = |3A^{-1} - 4A^{-1}| = |-A^{-1}|$ 。
计算行列式：因为 $$A$$ 为 3 阶方阵，故 $|-A^{-1}| = (-1)^3 |A|^{-1} = - \frac{1}{|A|} = - \frac{1}{2}$ 。

难度: ⭐⭐ 考点: #伴随矩阵 #行列式性质 #逆矩阵性质

思路分析

先将复杂的矩阵表达式整理为单一矩阵的倍数（利用 $A^* = |A|A^{-1}$ ）。提取常数因子时注意矩阵的阶数。

易错点

在提取公因子时，漏掉阶数 $$n=3$$ 的指数幂运算。
混淆行列式的负号提取法则。

💡 学习锦囊

📖 相关公式:

$$|kA| = k^n|A|$$ （ $$n$$ 为阶数）。
$AA^* = |A|E \implies A^* = |A|A^{-1}$ 。
$|A^{-1}| = |A|^{-1}$ 。

🔄 举一反三

若 $$|A|=3$$ 且阶数为 2，求 $$|2A^*|$$ 。
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答案：12。解析： $A^* = 3A^{-1}$ ，故 $|2A^*| = |6A^{-1}| = 6^2 \cdot (1/3) = 36/3 = 12$ 。

已知向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关, 设 $\beta_{1} = \alpha_{1} + 2\alpha_{2}, \beta_{2} = \alpha_{2} + \alpha_{3}, \beta_{3} = \alpha_{3} + k\alpha_{1}$ , 则 $$k =$$ \underline{\quad -1/2 \quad} 时向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 线性相关.

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答案：-1/2

解析：

写出转换矩阵： $(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \begin{pmatrix} 1 & 0 & k \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ 。记转换矩阵为 $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ 。
相关性判定：因为 $\alpha_i$ 线性无关，所以 $\beta_i$ 线性相关 $\iff |C| = 0$ 。
求解 $$|C|$$ ： $|C| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + k \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) + k(2) = 1 + 2k$ 。令 $1 + 2k = 0 \implies k = - \frac{1}{2}$ 。

难度: ⭐⭐ 考点: #向量组线性相关 #坐标转换矩阵

思路分析

当新向量组由旧向量组线性表示时，新向量组的相关性等效于转换矩阵的行列式是否为零。

易错点

写错转换矩阵的元素位置（注意按列填入系数）。
忽略原向量组 $\alpha_i$ 线性无关这一关键前提条件。

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🔄 举一反三

若 $\beta_1 = \alpha_1, \beta_2 = \alpha_1 + \alpha_2$ , 则 $\beta_1, \beta_2$ 与 $\alpha_1, \alpha_2$ 的相关性是否一致？
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答案：是。解析：转换矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ，其行列式为 1，非零，故相关性不变。

已知非齐次线性方程组 $\begin{cases} x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 1 \\ 2x_{1} - x_{2} + ax_{3} = -1 \\ 2x_{1} + ax_{2} - x_{3} = -1 \end{cases}$ 有两个不同解，则 $$a =$$ \underline{\quad -1 \quad}.

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答案：-1

解析：

两个不同解的含义：由于线性方程组的解要么唯一，要么无解，要么无穷多。有两个解意味着它有无穷多解（即 $\gamma = \varepsilon_1 - \varepsilon_2$ 为对应的齐次方程组的非零解）。
通解条件：无限解意味着系数矩阵行列式 $$|A| = 0$$ 且 $$R(A) = R(A|b) < 3$$ 。
计算 $$|A|$$ ： $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & a \\ 2 & a & -1 \end{vmatrix} = 1(1-a^2) - 2(-2-2a) - 2(2a+2) = 1-a^2$ 。令 $1-a^2 = 0 \implies a = \pm 1$ 。
验证 $$R(A) = R(A|b)$$ ：
- 当 $$a=1$$ 时，增广矩阵 $(A|b) \xrightarrow{r} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ ， $$R(A)=2, R(A|b)=3$$ ，无解。
- 当 $$a=-1$$ 时，增广矩阵 $(A|b) \xrightarrow{r} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ， $$R(A)=R(A|b)=2 < 3$$ ，无限解。故 $$a = -1$$ 。

