《数学分析》第一学期期末试卷A (精选01)

一、判断题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）

1. 若 $x_{0}$ 为 $f$ 的极值点, 则 $x_{0}$ 为 $f$ 的稳定点。

查看答案与解析

**答案：**错误

解析： 极值点不一定是稳定点（导数为0的点）。 例如函数 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处取得极小值，但函数在 $x=0$ 处不可导，因此不是稳定点。 只有当函数在极值点处可导时，费马引理才保证该点为稳定点。

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难度： ⭐ 考点： #极值点 #稳定点 #可导性

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📖 相关公式与知识点:

• 极值点：函数在某点邻域内取得最大或最小值的点。
• 稳定点（驻点）：一阶导数等于 0 的点，即 $f'(x_0) = 0$。
• 费马引理：若函数在 $x_0$ 处取得极值且在该点可导，则 $f'(x_0) = 0$。

思路分析

本题考查极值点与稳定点（驻点）的关系。稳定点要求可导且导数为 0；但极值点的存在属于局部性态，完全不依赖于是否可导。因此破题点在于寻找“不可导的极值点”。

易错点

容易混淆充分条件与必要条件，误认为有极值就一定能求导，从而默认导数必为零。

🔄 举一反三

1. 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $x_0$ 是极值点的充要条件是 $f'(x_0) = 0$。 ( )
   查看练习答案与解析

   **答案：**错误 解析：$f'(x_0) = 0$ 是必要条件而非充分条件。例如 $f(x) = x^3$，在 $x=0$ 处 $f'(0) = 0$（是驻点），但 $x=0$ 不是极值点。

2. 若 $f$ 在 $x_{0}$ 二阶可导, 则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 为曲线 $y = f(x)$ 拐点的必要条件是 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) = 0$。

查看答案与解析

**答案：**正确

解析： 若 $P(x_0, f(x_0))$ 是曲线 $y = f(x)$ 的拐点，且 $f''(x_0)$ 存在，则必有 $f''(x_0) = 0$。这是拐点存在的必要条件。

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难度： ⭐ 考点： #拐点 #二阶导数

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📖 相关公式与知识点:

• 拐点：曲线凹凸性改变的分界点。
• 必要条件：若 $f''(x_0)$ 存在且 $x_0$ 为拐点，则 $f''(x_0) = 0$。

思路分析

曲线的拐点由二阶导数穿过该点时是否“变号”决定。当假设函数在该点二阶可导时，结合微积分基本性质可证，其导数值只能为 0。

易错点

经常把必要条件当充分条件用。记住 $f''(x_0)=0$ 还需要结合两侧变号，才能断定是拐点。

🔄 举一反三

1. 曲线 $y = x^4$ 在 $x=0$ 处的二阶导数 $f''(0) = 0$，则 $(0,0)$ 是拐点。 ( )
   查看练习答案与解析

   **答案：**错误 解析：$f''(x) = 12x^2$。虽然 $f''(0) = 0$，但当 $x$ 穿过 0 时，$f''(x) \ge 0$ 始终不变号，故不是拐点。

3. 设 $E\subset R^2$ 为有界无限点集，则 $E$ 在 $R^2$ 中至少有一个聚点。

查看答案与解析

**答案：**正确

解析： 这是 Bolzano-Weierstrass 定理（聚点定理） 在 $R^2$（乃至 $R^n$）空间上的推广：任意有界无限点集必有聚点。

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难度： ⭐⭐ 考点： #聚点定理 #点集拓扑

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📖 相关公式与知识点:

• 聚点：点 $x$ 的任一去心邻域内都含有集合 $E$ 的无限多个点。

思路分析

本题直接考查实数空间拓扑基础。聚点定理是实数完备性系列定理之一，只需要牢记“有界+无限”这两个产生聚点的充要驱动力。

易错点

注意忽略“无限”两个字。有限集哪怕被牢牢锁在有界区域内，也没有聚点。

🔄 举一反三

1. $R^1$ 上的有界闭区间 $[a, b]$ 中的数列必有收敛子列。 ( )
   查看练习答案与解析

   **答案：**正确 **解析：**这是致密性定理，与聚点定理完全等价。

4. $\int_{-1}^{1} \sin^5 x dx = 0$。

查看答案与解析

**答案：**正确

解析： 被积函数 $f(x) = \sin^5 x$。 因为 $f(-x) = \sin^5(-x) = (-\sin x)^5 = -\sin^5 x = -f(x)$，所以 $f(x)$ 是奇函数。 根据定积分的对称性质，奇函数在关于原点对称的区间 $[-1, 1]$ 上的定积分为 0。

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难度： ⭐ 考点： #定积分 #奇偶性

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📖 相关公式与知识点:

• $\int_{-a}^{a} f_{odd}(x) dx = 0$。

思路分析

在求解定积分前，首要习惯是审视区间是否对称。一看到 $[-1, 1]$，立刻检验被积函数的奇偶性以简化计算。

易错点

不要去套用繁琐的三角函数降幂公式或强行硬算积分，极易失误。

🔄 举一反三

1. 计算 $\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x dx$。
   查看练习答案与解析

   答案：$0$ **解析：**偶函数乘以奇函数仍为奇函数，积分区间对称，得 0。

5. 若 $f$ 在 $[a, b]$ 上有无限个间断点, 则 $f$ 在 $[a, b]$ 上必不可积。

查看答案与解析

**答案：**错误

解析： 一个函数在闭区间上可积的条件是有界且间断点集的测度为 0。 无限个间断点完全可能是可积的。例如黎曼函数在 $[0, 1]$ 上有无穷多个间断点（在所有有理数点处都不连续），但它在该区间上黎曼可积，积分值为 0。

