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《数学分析》第二学期期末试卷A (精选03)
一、计算（每题5分，共20分）
- $\int \frac{dx}{2 - 3x^2}$
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答案： $\frac{\sqrt{6}}{12} \ln \left| \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}x}{\sqrt{2} - \sqrt{3}x} \right| + C$
解析：
本题考查有理函数的积分方法，主要采用凑微分法与基本积分公式。
利用平方差形式的积分公式 $\int \frac{du}{a^2 - u^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+u}{a-u} \right| + C$，这里 $a = \sqrt{2}$, $u = \sqrt{3}x$。
原式 $= \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln \left| \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}x}{\sqrt{2} - \sqrt{3}x} \right| + C = \frac{\sqrt{6}}{12} \ln \left| \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}x}{\sqrt{2} - \sqrt{3}x} \right| + C$。
难度： ⭐
考点： #不定积分 #有理函数积分 #凑微分法
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📖 相关公式与知识点:
- $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$
思路分析
看到分母是平方差形式，首先想到凑微分法，将 $x$ 项的系数化为 1 或整体凑成 $d(\sqrt{3}x)$。
易错点
- 忘记乘以微分元素代换带来的系数 $\frac{1}{\sqrt{3}}$。
- 混淆 $\int \frac{dx}{x^2 - a^2}$ 和 $\int \frac{dx}{a^2 - x^2}$ 的公式。
🔄 举一反三
- 计算 $\int \frac{dx}{3 - 4x^2}$
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答案：$\frac{\sqrt{3}}{12} \ln \left| \frac{\sqrt{3} + 2x}{\sqrt{3} - 2x} \right| + C$
解析： 原式 $= \frac{1}{2} \int \frac{d(2x)}{(\sqrt{3})^2 - (2x)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} \ln \left| \frac{\sqrt{3} + 2x}{\sqrt{3} - 2x} \right| + C = \frac{\sqrt{3}}{12} \ln \left| \frac{\sqrt{3} + 2x}{\sqrt{3} - 2x} \right| + C$。
- $\int x^{2}e^{-x}dx$
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答案： $-e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C$
解析：
本题考查分部积分法，由于被积函数是幂函数与指数函数的乘积，需连续使用两次分部积分。
第一步：第一次分部积分 将 $e^{-x}dx$ 凑入微分，得 $d(-e^{-x})$：
第二步：第二次分部积分 对 $\int x e^{-x} dx$ 再次使用分部积分：
第三步：合并结果 将第二步结果代入第一步：
难度： ⭐
考点： #分部积分法
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📖 相关公式与知识点:
- $\int u dv = uv - \int v du$
思路分析
根据“反幂三指”原则，多项式 $x^2$ 优先作为 $u$，指数函数 $e^{-x}$ 优先凑入 $dv$。
易错点
- 积分过程中负号极易漏掉。
- 每次分部积分都要注意 $C$ 的添加。
🔄 举一反三
- 计算 $\int x^2 e^{2x} dx$
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答案：$\frac{1}{2}e^{2x}(x^2 - x + \frac{1}{2}) + C$
解析：$\int x^2 e^{2x} dx = \frac{1}{2}\int x^2 d(e^{2x}) = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \int x e^{2x} dx$. 对 $\int x e^{2x} dx$ 再用分部积分：$\frac{1}{2}\int x d(e^{2x}) = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}$. 代入原式得 $\frac{1}{2}x^2 e^{2x} - (\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}) + C = \frac{1}{2}e^{2x}(x^2 - x + \frac{1}{2}) + C$.