难度: ⭐⭐⭐ 考点: #线性方程组的解 #行列式 #增广矩阵

思路分析

“两个不同解”蕴含了“无穷多解”的信息。锁定参数后，必须代入增广矩阵验证是“无穷解”还是“无解”（对应行列式为 0 的两种极端情况）。

易错点

只求出 $$|A|=0$$ 的解，不进行增广矩阵的秩校验。
在讨论参数时，将“无解”的情况误认为“无限解”。

🔄 举一反三

若方程组 $$Ax=b$$ 有两个解，则齐次方程组 $$Ax=0$$ 至少有多少个解？
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答案：无穷多个。解析：解之差是非零齐次解，若存在非零齐次解，则必有无穷个齐次解。

设 $$A$$ 是 3 阶方阵，且 $$|A - E| = |A + 2E| = |2A + 3E| = 0$$ ，则 $|2A^{*} - 3E| =$ \underline{\quad 126 \quad}.

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答案：126

解析：

找出特征值：由已知 $$|A - E| = 0$$ 得 $\lambda_1 = 1$ ；由 $$|A + 2E| = 0$$ 得 $\lambda_2 = -2$ ；由 $$|2A + 3E| = 0$$ 即 $$|A + 1.5E| = 0$$ 得 $\lambda_3 = -1.5$ 。
计算 $$A^*$$ 的特征值： $$A$$ 的行列式 $|A| = 1 \cdot (-2) \cdot (-1.5) = 3$ 。 $$A^*$$ 的特征值 $\mu_i = \frac{|A|}{\lambda_i}$ 。得 $\mu_1 = 3/1 = 3, \mu_2 = 3/(-2) = -1.5, \mu_3 = 3/(-1.5) = -2$ 。
计算最终矩阵的行列式： $$2A^* - 3E$$ 的特征值为 $2\mu_i - 3$ 。 $\nu_1 = 2(3)-3 = 3$ ； $\nu_2 = 2(-1.5)-3 = -6$ ； $\nu_3 = 2(-2)-3 = -7$ 。行列式为特征值的乘积： $|2A^* - 3E| = 3 \cdot (-6) \cdot (-7) = 126$ 。

难度: ⭐⭐⭐ 考点: #特征值 #伴随矩阵特征值 #行列式与特征值

思路分析

本题考查特征值的映射性质。通过 $$|A-kE|=0$$ 找出 $$A$$ 的特征值，再映射到 $$A^*$$ 及最终的多项式矩阵。

易错点

计算 $$A^*$$ 特征值时忘记除以对应的 $\lambda$ 。
在多项式变换 $2\mu_i - 3$ 时出现代数计算失误。

💡 学习锦囊

📖 相关公式:

若 $\lambda$ 是 $$A$$ 的特征值，则 $\frac{|A|}{\lambda}$ 是 $$A^*$$ 的特征值。
$$f(A)$$ 的特征值为 $f(\lambda)$ 。

🔄 举一反三

若矩阵 $$A$$ 的特征值为 1, 2, 3，求 $$A^*$$ 的特征值。
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答案：6, 3, 2。解析： $$|A|=6$$ ，特征值为 $$6/1, 6/2, 6/3$$ 。

设 $$A$$ 是 3 阶方阵， $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性无关的向量组，若 $A\alpha_{1} = 2\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}, A\alpha_{2} = \alpha_{2} + 2\alpha_{3}, A\alpha_{3} = -\alpha_{2} + \alpha_{3}$ ，则 $$A$$ 的实特征值为 \underline{\quad 2 \quad}.

