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《概率论与数理统计》第二学期期末试卷A (精选03)
一、填空题（每题3分，共15分）
- 设 $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{4}, \quad P(AB) = 0, \quad P(BC) = P(AC) = \frac{1}{6}$，则事件 $A, B, C$ 都不发生的概率为 ______。
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答案： $\frac{7}{12}$
解析：
本题考查利用加法公式计算多个事件的概率。
第一步：分析求解目标
“事件 $A,B,C$ 都不发生” 的概率记为 $P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})$。根据对立事件的性质，有：
第二步：应用概率加法公式
对于三个事件，其并集的概率公式为：
第三步：代入已知条件
由于 $P(AB) = 0$，而 $ABC \subset AB$，因此有 $0 \le P(ABC) \le P(AB) = 0 \implies P(ABC) = 0$。 代入公式计算：
第四步：求出最终结果
难度: ⭐⭐
考点: #加法公式 #对立事件 #概率性质
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📖 相关公式与知识点:
- $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$
- 对立事件：$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
思路分析
看到“都不发生”首先联想到利用德·摩根定律转化为“至少有一个发生”的对立事件；另外注意隐含条件 $P(AB)=0 \implies P(ABC)=0$。
🔄 举一反三
- 设 $P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.1$，求 $A,B$ 至少有一个发生的概率。
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答案：$0.6$
解析：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6$。
- 随机变量 $T$ 在 $[0, 6]$ 上服从均匀分布，则方程 $x^2 + Tx + 1 = 0$ 有实根的概率为 ______。
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答案： $\frac{2}{3}$
解析：
本题考查连续型随机变量函数的概率计算，实质上涉及几何概型。
第一步：分析方程有实根的条件
一元二次方程 $x^2 + Tx + 1 = 0$ 有实根，当且仅当其判别式满足：
解得 $T \ge 2$ 或 $T \le -2$。
第二步：结合随机变量取值范围
已知随机变量 $T \sim U[0, 6]$，即 $T$ 的取值区间为 $[0, 6]$。 由于 $T \ge 0$，因此有实根的有效区域为 $T \in [2, 6]$。
第三步：计算概率
根据均匀分布的概率计算公式（几何测度之比）：
难度: ⭐
考点: #均匀分布 #几何概型 #判别式
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📖 相关公式与知识点:
- 若 $X \sim U[a, b]$，则对于 $[c, d] \subset [a, b]$，有 $P(c \le X \le d) = \frac{d - c}{b - a}$。
易错点
在解不等式 $T^2 \ge 4$ 时，务必注意要与 $T$ 的实际定义域 $[0, 6]$ 取交集，不要直接漏掉约束条件。
🔄 举一反三
- 随机变量 $X \sim U[1, 5]$，求方程 $t^2 + Xt + 1 = 0$ 没有实根的概率。
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答案：$\frac{1}{4}$
解析：无实根需 $\Delta = X^2 - 4 < 0 \implies -2 < X < 2$。已知 $X \in [1, 5]$，则有效区间为 $1 \le X < 2$。概率为 $\frac{2 - 1}{5 - 1} = \frac{1}{4}$。
- 随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，且 $E[(X - 1)(X - 2)] = 1$，则 $\lambda =$ ______。
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答案： $1$
解析：
本题考查泊松分布的数字特征，包括期望和方差的性质应用。
第一步：展开期望内部的代数式
第二步：回顾泊松分布的数字特征
若 $X \sim P(\lambda)$，则：
- 期望：$E[X] = \lambda$
- 方差：$D[X] = \lambda$ 利用方差公式 $D[X] = E[X^2] - (E[X])^2$，可以求得二阶矩：
第三步：代入已知等式求解
将数字特征代入第一步展开的式子：
因式分解得 $(\lambda - 1)^2 = 0$，解得 $\lambda = 1$。
难度: ⭐⭐
考点: #泊松分布 #数学期望 #二阶矩
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 泊松分布性质：$E[X] = D[X] = \lambda$