- $\int_{-1}^{1} \frac{x dx}{\sqrt{5 - 4x}}$
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答案： $\frac{1}{6}$
解析：
本题考查定积分的换元积分法，通过根式代换化简被积函数。
第一步：设元与微分代换 令 $u = \sqrt{5 - 4x}$，则 $u^2 = 5 - 4x$，解得 $x = \frac{5 - u^2}{4}$。 两边微分得：$dx = -\frac{1}{2} u du$。
第二步：更换积分限
- 当 $x = -1$ 时，$u = \sqrt{5 - 4(-1)} = 3$；
- 当 $x = 1$ 时，$u = \sqrt{5 - 4(1)} = 1$。
第三步：代入并积分
难度： ⭐⭐
考点： #定积分 #根式代换 #换元积分法
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📖 相关公式与知识点:
- 换元法求定积分公式：$\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t)dt$
思路分析
被积函数中含有根式 $\sqrt{5 - 4x}$，考虑将其整体设为新变量 $u$，从而消除根号。
易错点
- 换元后忘记更换积分的上下限。
- 上下限顺序颠倒导致符号错误。
🔄 举一反三
- 计算 $\int_0^3 \frac{x dx}{\sqrt{1 + x}}$
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答案：$\frac{8}{3}$
解析： 令 $u = \sqrt{1+x}$，则 $x = u^2 - 1$，$dx = 2u du$。 限：$x=0 \to u=1$；$x=3 \to u=2$。 原式 $= \int_1^2 \frac{u^2 - 1}{u} 2u du = 2\int_1^2 (u^2 - 1) du = 2 \left[\frac{1}{3}u^3 - u\right]_1^2 = 2 [(\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1)] = 2 [\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})] = \frac{8}{3}$。
- $\int_0^a x^2\sqrt{a^2 - x^2} dx$ （ $a > 0$ ）
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答案： $\frac{\pi a^4}{16}$
解析：
本题考查利用三角代换法求解含有 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 结构的定积分。
第一步：三角代换 令 $x = a \sin t$（其中 $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$），则 $dx = a \cos t dt$。 积分限：
- 当 $x = 0$ 时，$t = 0$；
- 当 $x = a$ 时，$t = \frac{\pi}{2}$。
第二步：代入积分式
第三步：利用三角公式降幂
难度： ⭐⭐
考点： #三角代换 #降幂公式
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📖 相关公式与知识点:
- $\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4} \sin^2 2t$
- $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$
思路分析
看到 $\sqrt{a^2 - x^2}$，标准的解法是令 $x = a \sin t$，利用 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ 消去根号。
易错点
- 漏掉微分元素 $dx$ 转换出的 $a \cos t$。
- 降幂积分时系数计算出错。
🔄 举一反三
- 计算 $\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx$
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答案：$\frac{\pi a^2}{4}$
解析： 令 $x = a \sin t$，$dx = a \cos t dt$。 原式 $= \int_0^{\pi/2} a \cos t \cdot a \cos t dt = a^2 \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos 2t}{2} dt = \frac{a^2}{2} \left[t + \frac{1}{2}\sin 2t\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi a^2}{4}$。 （注：此积分几何意义为半径为 $a$ 的圆的四分之一面积）
二、判断敛散性（每题5分，共20分）
- $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^4 + 1}}$
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答案： 收敛
解析：
本题考查无穷限反常积分的敛散性判定。
观察被积函数在 $x \to +\infty$ 时的渐进性质。 当 $x \to +\infty$ 时，分母中的 $1$ 可忽略，即：
根据反常积分的比较判别法的极限形式： 因为积分 $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^{4/3}}$ 的幂次 $p = \frac{4}{3} > 1$，该积分收敛。 所以原积分 $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^4 + 1}}$ 收敛。
难度： ⭐
考点： #反常积分 #比较判别法 #p积分
