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《概率论与数理统计》第一学期期末试卷B (精选02)
一、填空题（每题3分，共15分）
- 一个产品须经过两道工序，每道工序产生次品的概率分别为0.3和0.2，则一个产品出厂后是次品的概率为________。
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答案：0.44
解析： 本题考查对立事件与独立事件的概率计算。
第一步：定义事件 设事件 $A_1$ 为“第一道工序产生次品”，$P(A_1) = 0.3$。 设事件 $A_2$ 为“第二道工序产生次品”，$P(A_2) = 0.2$。 产品出厂后是次品，意味着至少有一道工序产生了次品，即求 $P(A_1 \cup A_2)$。
第二步：利用对立事件求解 “至少有一道工序产生次品”的对立事件是“两道工序均未产生次品（产品合格）”。 两道工序合格的概率为：
第三步：求对立事件概率
难度: ⭐
考点: #独立事件 #对立事件
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📖 相关公式与知识点:
- $P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A})P(\overline{B})$ （$A, B$ 独立时）
思路分析
遇到“至少”或多工序累加问题，优先考虑对立事件。
🔄 举一反三
- 某系统由 3 个独立工作的元件串联而成，失效率均为 0.1，求系统失效概率。
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答案：0.271
解析：系统正常概率 $0.9^3 = 0.729$，失效概率 $1 - 0.729 = 0.271$。
- 设随机变量的密度函数为 $f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-3x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$ ，则 $\lambda =$ ________。
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答案：3
解析： 本题考查概率密度的规范性。
第一步：列出规范性方程 根据概率密度函数的性质，全空间积分必须为 1：
第二步：代入积分
解得 $\lambda = 3$。
难度: ⭐
考点: #概率密度性质
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📖 相关公式与知识点:
- 指数分布 $E(\alpha)$ 的密度为 $\alpha e^{-\alpha x} \ (x>0)$。
🔄 举一反三
- $f(x) = kx \ (0<x<2)$，求 $k$。
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答案：$1/2$
解析：$\int_0^2 kx dx = 2k = 1 \implies k = 1/2$。
- 已知 $X \sim N(1, 9)$ , 则 $X$ 的标准差为 ________。
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答案：3
解析： 正态分布记法为 $N(\mu, \sigma^2)$。 这里 $\sigma^2 = 9$，故标准差 $\sigma = \sqrt{9} = 3$。
难度: ⭐
考点: #正态分布
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📖 相关公式与知识点:
- 正态分布记法 $N(\mu, \sigma^2)$，第二个参数是方差，标准差为 $\sigma$。
思路分析
直接取方差的平方根即可。
🔄 举一反三
- $X \sim N(0, 16)$，求标准差。
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答案：4
- 已知 $X \sim N(2, 4)$ ， $Y$ 服从标准正态， $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $P\{X + Y \geq 2\} =$ ________。
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答案：0.5
解析： 本题考查正态分布的线性组合与对称性。
第一步：确定 $X+Y$ 的分布 由于 $X, Y$ 独立，其线性组合仍服从正态分布。
故 $X+Y \sim N(2, 5)$。
第二步：标准化求解概率
其中 $Z \sim N(0,1)$。根据标准正态分布的对称性，$P(Z \geq 0) = 0.5$。
难度: ⭐⭐
考点: #正态分布组合 #对称性
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📖 相关公式与知识点:
- 独立正态变量之和仍为正态：$X+Y \sim N(\mu_X+\mu_Y, \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$
- 标准正态对称性：$P(Z \geq 0) = 0.5$
思路分析
先求 $X+Y$ 的分布参数，再标准化后利用对称性。
🔄 举一反三
- $X \sim N(1,1), Y \sim N(1,1)$ 独立，求 $P(X+Y \geq 2)$。
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答案：0.5
- 设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ，而 1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 是从总体 $X$ 中抽取的样本，则 $\mu$ 的矩估计值为 ________。
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答案：1.71
解析： 矩估计法中，总体均值 $\mu$ 的矩估计量即为样本均值 $\bar{X}$。
难度: ⭐
考点: #矩估计
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📖 相关公式与知识点:
- 矩估计法：用样本矩代替总体矩