- 方差基本公式转换：$E[X^2] = D[X] + (E[X])^2$
🔄 举一反三
- 设 $X \sim P(\lambda)$，已知 $P(X=0) = e^{-2}$，求 $E[X]$。
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答案：$2$
解析：$P(X=0) = \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!} = e^{-\lambda} = e^{-2} \implies \lambda = 2$。泊松分布的期望为 $\lambda = 2$。
- 设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布 $Exp(\lambda)$，$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则 $D\overline{X} =$ ______。
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答案： $\frac{1}{n\lambda^2}$
解析：
本题考查独立样本均值的方差性质以及指数分布的数字特征。
第一步：确定总体的方差
对于指数分布 $Exp(\lambda)$（采用通常的概率密度 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x>0$），其：
- 期望：$E[X] = \frac{1}{\lambda}$
- 方差：$D[X] = \frac{1}{\lambda^2}$
第二步：应用样本均值的方差性质
由于 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是独立同分布的随机样本，其样本均值为 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$。 根据方差的性质：
第三步：计算最终结果
将 $D[X] = \frac{1}{\lambda^2}$ 代入：
难度: ⭐
考点: #指数分布 #样本均值 #方差性质
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📖 相关公式与知识点:
- $D[aX] = a^2 D[X]$
- 独立变量和的方差：$D\left(\sum X_i\right) = \sum D[X_i]$
🔄 举一反三
- 设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, \ldots, X_n$ 是其样本，求 $D\overline{X}$。
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答案：$\frac{\sigma^2}{n}$
解析：$D\overline{X} = \frac{D[X]}{n} = \frac{\sigma^2}{n}$。
- 设 $X_1, X_2, \ldots, X_{16}$ 是来自总体 $X \sim N(4, \sigma^2)$ 的简单随机样本，$\sigma^2$ 已知，令 $\overline{X} = \frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16} X_i$，则统计量 $\frac{4\overline{X} - 16}{\sigma}$ 服从分布为 ______（必须写出分布的参数）。
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答案： $N(0, 1)$
解析：
本题考查样本均值的正态分布性质以及标准正态分布的转化。
第一步：确定 $\overline{X}$ 的分布
因为 $X_i \sim N(4, \sigma^2)$，所以样本均值也服从正态分布：
第二步：推导 $4\overline{X}$ 的分布
令 $Y = 4\overline{X}$，根据正态分布的线性组合性质：
- 均值：$E[4\overline{X}] = 4 \cdot E[\overline{X}] = 4 \times 4 = 16$
- 方差：$D[4\overline{X}] = 4^2 \cdot D[\overline{X}] = 16 \times \frac{\sigma^2}{16} = \sigma^2$ 即：$$4\overline{X} \sim N(16, \sigma^2)$$
第三步：标准化
统计量 $\frac{4\overline{X} - 16}{\sigma}$ 正是由均值为 $16$、标准差为 $\sigma$ 的正态变量减去均值并除以标准差得到的。 因此，该统计量服从标准正态分布：
难度: ⭐⭐
考点: #正态分布 #标准化 #样本均值特征
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📖 相关公式与知识点:
- 样本均值的分布性质：若 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
- 正态分布标准化公式：若 $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $\frac{Y-\mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
🔄 举一反三