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📖 相关公式与知识点:
- $p$-积分审敛法：$\int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p}$ 当 $p > 1$ 时收敛，$p \leq 1$ 时发散。
思路分析
判断无穷限积分敛散性，通常先看 $x \to +\infty$ 时被积函数的阶数，与标准 $p$-积分进行比较。
易错点
- 将无穷限积分的 $p$ 判别法与瑕积分的 $p$ 判别法范围记混。
🔄 举一反三
- 判断 $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3 + 1}}$ 的敛散性。
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**答案：**收敛
解析： 当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{\sqrt{x^3+1}} \sim \frac{1}{x^{3/2}}$。 因为 $p = \frac{3}{2} > 1$，故积分收敛。
- $\int_0^1\frac{\arctan x}{1 - x^3} dx$
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答案： 发散
解析：
本题考查瑕积分的敛散性判定。被积函数的瑕点为 $x = 1$。
在瑕点 $x \to 1^-$ 附近进行分析：
- 分子：$\lim_{x \to 1^-} \arctan x = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$
- 分母：$1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)$，当 $x \to 1$ 时，$1 + x + x^2 \to 3$
因此，当 $x \to 1^-$ 时：
根据瑕积分的比较判别法： 因为积分 $\int_0^1 \frac{dx}{1 - x}$ 发散（此处 $p=1$），故原积分发散。
难度： ⭐⭐
考点： #瑕积分 #比较判别法 #瑕点
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📖 相关公式与知识点:
- 瑕积分 $p$-判别法：$\int_a^b \frac{dx}{(b-x)^p}$ 当 $p < 1$ 时收敛，$p \geq 1$ 时发散。
思路分析
首先找出积分的瑕点（使分母为 0 的点），然后在瑕点附近对函数进行等价无穷小或极限替换。
易错点
- 未能识别出 $x=1$ 是瑕点而直接按常规定积分处理。
🔄 举一反三
- 判断 $\int_0^1\frac{\sin x}{1 - x^2} dx$ 的敛散性。
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**答案：**发散
解析： 瑕点为 $x=1$。当 $x \to 1^-$ 时，$\frac{\sin x}{1-x^2} = \frac{\sin x}{(1-x)(1+x)} \sim \frac{\sin 1}{2(1-x)}$。 由于 $\int_0^1 \frac{dx}{1-x}$ 发散，故原积分发散。
- $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{3^n\cdot n!}{n^n}$
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答案： 发散
解析：
本题考查正项级数的敛散性判定，适用于达朗贝尔判别法（比值审敛法）。
设通项 $a_n = \frac{3^n n!}{n^n}$。 考察相邻两项的比值极限：
取极限得：
因为自然常数 $e \approx 2.718$，所以 $\frac{3}{e} > 1$。 由比值审敛法可知，级数发散。
难度： ⭐⭐
考点： #正项级数 #比值审敛法 #重要极限
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📖 相关公式与知识点:
- 比值判别法：$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l$，若 $l > 1$ 则发散，$l < 1$ 则收敛。
- 重要极限：$\lim_{n\to\infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$
思路分析
当级数通项包含阶乘 $n!$ 和幂指函数 $n^n$ 时，优先考虑使用比值法化简。
易错点
- 误将 $\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n$ 算作 $e$ 而非 $e^{-1}$。
🔄 举一反三
- 判断 $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2^n n!}{n^n}$ 的敛散性。
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**答案：**收敛
解析： 同样用比值法：$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} 2(1-\frac{1}{n+1})^n = \frac{2}{e}$。 因为 $e \approx 2.718$，所以 $\frac{2}{e} < 1$，故级数收敛。
- $\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$
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答案： 收敛
解析：
本题考查交错级数的敛散性判定，需使用莱布尼茨判别法。
设 $a_n = (-1)^n b_n$，其中 $b_n = \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$。 我们需要验证莱布尼茨判别法的两个条件：
条件一：极限是否为 0
条件一满足。
条件二：数列是否单调递减 构造函数 $f(x) = \frac{\arctan x}{\sqrt{x}}$。求导得：