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答案：2

解析：

构造相似矩阵： $A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ 。记 $M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ ，则 $$A$$ 与 $$M$$ 相似， $$A$$ 的特征值即为 $$M$$ 的特征值。
计算特征多项式： $|\lambda E - M| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda-1 & 1 \\ -1 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-2) \left[ (\lambda-1)^2 + 2 \right] = (\lambda-2)(\lambda^2 - 2\lambda + 3)$ 。
求解特征值：解为 $\lambda_1 = 2$ ；对 $\lambda^2 - 2\lambda + 3 = 0$ ， $\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$ ，无实根。故实特征值为 2。

难度: ⭐⭐⭐ 考点: #矩阵相似 #特征值计算 #线性转换

思路分析

将抽象的变换关系写成 $$A P = P M$$ 的形式。 $$A$$ 的特征值即为具体矩阵 $$M$$ 的特征值。

易错点

构造矩阵 $$M$$ 时，误将系数按行填入。
在解特征多项式时，忽略了题目要求的“实”特征值限制。

🔄 举一反三

若矩阵 $$A$$ 满足 $A\alpha = \lambda\alpha$ ，则 $\lambda$ 是什么？
查看练习答案与解析
答案：特征值。解析：这是特征值和特征向量的原始定义。

三、计算题（共 64 分）

已知 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ，矩阵 $$B$$ 满足 $ABA^{*} = 2BA^{*} + E$ ，其中 $A^{*}$ 为 $$A$$ 的伴随矩阵，求 $$|B|$$ 。（8 分）

查看答案与解析

答案： $$|B| = 1/9$$

详细推导：

分析矩阵 $$A$$ ： $|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3$ 。因为 $|A| \neq 0$ ，故 $$A$$ 可逆，从而 $$A^*$$ 也可逆。
变形已知等式： $ABA^* - 2BA^* = E \implies (A - 2E)BA^* = E$ 。
两边取行列式： $|A - 2E| \cdot |B| \cdot |A^*| = |E| = 1$ 。
计算各项行列式：
- $A - 2E = \begin{pmatrix} 2-2 & 1 & 0 \\ 1 & 2-2 & 0 \\ 0 & 0 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ 。 $|A - 2E| = -1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = 1$ 。
- $|A^*| = |A|^{n-1} = 3^{3-1} = 3^2 = 9$ 。
求解 $$|B|$$ ： $1 \cdot |B| \cdot 9 = 1 \implies |B| = \frac{1}{9}$ 。

难度: ⭐⭐ 考点: #矩阵方程 #行列式性质 #伴随矩阵

思路分析

遇到涉及 $$A^*$$ 的矩阵方程，通常先观察是否可以提取公因式。提取后利用行列式的乘积性质，将复杂的矩阵关系转化为代数运算。

易错点

在进行行列式运算时，漏掉常数提取出的 $$n$$ 次幂。
记错伴随矩阵行列式的降幂公式 $|A^*| = |A|^{n-1}$ 。

💡 学习锦囊

📖 相关公式:

$|A^*| = |A|^{n-1}$ 。
$$|ABC| = |A||B||C|$$ 。

🔄 举一反三

若 $$A$$ 为 3 阶矩阵且 $$|A|=2$$ ，求 $$|(A^*)^*|$$ 。
查看练习答案与解析
答案：16。解析： $|(A^*)^*| = |A|^{(n-1)^2} = 2^{(2)^2} = 2^4 = 16$ 。

计算 5 阶行列式 $D_{5} = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 5 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 5 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 5 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 \end{vmatrix}$ 。（8 分）