- 设 $X_1, \ldots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$，求 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ 的分布。
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答案：$N(0, 1)$
解析：样本均值 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，标准化后即得标准正态分布。
二、选择题（每题3分，共15分）
- 以 $A$ 表示“概率考试及格，英语不及格”，则 $\overline{A}$ 表示（ ）
- A. 概率考试不及格，英语考试及格
- B. 概率英语考试都及格
- C. 概率英语考试都不及格
- D. 概率不及格或英语及格
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答案： D
解析：
本题考查事件的基本运算及德·摩根定律。
第一步：用字母定义基础事件
令 $J$ 表示“概率考试及格”，$E$ 表示“英语考试及格”。
第二步：列出事件 $A$ 的表达式
根据题意，事件 $A$ 发生代表概率及格且英语不及格，即：
第三步：利用对立事件与德·摩根定律化简
第四步：文字翻译
$\overline{J} \cup E$ 代表“概率考试不及格（$\overline{J}$）” 或（$\cup$） “英语考试及格（$E$）”。 因此，正确选项为 D。
难度: ⭐
考点: #事件运算 #德·摩根定律
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📖 相关公式与知识点:
- 德·摩根定律：$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
易错点
不要凭主观直觉简单将文字反义化（如误选 A），必须严格按照符号运算法则进行推导。
🔄 举一反三
- 若事件 $A$ 表示“两件产品中至少有一件是次品”，则 $\overline{A}$ 表示？
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答案：两件产品都是正品。
- 如果 $X \sim N(3, 16)$，且 $Y = 3X + 4$，则 $DY$ 等于（ ）
- A. 144
- B. 25
- C. 27
- D. 43
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答案： A
解析：
本题考查方差的性质以及线性变换对数字特征的影响。
第一步：识别已知的方差
正态分布记号通常为 $N(\mu, \sigma^2)$，已知 $X \sim N(3, 16)$，可知 $D[X] = 16$。
第二步：应用方差公式
根据方差的基本性质：$D[aX + b] = a^2 D[X]$。 代入题目中的参数：
因此，正确选项为 A。
难度: ⭐
考点: #正态分布参数 #方差的线性运算
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 随机变量线性变换的方差性质：$D[aX + b] = a^2 D[X]$
🔄 举一反三
- 设 $D[X] = 4$，求 $D[2X - 3]$ 的值。
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答案：$16$
解析：$D[2X - 3] = 2^2 \times D[X] = 4 \times 4 = 16$。
- 设 $X$ 服从参数为 $\lambda = \frac{1}{9}$ 的指数分布，$F(x)$ 为其分布函数，则 $P\{3 < X < 9\} = （\quad）$
- A. $F(1) - F\left(\frac{3}{9}\right)$
- B. $\frac{1}{9} \left( \frac{1}{\sqrt[3]{e}} - \frac{1}{e} \right)$
- C. $\frac{1}{\sqrt[3]{e}} - \frac{1}{e}$
- D. $\int_{0}^{9}e^{-x / 3}dx$
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答案： C
解析：
本题考查指数分布的分布函数及其区间概率的求解。
第一步：写出指数分布的分布函数
当 $X \sim Exp(\lambda)$ 时，其分布函数为：
本题中 $\lambda = \frac{1}{9}$，故 $F(x) = 1 - e^{-\frac{x}{9}}$。
第二步：利用分布函数计算区间概率
第三步：两式相减
因此，正确选项为 C。
难度: ⭐⭐
考点: #指数分布 #分布函数 #区间概率
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 指数分布的概率密度函数：$f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x > 0)$
- 指数分布的累积分布函数：$F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \quad (x \ge 0)$
🔄 举一反三
- 设 $X \sim Exp(1/2)$，求 $P\{X > 2\}$。
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答案：$e^{-1}$
解析：$P\{X > 2\} = 1 - P\{X \le 2\} = 1 - F(2) = 1 - (1 - e^{-1}) = e^{-1}$。