当 $x$ 充分大时，分子中 $(1+x^2)\arctan x$ 的阶数高于 $2x$，故 $f'(x) < 0$。 因此数列 $\{b_n\}$ 从某项起单调递减。条件二满足。
综上所述，由莱布尼茨判别法，该级数收敛。
难度： ⭐⭐
考点： #交错级数 #莱布尼茨判别法
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 莱布尼茨判别法：若 $b_n \geq 0$ 且 $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$，$b_n$ 单调递减，则 $\sum (-1)^n b_n$ 收敛。
思路分析
遇到符号正负相间的交错级数，首选莱布尼茨判别法。
易错点
- 很多同学会遗漏验证“单调递减”的条件。
🔄 举一反三
- 判断 $\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\ln n}{n}$ 的敛散性。
查看练习答案与解析
**答案：**收敛
解析： 用莱布尼茨法。$b_n = \frac{\ln n}{n} > 0$。$\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} = 0$。 设 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$，$f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}$，当 $x > e$ 时 $f'(x) < 0$，故单调递减。满足条件，级数收敛。
三、（本题10分）
求摆线
的弧长。
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答案： $8a$
解析：
本题考查平面参数方程曲线的弧长计算。
第一步：求解导数
第二步：计算弧长微元 $ds$
第三步：利用三角公式化简 利用半角公式 $1 - \cos t = 2\sin^2 \frac{t}{2}$：
（在 $t \in [0, 2\pi]$ 上，$\sin \frac{t}{2} \geq 0$，故开方直接取正）
第四步：积分求弧长
难度： ⭐⭐
考点： #定积分应用 #弧长计算 #摆线
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 参数方程弧长公式：$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{x'^2 + y'^2} dt$
- 三角公式：$1 - \cos t = 2\sin^2 \frac{t}{2}$
思路分析
直接代入参数方程的弧长公式，核心在于利用三角公式将根号内的式子化为完全平方式以便开方。
易错点
- $\sqrt{\sin^2 u}$ 开方时一定要结合 $u$ 的范围判断正负号，本题恰好为正。
🔄 举一反三
- 计算星形线 $x = a \cos^3 t, y = a \sin^3 t$ 的全长。
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答案：$6a$
解析： 对称性：全长等于第一象限（$t \in [0, \pi/2]$）长度的 4 倍。 $x' = -3a\cos^2 t\sin t$，$y' = 3a\sin^2 t\cos t$。 $ds = \sqrt{9a^2\cos^4 t\sin^2 t + 9a^2\sin^4 t\cos^2 t} dt = 3a|\sin t\cos t| dt$。 第一象限 $s_1 = \int_0^{\pi/2} 3a\sin t\cos t dt = \frac{3}{2}a [\sin^2 t]_0^{\pi/2} = \frac{3}{2}a$。 全长 $s = 4 \times \frac{3}{2}a = 6a$。
四、（本题10分）
证明：$F(x) = \int_{0}^{x}(x - 2t)f(t)dt$ 与 $f(x)$ 有相同的奇偶性，其中 $f(x)$ 为连续函数。
查看答案与解析
答案： 见解析证明。
解析：
本题考查变限积分函数的奇偶性证明。
首先，将积分式中的 $x$ 提取出积分号：
接下来，考察 $F(-x)$ 的表达式：
对右侧的两个积分作换元：令 $t = -u$，则 $dt = -du$。 当 $t = 0 \to u = 0$；当 $t = -x \to u = x$。
因此：
将其代入 $F(-x)$ 的表达式中：
分类讨论：
若 $f(x)$ 为奇函数，则 $f(-u) = -f(u)$：
$$F(-x) = x \int_0^x [-f(u)]du - 2 \int_0^x u [-f(u)]du = - \left( x \int_0^x f(u)du - 2 \int_0^x u f(u)du \right) = -F(x)$$即 $F(x)$ 亦为奇函数。
若 $f(x)$ 为偶函数，则 $f(-u) = f(u)$：
$$F(-x) = x \int_0^x f(u)du - 2 \int_0^x u f(u)du = F(x)$$即 $F(x)$ 亦为偶函数。
综上，变限积分函数 $F(x)$ 与 $f(x)$ 具有相同的奇偶性。
难度： ⭐⭐⭐
考点： #变限积分 #奇偶性证明
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 奇函数定义：$f(-x) = -f(x)$
- 偶函数定义：$f(-x) = f(x)$
思路分析
被积函数中既有 $x$ 又有 $t$，不可直接换元。需先拆分成不含交叉项的形式，再通过定义验证。
易错点
- 换元时上下限的变化以及 $dt = -du$ 产生的负号要细心处理。
🔄 举一反三
- 证明：若 $f(x)$ 是连续的奇函数，则 $G(x) = \int_0^x f(t)dt$ 是偶函数。
查看练习答案与解析
**答案：**见解析
解析：$G(-x) = \int_0^{-x} f(t)dt$。令 $t = -u, dt = -du$。 $G(-x) = \int_0^x f(-u)(-du) = \int_x^0 f(-u)du = -\int_0^x -f(u)du = \int_0^x f(u)du = G(x)$。 故 $G(x)$ 是偶函数。
五、（本题10分）
求幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}nx^{n}$ 的和函数。
查看答案与解析
答案： $S(x) = \frac{x}{(1-x)^2}$，收敛域为 $(-1, 1)$。
解析：
本题考查幂级数求和函数的逐项求导法。
第一步：求收敛半径 设通项系数 $a_n = n$。
当 $x = \pm 1$ 时，通项不趋于 0，级数发散。故收敛域为 $(-1, 1)$。
第二步：变形利用逐项求导 设和函数为 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty n x^n$。 提取一个 $x$：
考虑几何级数的和：
在收敛区间内级数可以逐项求导：
同时对求和结果求导：
第三步：求出和函数
难度： ⭐⭐
考点： #幂级数 #和函数 #逐项求导
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 几何级数：$\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} \quad (|x| < 1)$
思路分析
通项中的系数 $n$ 让人联想到求导。提取 $x$ 后，使其形式完全符合 $\left(x^n\right)' = nx^{n-1}$ 的导数结构。
易错点
- 结论必须配以收敛域，否则不得满分。
🔄 举一反三
- 求幂级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ 的和函数。
查看练习答案与解析
答案：$-\ln(1-x)$，收敛域为 $[-1, 1)$。
解析： 设 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$。逐项求导： $S'(x) = \sum_{n=1}^\infty x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$。 积分得 $S(x) = \int_0^x \frac{dt}{1-t} = -\ln(1-x)$。 由比值法知 $R=1$，检验端点 $x=-1$ 收敛，$x=1$ 发散。
六、（本题10分）
将 $f(x) = x$ 在 $(0,2)$ 内展开成正弦级数。
查看答案与解析
答案： $f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{4(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin\frac{n\pi x}{2}, \quad x \in (0, 2)$
解析：
本题考查函数展开为傅里叶正弦级数的方法。
第一步：作奇延拓 为将 $f(x)$ 展开为仅含正弦项的级数，需将原函数作奇延拓至区间 $(-2, 2)$，周期 $T = 2l = 4$，故 $l = 2$。
第二步：计算正弦系数 $b_n$ 根据正弦级数的系数公式：
使用分部积分法： 令 $u = x, dv = \sin \frac{n\pi x}{2} dx$，则 $v = -\frac{2}{n\pi} \cos \frac{n\pi x}{2}$。
由于 $\sin n\pi = 0, \cos n\pi = (-1)^n$：
第三步：写出展开式
难度： ⭐⭐
考点： #傅里叶级数 #正弦级数 #奇延拓
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 正弦级数系数：$b_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dx$
思路分析
正弦级数对应奇延拓，计算积分时务必注意分部积分法的细节。
易错点
- 不要误将区间半长 $l$ 带成 2 之外的数（例如 1）。
🔄 举一反三
- 将 $f(x) = x$ 在 $(0, \pi)$ 内展开为余弦级数。
查看练习答案与解析
答案：$\frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2n-1)x}{(2n-1)^2}$
解析：- 第一步：作偶延拓，区间半长 $l = \pi$。余弦级数形式为 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx$。
- 第二步：计算系数 $a_0$：$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x dx = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^\pi = \pi$$
- 第三步：计算系数 $a_n$（使用分部积分法）：$$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \cos nx dx = \frac{2}{\pi} \left( \left[ \frac{x}{n}\sin nx \right]_0^\pi - \frac{1}{n} \int_0^\pi \sin nx dx \right)$$$$= \frac{2}{\pi} \left( 0 + \frac{1}{n^2} [\cos nx]_0^\pi \right) = \frac{2}{\pi n^2} [(-1)^n - 1]$$
- 第四步：讨论 $n$ 的奇偶性：
- 当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n - 1 = 0 \implies a_n = 0$；
- 当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n - 1 = -2 \implies a_n = -\frac{4}{\pi n^2}$。
- 结论：$f(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2}$。
七、（本题10分）
讨论函数 $f(x,y) = \frac{x^2y^2}{x^2y^2 + (x - y)^2}$ 在 $(0,0)$ 处的重极限与累次极限。
查看答案与解析
答案： 累次极限存在且均等于 0；二重极限不存在。
解析：
本题考查多元函数的重极限与累次极限的联系与区别。
