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《概率论与数理统计》第一学期期末试卷A (精选01)
注意：所有答案均需写在答题卡指定位置，计算题和应用题要有必要的过程。
备注： $\Phi(0.8) = 0.7881$ $Z_{0.025} = 1.96$
一、选择题（每题3分，共30分）
- 已知 8 只晶体管中有 2 只次品, 现从中随机地取出 3 件, 则取得两只正品, 一只次品的概率为( ).
- A. $\frac{15}{28}$
- B. $\frac{5}{28}$
- C. $\frac{5}{8}$
- D. $\frac{3}{8}$
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答案：A
解析：
难度: ⭐
考点: #古典概型 #组合数
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📖 相关公式与知识点:
- $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$
思路分析
利用组合数分别计算有利事件数和基本事件总数。
易错点
- 误用排列公式。
🔄 举一反三
- 从 10 件产品（3次品）中取 4 件，恰有 1 次品的概率？
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答案：$1/2$
解析：$C_7^3 C_3^1 / C_{10}^4 = 105/210 = 1/2$。
- 若事件 $A$ 与 $B$ 满足 $P(\overline{A \cup B}) = \{1 - P(A)\} \{1 - P(B)\}$ , 则下列说法正确的是( ).
- A. $A$ 与 $B$ 互不相容
- B. $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 互不相容
- C. $A \supset B$
- D. $A$ 与 $B$ 互为独立
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答案：D
解析：
难度: ⭐
考点: #事件独立性 #德摩根定律
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📖 相关公式与知识点:
- $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
思路分析
将并集的对立转化为交集。
🔄 举一反三
- 证明独立事件的对立事件也独立。
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证明：$P(\overline{A}B) = P(B) - P(AB) = P(B)[1-P(A)] = P(\overline{A})P(B)$。
- 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的协方差 $\operatorname{Cov}(X, Y) = 3$ ，方差分别为 6 和 3，则 $D(X - Y) = (\quad)$ .
- A. 9
- B. 21
- C. 3
- D. 0
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答案：C
解析：
难度: ⭐
考点: #方差性质 #协方差
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思路分析
套用差的方差公式。
🔄 举一反三
- $D(X)=4, D(Y)=9, \rho=0.5$，求 $D(2X+Y)$。
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答案：37
- 设 $F_{1}(x)$ 与 $F_{2}(x)$ 分别为随机变量 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 的分布函数, 为使 $F(x) = a F_{1}(x) - b F_{2}(x)$ 是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取 ( ).
- A. $a = \frac{3}{5}, b = -\frac{2}{5}$
- B. $a = \frac{3}{5}, b = \frac{2}{3}$
- C. $a = \frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}$
- D. $a = \frac{1}{2}, b = -\frac{3}{2}$
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答案：A
解析：$a-b=1$ 且 $a \ge 0, b \le 0$。
难度: ⭐⭐
考点: #分布函数性质
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📖 相关公式与知识点:
- 分布函数性质：$F(+\infty)=1, F(-\infty)=0$，单调不减，右连续。
思路分析
利用 $F(+\infty)=1$ 得 $a-b=1$，再结合非负性确定参数符号。
🔄 举一反三
- $G(x) = \frac{1}{3}F_1 + \frac{2}{3}F_2$ 是分布函数吗？
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答案：是。
- 设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x), Y = -2X + 3,$ 则 $Y$ 的密度函数为( ).
- A. $- \frac{1}{2} f(-\frac{y - 3}{2})$
- B. $\frac{1}{2} f\left(-\frac{y - 3}{2}\right)$
- C. $- \frac{1}{2} f\left(-\frac{y + 3}{2}\right)$
- D. $\frac{1}{2} f(-\frac{y + 3}{2})$
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答案：B
解析：
难度: ⭐⭐
考点: #一维随机变量函数
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📖 相关公式与知识点:
- 公式法：$f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$，其中 $x = h(y)$ 为反函数。
思路分析
先求反函数 $x = \frac{y-3}{-2}$，再乘以反函数导数的绝对值 $\frac{1}{|-2|} = \frac{1}{2}$。
🔄 举一反三
- $Y = 2X+1$，求密度。
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答案：$\frac{1}{2}f(\frac{y-1}{2})$
- 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 其分布函数分别为 $F_{X}(x)$ 与 $F_{Y}(y)$ , 则随机变量 $Z = \min \{X, Y\}$ 的分布函数 $F_{Z}(z)$ 等于( ).