- $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{16}$ 是来自总体 $X \sim N(0, 1)$ 的独立同分布样本，设：$Z = \sum_{i=1}^{8} X_i^2, \quad Y = \sum_{i=9}^{16} X_i^2$ ，则 $\frac{Z}{Y} \sim （\quad）$
- A. $N(0,1)$
- B. $t(16)$
- C. $\chi^{2}(16)$
- D. $F(8,8)$
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答案： D
解析：
本题考查概率论中的三大抽样分布之一——F分布的定义。
第一步：分析 $Z$ 和 $Y$ 的分布
因为 $X_1, \ldots, X_{16}$ 均服从标准正态分布 $N(0,1)$ 且独立， 根据卡方分布的定义：
- $Z = \sum_{i=1}^8 X_i^2$ 服从自由度为 8 的卡方分布，记为 $Z \sim \chi^2(8)$。
- $Y = \sum_{i=9}^{16} X_i^2$ 也服从自由度为 8 的卡方分布，记为 $Y \sim \chi^2(8)$。 且 $Z$ 与 $Y$ 互不重叠，故两者独立。
第二步：根据F分布的定义判定
设 $U \sim \chi^2(m), V \sim \chi^2(n)$ 且两者独立，则统计量 $\frac{U/m}{V/n} \sim F(m, n)$。 代入本题：
故选 D。
难度: ⭐⭐
考点: #F分布 #卡方分布 #三大抽样分布
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $\chi^2$ 分布：独立标准正态变量的平方和
- $F$ 分布：$\frac{U/m}{V/n}$，其中 $U \sim \chi^2(m), V \sim \chi^2(n)$ 独立 ::: note 重要说明 本题原卷 OCR 识别有误漏写了求和号，考生需通过观察样本子集 $1\sim8$ 和 $9\sim16$ 判断出这其实是样本平方和。 :::
🔄 举一反三
- 设 $X \sim N(0,1), Y \sim \chi^2(n)$ 且独立，求统计量 $\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 的分布。
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答案：$t(n)$
解析：这是学生氏 t 分布的经典定义公式。
- 已知 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是来自总体的样本，则下列是统计量的是（ ）
- A. $X + \overline{X} + A$
- B. $\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$
- C. $\overline{X} + a + 10$
- D. $\frac{1}{3}\overline{X} + a\overline{X}_1 + 5$
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答案： B
解析：
本题考查统计量的基本概念。
第一步：回忆统计量的定义
统计量是样本的函数，且不包含任何未知的总体参数。
第二步：逐一排查选项
- A：包含 $X$，它通常表示总体变量，非样本。
- C、D：包含参数 $a$，若未指明它是已知常量，通常在数理统计中代表未知参数。
- B：$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n X_i = \frac{n}{n-1}\overline{X}$，该表达式仅包含样本观测值 $X_i$ 和已知常数系数，满足统计量定义。
因此，选 B。
难度: ⭐
考点: #统计量概念 #样本函数
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📖 相关公式与知识点:
- 统计量：设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是总体 $X$ 的一个样本，如果一个实值函数 $T(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ 不包含任何未知参数，则称 $T$ 为一个统计量。
🔄 举一反三
- 设总体均值 $\mu$ 未知，下列哪项是统计量？ A. $\sum_{i=1}^n X_i^2$, B. $\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$。
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答案：A
解析：B 选项由于含有未知参数 $\mu$，不能作为统计量。
三、计算题（每题10分，共70分）
- 已知一批产品中，合格品占 $90\%$，检查时一个合格品被认为是次品的概率为 $0.02$，而一个次品被认为是合格品的概率为 $0.05$。现在任取一件检查，求该产品被认为是合格品的概率。
查看答案与解析
答案： $0.887$
解析：
本题主要运用全概率公式进行求解。
第一步：设事件
- 令 $H$ 表示 “所抽取的这件产品实际是合格品”
- 令 $M$ 表示 “所抽取的这件产品实际是次品”
- 令 $C$ 表示 “经检验后这件产品被认为是合格品”
第二步：列出已知概率
- $P(H) = 0.9$
- $P(M) = 1 - P(H) = 0.1$