查看答案与解析

答案：665

详细推导：这是一个三对角行列式。记 $$n$$ 阶行列式为 $$D_n$$ 。

建立递推关系：按第一列展开： $D_{n} = 5 D_{n-1} - 2 \begin{vmatrix} 3 & 0 & \dots \\ 2 & 5 & \dots \\ 0 & 2 & \dots \end{vmatrix}$ 对展开后的第二项再按第一行展开：得 $D_{n} = 5 D_{n-1} - 2 \cdot 3 \cdot D_{n-2} = 5 D_{n-1} - 6 D_{n-2}$ 。
计算初始项： $$D_1 = |5| = 5$$ 。 $D_2 = \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 25 - 6 = 19$ 。
依次计算各阶： $$D_3 = 5 D_2 - 6 D_1 = 5(19) - 6(5) = 95 - 30 = 65$$ 。 $$D_4 = 5 D_3 - 6 D_2 = 5(65) - 6(19) = 325 - 114 = 211$$ 。 $$D_5 = 5 D_4 - 6 D_3 = 5(211) - 6(65) = 1055 - 390 = 665$$ 。

难度: ⭐⭐ 考点: #三对角行列式 #递推法

思路分析

递推法是求解高阶三对角行列式的标准套路。注意计算 $$D_1$$ 和 $$D_2$$ 时要准确，因为后续所有项都依赖这两项。

易错点

展开过程中忽略符号变化（特别是第二步展开时的负号）。
递推计算各阶 $$D_n$$ 时出现代数错误。

💡 学习锦囊

📖 相关公式: 对于三对角行列式 $\text{tri}(a, b, c)$ ，其递推式为 $D_n = b D_{n-1} - ac D_{n-2}$ 。其通解公式（当特征方程有不等根时）： $$D_n = C_1 x_1^n + C_2 x_2^n$$ 。

🔄 举一反三

用特征方程法验证本题：本题特征方程为 $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ 。
查看练习答案与解析
解析：方程根为 $$x_1=2, x_2=3$$ 。通解 $$D_n = C_1 2^n + C_2 3^n$$ 。带入 $$D_1=5, D_2=19$$ 得 $$C_1=-2, C_2=3$$ 。则 $D_5 = -2 \cdot 2^5 + 3 \cdot 3^5 = -64 + 729 = 665$ 。一致。

求向量组 $\alpha_{1} = (1, -1, 2, 4)^{T}, \alpha_{2} = (0, 3, 1, 2)^{T}, \alpha_3 = (1, -1, 2, 0)^T, \alpha_4 = (2, 1, 5, 6)^T$ 的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示。（8 分）

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答案：

极大线性无关组为： $\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\}$
线性表示为： $\alpha_{4} = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$

详细推导：

构造矩阵：将向量作为列向量构造矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$ ： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 5 \\ 4 & 2 & 0 & 6 \end{pmatrix}$
第一阶段初等行变换：
- $$r_2+r_1, r_3-2r_1, r_4-4r_1$$ （消去第一列主元下方的项）： $\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -4 & -2 \end{pmatrix}$
第二阶段初等行变换：
- $r_2 \div 3$ （使第二行主元归一）： $\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -4 & -2 \end{pmatrix}$
- $$r_3-r_2, r_4-2r_2$$ （消去第二列主元下方的项）： $\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & -4 \end{pmatrix}$
第三阶段初等行变换：
- $r_3 \leftrightarrow r_4$ （换行，使阶梯形明显）： $\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
- $r_3 \div -4$ （第三行归一）： $\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1-r_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
结论：
- 首非零元所在列为第 1, 2, 3 列，故 $\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\}$ 是一个极大线性无关组。
- 最后一列系数 $$(1, 1, 1)^T$$ 对应前三列的倍数，故 $\alpha_{4} = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$ 。