- $\mu$ 的矩估计 = 样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum X_i$
思路分析
直接计算样本均值即可。
🔄 举一反三
- 样本值 2, 3, 4, 5，求均值的矩估计。
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答案：3.5
二、选择题（每题3分，共15分）
- 设 $A,B,C$ 为任意三个随机事件，则下列命题正确的是（ ）
- A. $(A \cup B) - B = A - B$
- B. $(A - B) \cup B = A$
- C. $(A \cup B) - C = (A - C) \cup B$
- D. $A B = A \overline{B} \cup \overline{A} B$
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答案：A
解析： 利用事件运算的分配律：
故 A 正确。
难度: ⭐⭐
考点: #事件运算
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📖 相关公式与知识点:
- $(A \cup B) - B = (A \cup B) \cap \overline{B} = A \cap \overline{B} = A - B$
思路分析
利用差运算的定义 $(A-B = A \cap \overline{B})$ 和分配律展开验证。
🔄 举一反三
- 验证 $(A \cap B) \cup (A - B) = A$。
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答案：成立。$A \cap B \cup A \cap \overline{B} = A \cap (B \cup \overline{B}) = A$。
- 下列数组中可以作为离散型随机变量 $X$ 的分布列的有( )
- A. $P, P^2$ ($P$ 为任意实数)
- B. $0.1, 0.2, 0.3, 0.4$
- C. $\frac{2^n}{n!} \ (n = 0,1,2)$
- D. $P, 1 - P \ (|P|<1)$
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答案：B
解析： 离散型分布列必须满足：1. 各项概率非负；2. 各项概率之和为 1。 B 选项：$0.1+0.2+0.3+0.4 = 1$，且均大于零。
难度: ⭐
考点: #分布列
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📖 相关公式与知识点:
- 分布列条件：$P_i \geq 0$ 且 $\sum P_i = 1$
思路分析
逐一检查非负性和归一性。
🔄 举一反三
- 判断 $\{0.5, 0.3, 0.2\}$ 是否可作为分布列。
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答案：可以，和为 1 且均非负。
- 设连续型随机变量 $X$ 的密度函数有 $f(-x) = f(x)$ ， $F(x)$ 是 $X$ 的分布函数，则下列成立的有（ ）
- A. $F(-a) = F(a)$
- B. $F(-a) = \frac{1}{2} F(a)$
- C. $F(-a) = 1 - F(a)$
- D. $F(-a) = \frac{1}{2} - F(a)$
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答案：C
解析：
难度: ⭐⭐
考点: #分布函数对称性
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📖 相关公式与知识点:
- 偶函数密度：$f(-x) = f(x)$
- $F(-a) = \int_{-\infty}^{-a} f(x)dx = \int_a^{+\infty} f(x)dx = 1 - F(a)$
思路分析
利用偶函数性质做变量替换 $t = -x$。
🔄 举一反三
- $f(x)$ 为偶函数，求 $F(0)$。
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答案：$0.5$
- 设 $X_{1}, \dots, X_{8}$ 和 $Y_{1}, \dots, Y_{10}$ 分别来自两个相互独立的正态总体 $N(-1,2^{2})$ 和 $N(2,5)$ 的样本， $S_1^2$ 和 $S_2^2$ 分别是其样本方差，则下列服从 $F(7,9)$ 的统计量是（ ）
- A. $\frac{2S_1^2}{5S_2^2}$
- B. $\frac{5S_1^2}{4S_2^2}$
- C. $\frac{4S_1^2}{5S_2^2}$
- D. $\frac{5S_1^2}{2S_2^2}$
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答案：B
解析：$F$ 分布构造式：$F = \frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$。 代入参数 $\sigma_1^2 = 4, \sigma_2^2 = 5$ 得：
难度: ⭐⭐⭐
考点: #F分布
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📖 相关公式与知识点:
- $F = \frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$
思路分析
直接套用 F 分布构造公式，代入 $\sigma_1^2=4, \sigma_2^2=5$。
🔄 举一反三
- $n_1=10, n_2=12, \sigma_1^2=3, \sigma_2^2=2$，写出 F 统计量。
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答案：$\frac{2S_1^2}{3S_2^2} \sim F(9, 11)$
- 设总体 $X\sim N(\mu ,\sigma^2)$ ， $X_{1}, \dots, X_{n}$ 为抽取样本，则 $\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 是（ ）
- A. $\mu$ 的无偏估计