- 根据“合格品被误判为次品的概率为 $0.02$”：$P(\overline{C} | H) = 0.02 \implies P(C | H) = 1 - 0.02 = 0.98$
- 根据“次品被误判为合格品的概率为 $0.05$”：$P(C | M) = 0.05$
第三步：运用全概率公式计算
难度: ⭐⭐
考点: #全概率公式 #条件概率
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 全概率公式：$P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)$，其中 $B_1, \ldots, B_n$ 构成样本空间的一个划分。
思路分析
遇到两阶段的随机事件，第一阶段是产品本身的质量分布，第二阶段是检验手段的判别，求最终判别结果的概率时通常使用全概率公式。
🔄 举一反三
- 某城市下雨天堵车的概率为 $0.8$，晴天堵车的概率为 $0.2$。该城市有 $30\%$ 的天气是雨天。求任意一天发生堵车的概率。
查看练习答案与解析
答案：$0.38$
解析：$P(\text{堵车}) = P(\text{堵车}|\text{雨})P(\text{雨}) + P(\text{堵车}|\text{晴})P(\text{晴}) = 0.8 \times 0.3 + 0.2 \times 0.7 = 0.24 + 0.14 = 0.38$。
- 现有4只晶体管，其中3只是正品，1只是次品。从中随机地一只一只取出做测试，取出后不放回，直到次品被测试出为止。 $X$ 表示测试的次数，求其分布列和分布函数。
查看答案与解析
答案： 分布列如下：
| $X$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | 1/4 | 1/4 | 1/4 | 1/4 |
分布函数为：
解析：
本题考查不放回抽样下的随机变量分布规律。
第一步：分析 $X$ 的可能取值
因为总共有 $4$ 只管子，次品仅 $1$ 只，故测试次数 $X$ 可能为 $1, 2, 3, 4$。
第二步：计算每个取值的概率
- $X=1$：第一次就抽到次品。$P(X=1) = \frac{1}{4}$
- $X=2$：第一次正品，第二次次品。$P(X=2) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$
- $X=3$：前两次正品，第三次次品。$P(X=3) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
- $X=4$：前三次正品，第四次必为次品。$P(X=4) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4}$
第三步：写出分布函数
依据 $F(x) = P(X \le x)$ 的定义累加求得如答案所示的分段函数。
难度: ⭐⭐
考点: #离散型随机变量 #分布列 #分布函数
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 概率累加性质（分布列）：$\sum P(X = x_i) = 1$
- 累积分布函数定义：$F(x) = P(X \le x)$
易错点
求解离散随机变量的分布函数时，必须写成分段函数，且严格区分不等号的方向（左闭右开）。
🔄 举一反三
- 现有3个黑球，2个白球，无放回摸球直到摸出白球，设摸球次数为 $X$，求 $X$ 的分布列。
查看练习答案与解析
答案：$X$ 的分布列如下：
$X$ 1 2 3 4 $P$ 2/5 3/10 1/5 1/10 解析：
- $P(X=1) = \frac{2}{5}$（第一次直接抽中白球）
- $P(X=2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$（第一黑第二白）
- $P(X=3) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{5}$（前二黑第三白）
- $P(X=4) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{1}{10}$（前三黑第四白）
- 设随机变量X在区间[1，6]上服从均匀分布，现在对X进行3次独立观察，求这3次观察中至少有两次观察值大于4的概率。
查看答案与解析
答案： $\frac{44}{125}$
解析：
本题是典型的连续分布与二项分布的交叉考查。
第一步：计算单次观察值大于 4 的概率
已知 $X \sim U[1, 6]$，则：
第二步：建立二项分布模型
3次独立观察可视作独立重复的伯努利试验。设 $Y$ 为“观察值大于 4 的次数”，则 $Y \sim B\left(3, \frac{2}{5}\right)$。
第三步：计算目标概率
“至少有两次大于 4” 代表 $Y=2$ 或 $Y=3$。
最终概率为 $\frac{36 + 8}{125} = \frac{44}{125}$。
难度: ⭐⭐
考点: #二项分布 #均匀分布 #伯努利试验
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 二项分布公式：若 $Y \sim B(n, p)$，则 $P(Y=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$。
🔄 举一反三
- 某射手命中率为 $0.6$，独立射击 $4$ 次，求至少击中 $3$ 次的概率。
查看练习答案与解析
答案：$0.4752$
解析：$P(Y \ge 3) = P(Y=3) + P(Y=4) = \binom{4}{3}(0.6)^3(0.4) + (0.6)^4 = 0.3456 + 0.1296 = 0.4752$。