难度: ⭐⭐ 考点: #极大线性无关组 #初等行变换 #线性表示

思路分析

将向量按列排列，仅使用行变换化为阶梯形。阶梯形中主元所在的原始列即为极大无关组。

易错点

混淆行变换与列变换。求列向量组极大无关组时，严禁使用列变换，否则会破坏线性表示关系。
选取极大无关组时，没有对应回原始向量，而是选取了变换后的单位向量。

💡 学习锦囊

关键步骤

将向量按列排列。
仅使用行变换化为阶梯形。
阶梯形中主元所在的原始列即为极大无关组。
最后一列在最简行矩阵下的系数就是线性表示的系数。

🔄 举一反三

若最后一行全是 0，说明什么？
查看练习答案与解析
答案：线性相关。解析：说明矩阵的秩小于行数，对向量组而言，意味着向量组的秩小于向量的维数。

设 $\alpha_{0}$ 是非齐次方程组 $$Ax = b$$ 的一个解， $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{r}$ 是 $$Ax = 0$$ 的基础解系，证明：向量组 $\alpha_{0}, \alpha_{1}, \dots, \alpha_{r}$ 线性无关。（10 分）

查看答案与解析

证明：

反证法/定义法：设有常数 $k_{0}, k_{1}, \dots, k_{r}$ 使得： $k_{0}\alpha_{0} + k_{1}\alpha_{1} + \dots + k_{r}\alpha_{r} = \mathbf{0}$
两边左乘矩阵 $$A$$ ： $A(k_{0}\alpha_{0} + k_{1}\alpha_{1} + \dots + k_{r}\alpha_{r}) = A\mathbf{0} = \mathbf{0}$ 根据线性性质： $k_{0}(A\alpha_{0}) + k_{1}(A\alpha_{1}) + \dots + k_{r}(A\alpha_{r}) = \mathbf{0}$
利用已知条件代入：已知 $A\alpha_{0} = b$ ，且 $\alpha_{1}, \dots, \alpha_{r}$ 是齐次方程组的解，即 $A\alpha_{i} = \mathbf{0}$ 。代入得： $k_{0}b + \mathbf{0} + \dots + \mathbf{0} = \mathbf{0}$ ，即 $k_{0}b = \mathbf{0}$ 。
判定 $$k_0$$ ：由于非齐次方程组 $$Ax = b$$ 存在解 $\alpha_0$ ，则 $b \neq \mathbf{0}$ 。从而必须有 $k_{0} = 0$ 。
判定其余系数：将 $k_{0} = 0$ 代回原方程，得 $k_{1}\alpha_{1} + \dots + k_{r}\alpha_{r} = \mathbf{0}$ 。由于 $\alpha_{1}, \dots, \alpha_{r}$ 是基础解系，其各向量线性无关。故 $k_{1} = k_{2} = \dots = k_{r} = 0$ 。
结论：所有系数均为 0，故向量组 $\alpha_{0}, \alpha_{1}, \dots, \alpha_{r}$ 线性无关。

难度: ⭐⭐ 考点: #线性无关证明 #基础解系 #非齐次线性方程组解的结构

思路分析

证明向量组线性无关的通用方法是：先列出组合式等于零向量，然后通过已知条件（如左乘矩阵、利用无关性定义等）推导出系数全为零。

易错点

忽略 $b \neq \mathbf{0}$ 这一判定 $$k_0=0$$ 的关键条件。
忘记基础解系本身是线性无关的这一既定结论。

💡 学习锦囊

证明套路

证明向量组线性无关的通用方法是：先列出组合式等于零向量，然后通过已知条件（如左乘矩阵、利用无关性定义等）推导出系数全为零。

已知向量组 $\alpha_1 = (1, 2, -1)^T, \alpha_2 = (-1, a, 1)^T, \alpha_3 = (-1, 1, a)^T, \beta = (2, a, -2)^T$ 。试问当 $$a$$ 满足什么条件时： (1) $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 唯一线性表示； (2) $\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示； (3) $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，但表示式不唯一，并写出表示式。（12 分）

查看答案与解析

答案：

(1) 当 $a \neq -2, 1$ 时，唯一线性表示。
(2) 当 $$a = -2$$ 时，不能表示。
(3) 当 $$a = 1$$ 时，表示式不唯一。表示式为： $\beta = \alpha_1 + (-1-t)\alpha_2 + t\alpha_3$ （ $$t$$ 为任意常数）。