第一步：讨论累次极限 先计算 $\lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0} f(x,y) \right)$：
因此，$\lim_{x \to 0} 0 = 0$。
同理计算另一个累次极限 $\lim_{y \to 0} \left( \lim_{x \to 0} f(x,y) \right)$：
因此，$\lim_{y \to 0} 0 = 0$。 故两累次极限皆存在且为 0。
第二步：讨论二重（重）极限 我们尝试寻找通过 $(0,0)$ 点的不同路径。
- 沿直线 $y = kx \ (k \neq 1)$：$$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y = kx}} \frac{x^2(k^2x^2)}{x^2(k^2x^2) + (x - kx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{k^2 x^4}{k^2 x^4 + x^2(1-k)^2} = 0$$
- 沿特殊曲线路径 $x - y = xy$，即 $y = \frac{x}{1+x}$（当 $x \to 0$ 时，$y \to 0$）： 将 $x - y = xy$ 代入原函数中：$$f(x,y) = \frac{(xy)^2}{(xy)^2 + (xy)^2} = \frac{(xy)^2}{2(xy)^2} = \frac{1}{2}$$
由于不同趋近路径极限值不相等（0 与 $\frac{1}{2}$），故该函数在 $(0,0)$ 点的重极限不存在。
难度： ⭐⭐⭐
考点： #多元函数极限 #重极限 #累次极限
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 重极限存在则累次极限存在且相等（前提是累次极限的内层存在）。
思路分析
若要证明重极限不存在，核心是寻找两条或以上极限不相等的特殊逼近路径。
易错点
- 很多同学仅通过直线路径 $y = kx$ 误判重极限存在。
🔄 举一反三
- 讨论 $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 点的极限。
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**答案：**极限不存在。
解析： 取路径 $y = kx$，代入得 $\lim_{x \to 0}\frac{kx^2}{x^2(1+k^2)} = \frac{k}{1+k^2}$。 极限值随斜率 $k$ 变化，故极限不存在。
八、（本题10分）
设 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上有定义，满足一致 Lipschitz 条件
其中 $M > 0$ 为一常数，且逐点有 $f_{n}(x)\rightarrow f(x)(n\rightarrow +\infty)$。 证明： （1） $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续； （2） $f_{n}(x)$ 一致收敛于 $f(x), x \in [a, b]$。
查看答案与解析
答案： 见解析证明。
解析：
本题考查函数列的收敛性、一致收敛判别及 Lipschitz 条件的性质传递。
证明（1）： 对条件 $| f _ {n} (x) - f _ {n} (x') | \leq M | x - x' |$ 两端取 $n \to \infty$ 的极限。 由于 $f_n(x)$ 逐点收敛于 $f(x)$，根据极限的保不等式性，有：
这表明极限函数 $f(x)$ 亦满足 Lipschitz 条件，因此 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上一致连续，显然连续。
证明（2）： 由于 $[a,b]$ 是紧集，我们使用有限剖分和 $\epsilon-N$ 语言证明一致收敛。 对于任意给定的 $\epsilon > 0$： 将区间 $[a,b]$ 等距剖分为 $k$ 等份，节点为 $a = x_0 < x_1 < \dots < x_k = b$。 要求步长 $\Delta x = x_i - x_{i-1} < \frac{\epsilon}{3M}$。
因为 $f_n(x)$ 逐点收敛于 $f(x)$，所以在有限个节点 $\{x_0, x_1, \dots, x_k\}$ 上，必定存在自然数 $N$，使得当 $n > N$ 时，对所有的节点 $x_i$ 同时成立：
对于区间内的任意点 $x \in [a, b]$，必定存在某个子区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 包含 $x$。 利用三角不等式进行放大：
根据一致 Lipschitz 条件：
- $|f_n(x) - f_n(x_i)| \leq M|x - x_i| < M \cdot \frac{\epsilon}{3M} = \frac{\epsilon}{3}$
- 由第(1)问的性质：$|f(x_i) - f(x)| \leq M|x_i - x| < \frac{\epsilon}{3}$
综合上述三部分放大：
因此，$\{f_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x)$。
难度： ⭐⭐⭐
考点： #一致收敛 #Lipschitz连续 #紧集剖分
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 一致收敛定义：$\forall \epsilon > 0, \exists N, \forall n > N, \forall x \in I, |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$。
思路分析
此为典型分析题。一致 Lipschitz 条件限制了函数变化的剧烈程度，配合紧性，即可把有限个点的性质拓宽到整个区间。
易错点
- 区分逐点收敛和一致收敛的证明顺序。
🔄 举一反三
- 了解并简述 Dini 定理的条件。
查看练习答案与解析
**答案：**Dini 定理指出：若紧集上的连续函数列单调地逐点收敛于连续函数，则其一致收敛。
解析： 三个关键要素：紧集定义域、函数项及极限函数连续、单调性。