- B. $\sigma^2$ 的无偏估计
- C. $\mu$ 的矩估计
- D. $\sigma^2$ 的矩估计
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答案：D
解析： 样本二阶中心矩是总体方差的矩估计（通常是有偏的，无偏估计需除以 $n-1$）。
难度: ⭐⭐
考点: #参数估计
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📖 相关公式与知识点:
- 样本二阶中心矩 $\frac{1}{n}\sum(X_i - \bar{X})^2$ 是 $\sigma^2$ 的矩估计（有偏）
- $\sigma^2$ 的无偏估计是 $\frac{1}{n-1}\sum(X_i - \bar{X})^2$
思路分析
区分矩估计（除以 n）和无偏估计（除以 n-1）。
🔄 举一反三
- $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})^2$ 是什么估计？
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答案：$\sigma^2$ 的无偏估计。
三、计算题（每题10分，共70分）
- 某包装机包装物品重量服从正态分布 $N\left(\mu, 4^{2}\right)$ 。现在随机抽取 16 个包装袋，算得平均包装袋重为 $\bar{x} = 900$ , 样本均方差为 $S^{2} = 2$ , 试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化? ( $\alpha = 0.05$ ) $(\chi_{0.975}^{2}(15) = 6.262, \chi_{0.025}^{2}(15) = 27.488)$
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答案与解析：第一步：建立假设$H_0: \sigma^2 = 16$，$H_1: \sigma^2 \neq 16$。
第二步：计算检验统计量
第三步：做出决策 查表临界值为 $6.262$ 与 $27.488$。 因为 $\chi^2 = 1.875 < 6.262$，落在拒绝域内，故拒绝 $H_0$，方差有显著变化。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #卡方检验
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📖 相关公式与知识点:
- 方差检验统计量：$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$
- 双侧检验拒绝域：$\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}$ 或 $\chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}$
思路分析
建立假设 → 计算检验统计量 → 与临界值比较 → 做出决策。
🔄 举一反三
- $n=10, S^2=5, \sigma_0^2=4, \alpha=0.05$，检验方差是否有变化。
查看练习答案与解析
答案：$\chi^2 = 11.25$，查表比较后判断。
- 设某随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x) = \left\{ \begin{array}{cc}(\lambda +1)x^{\lambda} & 0 < x < 1\\ 0 & \text{其他} \end{array} \right.$ 求 $\lambda$ 的极大似然估计。
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答案与解析： 似然函数：$L(\lambda) = (\lambda+1)^n \left(\prod x_i\right)^\lambda$。 对数似然：$\ln L = n\ln(\lambda+1) + \lambda\sum\ln x_i$。 求导：$\frac{d\ln L}{d\lambda} = \frac{n}{\lambda+1} + \sum\ln x_i = 0$。 得 $\hat{\lambda}_{MLE} = -\frac{n}{\sum\ln x_i} - 1$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #极大似然估计
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📖 相关公式与知识点:
- 步骤：写似然函数 → 取对数 → 求导 → 解方程
思路分析
注意 $\prod x_i^\lambda = (\prod x_i)^\lambda$，求导时 $\frac{d}{d\lambda}(\lambda+1)^n = n(\lambda+1)^{n-1}$。
🔄 举一反三
- $f(x) = \theta x^{\theta-1} \ (0<x<1)$，求 $\theta$ 的 MLE。
查看练习答案与解析
答案：$\hat{\theta} = -\frac{n}{\sum \ln X_i}$
- 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布, 其中 $D$ 为 $y = x, y + x = 0, x = 1$ 围成，试求：（1） $X$ 和 $Y$ 的联合密度函数；（2） $X$ 和 $Y$ 的边缘分布，并讨论 $X$ 和 $Y$ 是否独立；（3）期望 $E(XY)$ 的值。
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答案与解析： (1) 区域 $D$ 面积为 1，故联合密度 $f(x,y) = 1$（在 $D$ 上）。 (2) $f_X(x) = \int_{-x}^x 1 dy = 2x \ (0<x<1)$。 $f_Y(y) = 1 - |y| \ (-1<y<1)$。 不独立。 (3) $E(XY) = \int_0^1 x \int_{-x}^x y dy dx = 0$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #二维均匀分布
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📖 相关公式与知识点:
- 均匀分布：$f(x,y) = \frac{1}{S_D}$（$S_D$ 为区域面积）
- 边缘密度：$f_X(x) = \int f(x,y)dy$
- 独立性判断：$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$
思路分析
先求区域面积 → 写出联合密度 → 积分求边缘 → 判断独立性 → 计算期望。
🔄 举一反三
- $(X,Y)$ 在 $0<x<1, 0<y<2$ 上均匀，求 $E(XY)$。
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答案：$0.5$
- 已知 $X$ 服从 $U[0,4]$ ，且 $Y = 3X + 1$ ，试求 $Y$ 的密度函数。
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答案与解析：$f_X(x) = 1/4$。 $f_Y(y) = f_X(\frac{y-1}{3}) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12} \ (1<y<13)$。
难度: ⭐⭐
考点: #随机变量函数
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $Y = aX + b$：$f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X(\frac{y-b}{a})$
思路分析
先写出 $X$ 的密度，再用公式法求 $Y$ 的密度。
🔄 举一反三
- $X \sim U[0,2], Y = 2X$，求 $f_Y(y)$。
查看练习答案与解析
答案：$f_Y(y) = 1/4 \ (0<y<4)$
- 某车间生产滚珠, 从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布, 且直径的方差为 $\sigma^2 = 0.04$ , 从某天生产的产品中随机抽取 9 个,测得直径平均值为 15 毫米, 试对 $\alpha = 0.05$ 求出滚珠的平均直径的区间估计。 $(Z_{0.05} = 1.645, Z_{0.025} = 1.96)$
查看答案与解析
答案与解析：
区间为 $[14.869, 15.131]$。
难度: ⭐⭐
考点: #置信区间
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $\sigma^2$ 已知时 $\mu$ 的置信区间：$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
思路分析
直接套用公式，注意 $\sigma = \sqrt{0.04} = 0.2$。
🔄 举一反三
- $\bar{x}=10, \sigma=1, n=25, \alpha=0.05$，求 $\mu$ 的置信区间。
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答案：$[9.608, 10.392]$
- 一种电子管的使用寿命 $X$ 的分布密度为： $f(x) = \left\{ \begin{array}{cc}100 / x^2 & x\geq 100\\ 0 & x < 100 \end{array} \right.$ 设某种仪器内装有三个上述电子管，求：（1）求 $P\{50 \leq X \leq 150\}$；（2）使用的最初150小时内只有一个电子管损坏的概率；（3）求随机变量 $X$ 的分布函数。
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答案与解析： (1) $\int_{100}^{150} \frac{100}{x^2} dx = \frac{1}{3}$。 (2) $C_3^1 \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$。 (3) $F(x) = 1 - \frac{100}{x} \ (x \geq 100)$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #连续型随机变量
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📖 相关公式与知识点:
- $P(a<X<b) = \int_a^b f(x)dx$
- 二项概率：$C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
思路分析
(1) 积分求概率；(2) 转化为二项分布问题；(3) 积分求分布函数。
🔄 举一反三
- $f(x) = 2x \ (0<x<1)$，求 $P(0.2<X<0.5)$。
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答案：$0.21$
- 设有两个口袋，甲中盛有 1 个白球 9 个黑球，乙中有 6 个白球 2 个黑球。现从甲中任取 2 个放入乙中，求：（1）从乙中再任取一个为白球的概率；（2）如果从乙中取的是白球，则该白球是来自于甲口袋的概率是多少？
查看答案与解析
答案与解析： (1) 全概率公式：$\frac{6}{10} \times \frac{C_9^2}{C_{10}^2} + \frac{7}{10} \times \frac{C_1^1 C_9^1}{C_{10}^2} = \frac{31}{50}$。 (2) 贝叶斯公式：$\frac{1/50}{31/50} = \frac{1}{31}$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #贝叶斯公式
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 全概率：$P(B) = \sum P(A_i)P(B|A_i)$
- 贝叶斯：$P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}$
思路分析
先分类讨论从甲取球的情况，再用全概率和贝叶斯公式。
🔄 举一反三
- 甲袋 2 白 3 黑，乙袋 4 白 1 黑，从甲取 1 球放乙，再从乙取 1 球为白的概率？
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答案：$\frac{22}{30} = \frac{11}{15}$