详细推导：构造增广矩阵 $(A|\beta)$ 并进行初等行变换：

(A|\beta) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 2 \\ 2 & a & 1 & | & a \\ -1 & 1 & a & | & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1, r_3+r_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 2 \\ 0 & a+2 & 3 & | & a-4 \\ 0 & 0 & a-1 & | & 0 \end{pmatrix}

唯一表示：需 $R(A) = R(A|\beta) = 3$ ，即 $a+2 \neq 0$ 且 $a-1 \neq 0$ 。得 $a \neq -2$ 且 $a \neq 1$ 。
不能表示：需 $R(A) < R(A|\beta)$。
- 当 $$a = -2$$ 时，矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 3 & | & -6 \\ 0 & 0 & -3 & | & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3+r_2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 3 & | & -6 \\ 0 & 0 & 0 & | & -6 \end{pmatrix}$ 。 $R(A)=2, R(A|\beta)=3$ ，故无解。
表示但不唯一：需 $R(A) = R(A|\beta) < 3$。
- 当 $$a = 1$$ 时，矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 3 & 3 & | & -3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 \div 3, r_1+r_2'} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$ 。 $R(A)=R(A|\beta)=2 < 3$ ，有无穷多表示。设 $\beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3$ ，由最简行矩阵得： $$x_1 = 1, x_2 + x_3 = -1$$ 。令 $$x_3 = t$$ ，则 $$x_2 = -1-t$$ 。表示式为： $\beta = \alpha_1 + (-1-t)\alpha_2 + t\alpha_3$ 。

难度: ⭐⭐⭐ 考点: #线性表示 #含参数线性方程组 #初等行变换

思路分析

$\beta$ 能否由 $\alpha_i$ 表示等价于 $Ax = \beta$ 是否有解。通过对增广矩阵进行行变换，讨论秩的关系来确定 $$a$$ 的取值范围。

易错点

在讨论参数 $$a$$ 时，漏掉导致分母为 0 或秩发生突变的特殊点。
写线性表示式时，忘记包含自由变量 $$t$$ 。

已知二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = ax_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} - 2x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{3}$ 在正交变换 $$x = Qy$$ 下的标准形为 $2y_{1}^{2} + 2y_{2}^{2} - 3y_{3}^{2}$ 。 (1) 求参数 $$a$$ ； (2) 求所用的正交变换矩阵 $$Q$$ 。（12 分）

查看答案与解析

答案：

(1) $$a = 1$$
(2) $Q = \begin{pmatrix} 0 & 2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \end{pmatrix}$ （注：Q 的答案不唯一，列向量组需正交且为单位向量）

详细推导：

求 $$a$$ ：二次型矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ 。因为正交变换不改变特征值，由标准形知特征值为 $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = -3$ 。利用迹相等： $\text{tr}(A) = a + 2 + (-2) = a$ 。特征值之和： $$2 + 2 + (-3) = 1$$ 。故 $$a = 1$$ 。
求 $$Q$$ ： $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$。
- 对于 $\lambda = 2$ ： $(2E - A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3+2r_1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。得基础解系 $\xi_1 = (0, 1, 0)^T, \xi_2 = (2, 0, 1)^T$。 施密特正交化过程：
  1. 取 $\eta_1 = \xi_1 = (0, 1, 0)^T$ 。
  2. 取 $\eta_2 = \xi_2 - \frac{(\xi_2, \eta_1)}{(\eta_1, \eta_1)}\eta_1$ 。由于 $(\xi_2, \eta_1) = 2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$ ，故 $\eta_2 = \xi_2 = (2, 0, 1)^T$ 。 单位化： $\gamma_1 = (0, 1, 0)^T$ 。 $\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{4+0+1}}(2, 0, 1)^T = \frac{1}{\sqrt{5}}(2, 0, 1)^T$ 。
- 对于 $\lambda = -3$ ： $(-3E - A) = \begin{pmatrix} -4 & 0 & -2 \\ 0 & -5 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1-2r_2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 。得特征向量 $\xi_3 = (1, 0, -2)^T$ 。 单位化： $\gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{1+0+4}}(1, 0, -2)^T = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 0, -2)^T$ 。
构造 $$Q$$ ： $Q = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3) = \begin{pmatrix} 0 & 2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \end{pmatrix}$ 。