- 据统计，某高校去年大学生中拥有手机的比率为 $45\%$。现对 400 名学生调查其拥有手机情况，发现其中有 196 名学生拥有手机。试在 $\alpha = 0.05$ 水平下检验拥有手机的学生比率是否有显著增加。 $(Z_{0.05} = 1.645, Z_{0.025} = 1.96, \sqrt{0.2475} = 0.4975)$。
查看答案与解析
答案： 检验结果表明拥有手机的学生比率没有显著增加。
解析：
本题考查单个正态总体比例的单侧假设检验。
第一步：建立假设
- 原假设 $H_0: p \le 0.45$
- 备择假设 $H_1: p > 0.45$
第二步：确定检验统计量及计算
在大样本情况下，采用 $Z$ 统计量进行检验：
已知样本比率 $\hat{p} = \frac{196}{400} = 0.49$，样本容量 $n = 400$，$p_0 = 0.45$。
第三步：判断及结论
在 $\alpha=0.05$ 的单尾检验中，拒绝域为 $Z > Z_{0.05} = 1.645$。 因为 $1.608 < 1.645$，检验统计量落入接受域。 因此在显著性水平 $0.05$ 下不拒绝原假设，即手机拥有比率没有显著增加。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #单侧检验 #比率检验 #假设检验
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 样本比率的抽样分布：大样本下 $\hat{p} \approx N\left(p_0, \frac{p_0(1-p_0)}{n}\right)$
- 比例检验统计量：$Z = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$
思路分析
仔细审题判断出这是“显著增加”还是“显著变化”。前者需使用右侧单尾检验，判定临界值时须采用 $Z_{0.05}$ 而非 $Z_{0.025}$。
🔄 举一反三
- 某厂生产的零件合格率为 90%。现随机抽取 100 件，发现 85 件合格。在 $\alpha=0.05$ 的水平下，检验合格率是否显著降低。($Z_{0.05} = 1.645$)
查看练习答案与解析
答案：检验结果表明合格率显著降低。 解析：
- 建立假设：$H_0: p \ge 0.9, \quad H_1: p < 0.9$
- 计算统计量：$\hat{p} = 0.85$，检验值 $p_0 = 0.9$$$Z = \frac{0.85 - 0.9}{\sqrt{0.9 \times 0.1 / 100}} = \frac{-0.05}{0.03} \approx -1.667$$
- 决策依据：左侧单尾检验的临界值为 $-Z_{0.05} = -1.645$。 由于 $Z = -1.667 < -1.645$ 落入拒绝域，因此拒绝原假设 $H_0$，认为合格率有显著降低。
- 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为：
求：（1）参数A；（2） $X$ 和 $Y$ 的边缘分布并判断 $X$ 和 $Y$ 是否独立；（3） $P\{X\geq 1,Y\leq 0.5\}$。
查看答案与解析
答案： (1) $A = \frac{3}{2}$ (2) 独立。 边缘密度函数分别为：
(3) $P\{X\geq 1,Y\leq 0.5\} = \frac{3}{32}$
解析：
本题考查二维连续型随机变量的各项核心基础计算。
第一步：求解参数A
利用联合密度的全平面积分为 1：
第二步：求解边缘密度与独立性
- $f_X(x) = \int_0^1 \frac{3}{2}xy^2 dy = \frac{3}{2}x \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^1 = \frac{x}{2}$，取值在 $0 < x < 2$。
- $f_Y(y) = \int_0^2 \frac{3}{2}xy^2 dx = \frac{3}{2}y^2 \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 3y^2$，取值在 $0 < y < 1$。 显然 $f_X(x)f_Y(y) = \frac{x}{2} \times 3y^2 = \frac{3}{2}xy^2 = f(x, y)$，故两者独立。
第三步：计算复合概率
由于独立，可分别积分相乘：
难度: ⭐⭐⭐
考点: #边缘概率密度 #联合概率密度 #随机变量独立性
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 边缘概率密度：$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy$
- 随机变量独立性充要条件：$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$
🔄 举一反三
- 若 $f(x,y)=C$ 在矩形 $0<x<1, 0<y<2$ 内，求 $C$。
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答案：$0.5$
解析：$\int_0^1 \int_0^2 C dy dx = 1 \implies 2C = 1 \implies C = 0.5$。
- 已知某随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，设 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 是子样观察值，求 $\lambda$ 的极大似然估计和矩估计。