- A. $\min \{F_X(z), F_Y(z)\}$
- B. $1 - [1 - F_{X}(z)][1 - F_{Y}(z)]$
- C. $\frac{1}{2} [F_X(z) + F_Y(z)]$
- D. $F_{X}(z)F_{Y}(z)$
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答案：B
解析：
难度: ⭐⭐
考点: #最值分布
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📖 相关公式与知识点:
- $F_{\min}(z) = 1 - [1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$
- $F_{\max}(z) = F_X(z)F_Y(z)$
思路分析
$\min(X,Y) \leq z$ 的对立事件是 $X>z$ 且 $Y>z$，利用独立性展开。
🔄 举一反三
- $\max(X,Y)$ 的分布函数？
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答案：$F_X(z)F_Y(z)$
- 设随机变量 $X$ 表示 10 次重复独立射击命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为 0.4，则 $E(X^{2}) = (\quad)$ 。
- A. 18.4
- B. 4
- C. 2.4
- D. 6.4
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答案：A
解析：
难度: ⭐
考点: #二项分布
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📖 相关公式与知识点:
- $X \sim B(n,p)$：$E(X)=np, D(X)=np(1-p)$
- $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2$
思路分析
先求 $E(X)$ 和 $D(X)$，再利用方差与二阶矩的关系求 $E(X^2)$。
🔄 举一反三
- 投币 100 次正面次数 $X$，求 $E(X^2)$。
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答案：2525
- 设随机变量 $X \sim N(0,1)$ ， $Y \sim N(1,4)$ ，且相关系数 $\rho_{XY} = 1$ ，则（ ）.
- A. $P\{Y = -2X - 1\} = 1$
- B. $P\{Y = 2X - 1\} = 1$
- C. $P\{Y = -2X + 1\} = 1$
- D. $P\{Y = 2X + 1\} = 1$
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答案：D
解析：$Y = 2X + 1$。
难度: ⭐⭐
考点: #相关系数
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📖 相关公式与知识点:
- $|\rho|=1 \iff Y = aX + b$（以概率 1 成立）
- $a = \rho \cdot \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}$，$b = E(Y) - aE(X)$
思路分析
$\rho=1$ 时 $a>0$，代入 $\sigma_X=1, \sigma_Y=2$ 得 $a=2$，再由期望求 $b=1$。
🔄 举一反三
- $\rho=-1$ 时关系式？
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答案：$Y = -2X+1$
- 设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{12}$ 是来自正态总体 $N(0,1)$ 的样本，则统计量 $Y = \frac{1}{4} \left( \sum_{i=1}^{4} X_{i} \right)^{2} + \frac{1}{8} \left( \sum_{i=5}^{12} X_{i} \right)^{2}$ 服从的分布是（ ）.
- A. $Y\sim t(11)$
- B. $Y\sim t(12)$
- C. $Y\sim \chi^2 (2)$
- D. $Y\sim N(0,12)$
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答案：C
解析： 两部分均服从 $\chi^2(1)$，相加服从 $\chi^2(2)$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #卡方分布
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📖 相关公式与知识点:
- 若 $X_i \sim N(0,1)$ 独立，则 $\sum X_i^2 \sim \chi^2(n)$
- $\chi^2$ 分布的可加性：独立卡方变量之和仍为卡方分布
思路分析
$\sum_{i=1}^4 X_i \sim N(0,4)$，标准化后平方得 $\chi^2(1)$；同理第二部分也得 $\chi^2(1)$，相加得 $\chi^2(2)$。
🔄 举一反三
- $X_1, X_2 \sim N(0,1)$ 独立，求 $X_1^2+X_2^2$ 分布。
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答案：$\chi^2(2)$
- 在假设检验中，设 $H_{0}$ 为原假设， $H_{1}$ 为备择假设，犯第一类错误的情况是( ).
- A. $H_{0}$ 为真, 拒绝 $H_{0}$
- B. $H_{0}$ 不真, 接受 $H_{0}$
- C. $H_{1}$ 为真, 拒绝 $H_{1}$
- D. $H_{1}$ 不真, 拒绝 $H_{1}$
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答案：A
解析： 弃真错误。
难度: ⭐
考点: #假设检验
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📖 相关公式与知识点:
- 第一类错误（弃真）：$H_0$ 为真时拒绝 $H_0$
- 第二类错误（纳伪）：$H_0$ 不真时接受 $H_0$
思路分析
记忆口诀："弃真为第一类，纳伪为第二类"。
🔄 举一反三
- 纳伪是第几类错误？
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答案：第二类。
二、填空题（每小题3分，共15分）
- 已知 $P(A) = 0.5$ ， $P(B) = 0.8$ ，且 $P(B|A) = 0.8$ ，则 $P(B\overline{A}) =$ ________.
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答案：0.4
解析：
难度: ⭐
考点: #条件概率
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📖 相关公式与知识点:
- $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$
- $P(B\overline{A}) = P(B) - P(AB)$
思路分析
先由条件概率求 $P(AB)$，再用减法公式求 $P(B\overline{A})$。
🔄 举一反三
- $P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A \cup B)=0.7$，求 $P(A|B)$。
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答案：0.4
- 当 $a =$ ________ 时, $P\{X = k\} = a\left(\frac{2}{3}\right)^k, k = 1, 2, 3 \dots$ , 才能成为随机变量 $X$ 的分布律.