难度: ⭐⭐⭐ 考点: #二次型正交变换 #特征向量 #施密特正交化

思路分析

重根的处理是关键：当特征值有重根时，若求出的特征向量不相互正交，必须进行施密特正交化。同时需确保 $$Q$$ 的列向量为单位向量。

易错点

对重特征值对应的特征向量忘记进行正交化。
计算施密特正交化时，内积计算错误或投影分量减错。

设 $$A$$ 为 2 阶矩阵, $P = (\alpha, A\alpha)$ , 其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $$A$$ 的特征向量。 (1) 证明 $$P$$ 是可逆矩阵； (2) 若 $A^2\alpha + A\alpha - 6\alpha = 0$ , 求 $P^{-1}AP$ , 并判断 $$A$$ 是否可以相似于对角矩阵。（6 分）

查看答案与解析

答案：

(1) 见解析（线性无关证明）
(2) $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ ； $$A$$ 可以相似对角化。

详细推导：

证明 $$P$$ 可逆：只需证明 $\alpha, A\alpha$ 线性无关。设有 $k_1\alpha + k_2 A\alpha = \mathbf{0}$。
- 若 $k_2 \neq 0$ ，则 $A\alpha = -\frac{k_1}{k_2}\alpha$ ，这说明 $\alpha$ 是 $$A$$ 的特征向量，与题设矛盾。
- 故 $$k_2 = 0$$ ，从而 $k_1\alpha = \mathbf{0}$ 。
- 又 $\alpha$ 为非零向量，故 $$k_1 = 0$$ 。组合系数全为 0，故 $\alpha, A\alpha$ 线性无关，矩阵 $$P$$ 可逆。
求 $P^{-1}AP$ ： $AP = A(\alpha, A\alpha) = (A\alpha, A^2\alpha)$ 。由已知 $A^2\alpha = -A\alpha + 6\alpha$ ，代入得： $AP = (A\alpha, 6\alpha - A\alpha) = (\alpha, A\alpha) \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ 。因为 $$P$$ 可逆，故 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ 。
判断对角化：矩阵 $$A$$ 相似于 $B = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ 。 $$B$$ 的特征多项式为 $|\lambda E - B| = \begin{vmatrix} \lambda & -6 \\ -1 & \lambda+1 \end{vmatrix} = \lambda(\lambda+1) - 6 = \lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda+3)(\lambda-2)$ 。特征值为 $\lambda_1 = -3, \lambda_2 = 2$ 。因为 $$A$$ 具有两个互异的特征值，故 $$A$$ 可以相似于对角矩阵。

难度: ⭐⭐⭐ 考点: #矩阵相似对角化 #特征向量 #向量组无关证明

思路分析

构造 $P = (\alpha, A\alpha)$ 是建立抽象矩阵 $$A$$ 与具体数值矩阵 $$B$$ 联系的通用桥梁。通过特征多项式判断对角化条件。

易错点

证明 $$P$$ 可逆时，逻辑不够严密，漏掉 $\alpha \neq \mathbf{0}$ 的说明。
在判定对角化时，没有检查特征值是否互异或几何重度是否等于代数重度。

《线性代数》期末试卷 (精选12) ​

一、选择题（每题 3 分，共 18 分） ​

二、填空题（每题 3 分，共 18 分） ​

三、计算题（共 64 分） ​

《线性代数》期末试卷 (精选12)

一、选择题（每题 3 分，共 18 分）

二、填空题（每题 3 分，共 18 分）

三、计算题（共 64 分）