查看答案与解析
答案： 极大似然估计与矩估计的结果均为 $\hat{\lambda} = \frac{1}{\overline{X}}$（此处基于密度 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$）。
解析：
本题考查点估计理论中的两大核心估计方法。
第一步：矩估计 (MME)
由总体 $X$ 服从 $Exp(\lambda)$，其总体期望（一阶原点矩）为：
设样本一阶矩为 $\overline{X}$。建立方程 $\mu_1 = \overline{X} \implies \frac{1}{\lambda} = \overline{X}$。 解得矩估计量为 $\hat{\lambda}_{MME} = \frac{1}{\overline{X}}$。
第二步：极大似然估计 (MLE)
写出样本联合密度（似然函数）：
两边取对数：
对 $\lambda$ 求导并置零：
难度: ⭐⭐⭐
考点: #极大似然估计 #矩估计
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 矩估计核心思想：用样本矩代替总体矩，$E[X] = \overline{X}$。
- 极大似然估计原理：构建似然函数 $L(\theta) = \prod f(x_i; \theta)$，取对数后对 $\theta$ 求导并令其为 0 求解。
易错点
注意不同教材对指数分布参数设定的形式。若题目中定义 $E[X] = \lambda$（密度为 $\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}$），则最终两个估计结果均应为 $\hat{\lambda} = \overline{X}$。
🔄 举一反三
- 设 $X_1, \dots, X_n$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，其中 $\mu$ 未知，$\sigma^2$ 已知。求 $\mu$ 的极大似然估计。
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答案：$\hat{\mu}_{MLE} = \overline{X}$解析：
- 似然函数 $L(\mu) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(X_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$。
- 对数似然函数 $\ln L(\mu) = -n\ln(\sqrt{2\pi}\sigma) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i - \mu)^2$。
- 求导得 $\frac{d\ln L}{d\mu} = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu) = 0 \implies \sum X_i = n\mu \implies \hat{\mu} = \overline{X}$。
- 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取 6 个，测得直径为：14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1。已知原来直径服从 $N(\mu, 0.06)$，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定 $\alpha = 0.05, Z_{0.05} = 1.645, Z_{0.025} = 1.96$。
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答案： 该天生产滚珠直径的 95% 置信区间为 $[14.754, 15.146]$。
解析：
本题考查单个正态总体在方差已知时求均值 $\mu$ 的置信区间。
第一步：计算样本均值
第二步：明确公式与参数
已知方差 $\sigma^2 = 0.06$，样本容量 $n = 6$，显著性水平 $\alpha = 0.05$。 在方差已知情况下，$\mu$ 的双侧置信区间公式为：
第三步：代入数值计算
由于 $\alpha=0.05$，查表（题目给定） $Z_{0.025} = 1.96$。 标准误差：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{0.06}}{\sqrt{6}} = \sqrt{0.01} = 0.1$。 误差限：$Z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times 0.1 = 0.196$。 置信下限：$14.95 - 0.196 = 14.754$。 置信上限：$14.95 + 0.196 = 15.146$。
难度: ⭐⭐
考点: #置信区间 #区间估计
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📖 相关公式与知识点:
- 单个正态总体均值 $\mu$ 的双侧置信区间（$\sigma^2$ 已知）：$\left[\overline{x} - Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$。
🔄 举一反三
- 若题目条件变为总体方差未知，应使用什么统计量求解区间估计？
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答案：$t$ 统计量（$t$ 分布）。