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答案：1/2
解析：
难度: ⭐
考点: #分布律性质
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📖 相关公式与知识点:
- 分布律规范性：$\sum_{k} P(X=k) = 1$
- 等比数列求和：$\sum_{k=1}^\infty r^k = \frac{r}{1-r}$（$|r|<1$）
思路分析
利用等比数列求和公式，令总和为 1 解出 $a$。
🔄 举一反三
- $P(X=k)=c(1/2)^k, k=0,1\dots$，求 $c$。
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答案：1/2
- 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim N(1,2), Y \sim N(0,1)$ , 令随机变量 $Z = 2X - Y + 3$ , 则 $Z \sim$ ________.
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答案：$N(5, 9)$
解析：$E(Z)=5, D(Z)=9$。
难度: ⭐
考点: #正态分布
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 正态分布线性组合：$aX + bY + c \sim N(a\mu_X + b\mu_Y + c, a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2)$（独立时）
思路分析
直接套用正态分布线性组合的期望和方差公式。
🔄 举一反三
- $X,Y \sim N(0,1)$ 独立，$Z=X+2Y$ 分布？
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答案：$N(0,5)$
- 设随机变量 $X \sim U[0,1]$ ，由切比雪夫不等式可得 $P\{|X - \frac{1}{2}| \geq \frac{1}{\sqrt{3}}\} \leq$ ________.
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答案：1/4
解析：
难度: ⭐⭐
考点: #切比雪夫不等式
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📖 相关公式与知识点:
- 切比雪夫不等式：$P\{|X - E(X)| \geq \varepsilon\} \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$
- $X \sim U[0,1]$：$E(X)=\frac{1}{2}, D(X)=\frac{1}{12}$
思路分析
先求均匀分布的期望和方差，再代入切比雪夫不等式。
🔄 举一反三
- $E(X)=2, D(X)=1$，估计 $P(|X-2| \geq 3)$。
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答案：1/9
- 设总体 $X \sim N(\mu, 0.09)$ , 测得一组样本观测值为: 12.6 13.4 12.8 13.2, 则总体均值 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间为 ________.
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答案：$[12.706, 13.294]$
解析：$13 \pm 1.96 \times \frac{0.3}{2} = [12.706, 13.294]$。
难度: ⭐⭐
考点: #置信区间
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思路分析
已知方差求均值区间。
🔄 举一反三
- $X \sim N(\mu, 4), n=16, \bar{x}=10$，求 95% 置信区间。
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答案：$[9.02, 10.98]$
三、计算题（共35分）
16.（10分）若随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布律为：
| X \ Y | -1 | 0 | 1 |
| -1 | 1/8 | 1/8 | 1/8 |
| 0 | 1/8 | 0 | 1/8 |
| 1 | 1/8 | 1/8 | 1/8 |
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答案与解析： (1) $X, Y$ 边缘分布律均为 $P(-1)=3/8, P(0)=1/4, P(1)=3/8$。 (2) $F_X(x)$ 为分段函数。 (3) $P(Z=-1)=1/4, P(Z=0)=3/4$。 (4) $P(0,0)=0 \neq 1/16$，不独立。
难度: ⭐⭐
考点: #边缘分布 #独立性
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思路分析
行列求和得边缘。
🔄 举一反三
- 给出 2x2 表格求独立性。
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答案：略。
17.（12分）设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为
求：（1）常数 $k$ ；（2） $P\{X < 1,Y < 3\}$ ；（3） $P\{X + Y\leq 4\}$ ：
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答案与解析： (1) $k=1/8$。 (2) $P=3/8$。 (3) $P=2/3$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #二重积分 #概率密度
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思路分析
注意积分区域。
🔄 举一反三
- $f(x,y)=kxy, 0<x<1, 0<y<1$，求 $k$。
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答案：4
18.（13分）设 $X_{1},\dots ,X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的一个样本， $X$ 的概率密度函数为：
其中 $\theta$ 未知，且 $\theta > 0$ ，求 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量.
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答案与解析： 矩估计：$\hat{\theta}_M = \frac{2\bar{X}-1}{1-\bar{X}}$。 极大似然估计：$\hat{\theta}_{MLE} = -\frac{n}{\sum\ln x_i} - 1$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #矩估计 #极大似然估计
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思路分析
似然函数求导。
🔄 举一反三
- $f(x)=\theta x^{\theta-1}$ 求 MLE。
查看练习答案与解析
答案：$-n/\sum\ln x_i$
四、应用题（共20分）
19.（12分）已知一批产品中有 $95\%$ 是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为 0.02，一个次品被误判为合格品的概率是 0.03，求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率.
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答案与解析： (1) $P(B) = 0.9325$。 (2) $P(A|B) \approx 0.9984$。
难度: ⭐⭐
考点: #全概率 #贝叶斯
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思路分析
全概率与贝叶斯。
🔄 举一反三
- 疾病检测问题。
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答案：略。
- (8 分) 某种元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布, 现随机地取 16 只, 设它们的寿命是相互独立的, 求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率.
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答案与解析：$P = 1 - \Phi(0.8) = 0.2119$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #中心极限定理
💡 学习锦囊
思路分析
标准化。
🔄 举一反三
- 泊松分布求和 CLT。
查看练习答案与解析
答案：略。