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难度： ⭐⭐ 考点： #黎曼可积性 #间断点

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📖 相关公式与知识点:

• Lebesgue 定理：有界函数可积 $\Leftrightarrow$ 间断点集测度为 0。

思路分析

要打破“无限个间断点意味着支离破碎、不可积”的直觉，牢记“可数个点测度为 0，不影响可积”的规律。

易错点

容易把“点数无限”和“测度非零”画上等号。

🔄 举一反三

1. 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调，则 $f(x)$ 可积。 ( )
   查看练习答案与解析

   **答案：**正确 **解析：**单调函数的间断点最多是可数的，因此必可积。

6. $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|dx$ 收敛 $\Leftrightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛。

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**答案：**错误

解析： 绝对收敛必收敛（$\Rightarrow$ 成立），但反之不成立（$\Leftarrow$ 错误）。 反例：考虑反常积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$。 该积分由狄利克雷判别法可证收敛，但其绝对值积分 $\int_{1}^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx$ 发散。

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难度： ⭐⭐ 考点： #反常积分 #绝对收敛 #条件收敛

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📖 相关公式与知识点:

• 绝对收敛必收敛。

思路分析

本题考查无穷区间上积分收敛强弱的区别。振荡衰减函数在无穷远处通过正负抵消能产生收敛，但去掉正负号后（绝对值）由于衰减过慢，会导致面积无限大。

易错点

混淆有限区间和无穷区间的性质。

🔄 举一反三

1. 级数 $\sum a_n$ 绝对收敛，则级数 $\sum a_n^2$ 收敛。 ( )
   查看练习答案与解析

   **答案：**正确 **解析：**项趋于0，最终 $a_n^2 \le |a_n|$，比原级数更小，必收敛。

7. 设 $f$ 为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$ 在 $(-R,R)$ 上的和函数。若 $f$ 为奇函数，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$ 仅出现奇次幂的项。

查看答案与解析

**答案：**正确

解析： 因为 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 是奇函数，所以 $f(-x) = -f(x)$。 展开得：

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (-1)^n x^n = - \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$

根据幂级数展开式的唯一性，对应项系数必须相等，即：

$$a_n (-1)^n = -a_n$$

• 当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n = 1$，则 $a_n = -a_n \Rightarrow a_n = 0$。
• 当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n = -1$，则 $-a_n = -a_n$ 恒成立。 因此，所有偶次幂的项系数均为 0。

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难度： ⭐ 考点： #幂级数 #奇偶函数

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📖 相关公式与知识点:

• 幂级数展开唯一性。

思路分析

利用奇函数的定义 $f(-x) = -f(x)$，代入通项提取系数的算式，比对偶数项即可。

易错点

不要漏掉 $x=0$ 邻域内解析的充要条件支撑。

🔄 举一反三

1. 设 $f(x)$ 是偶函数，则其在 $x=0$ 处的展开式仅包含偶次幂项。 ( )
   查看练习答案与解析

   **答案：**正确 **解析：**推导同理，奇次项的系数 $a_{2k-1}$ 全归零。

8. 边界点一定是聚点。

查看答案与解析

**答案：**错误

解析： 边界点可以是孤立点。孤立点是边界点，但绝不可能是聚点。 例如集合 $E = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\}$。点 $1$ 是边界点，但其去心邻域内不含有 $E$ 中的任何其他点，故 $1$ 不是聚点。

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难度： ⭐⭐ 考点： #边界点 #聚点 #孤立点

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📖 相关公式与知识点:

• 聚点定义。

思路分析

寻找拓扑学中的反例。想一想属于集合但与周围人“格格不入”的孤立点，它们满足边界点的资格，但破坏了聚点的无限邻近需求。

易错点

把边界点和聚点概念混作一谈，缺乏反例意识。

🔄 举一反三

1. 聚点一定属于该集合。 ( )
   查看练习答案与解析

   **答案：**错误 **解析：**开区间 $(0, 1)$ 的端点 $0$ 和 $1$ 都是聚点，但不在区间内。

二、填空题（本大题共 2 小题，每小题 3 分，共 6 分）

1. 闭区间套定理的内容表述为：

查看答案与解析

答案： 设 $[a_n, b_n]$ 为一闭区间序列，满足： (1) 包含关系：$[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]$； (2) 区间长度趋于零：$\lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = 0$。 则存在唯一的实数 $\xi$，使得 $\xi \in [a_n, b_n]$ 对所有 $n=1,2,\dots$ 成立，且有 $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \xi$。

解析： 本题属于基础数学分析定理的记忆。

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难度： ⭐⭐ 考点： #闭区间套定理 #实数完备性

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思路分析

写定理必须兼顾全面性：条件包含区间递减包含、长度归零；结论包含点存在且唯一。

易错点

表述时忽略“闭”区间或“长度趋向于 0”，两者缺一不可。

🔄 举一反三

1. 若定理中条件改为开区间，结论还成立吗？
   查看练习答案与解析

   **答案：**不成立。 解析：$(0, 1/n)$ 长度趋于 0 且相互包含，但它们没有任何共同交集。

2. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n n!}{n^n}$ 当 $|x| < e$ 时级数是：_________ （判断：发散 / 条件收敛 / 绝对收敛）

查看答案与解析

**答案：**绝对收敛

解析： 设级数通项绝对值为 $u_n = \frac{|x|^n n!}{n^n}$。 比值极限：

$$\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\to\infty} |x| \cdot \frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}} = |x| \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} = \frac{|x|}{e}$$

当 $\rho < 1$ 时级数绝对收敛，即 $|x| < e$。

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难度： ⭐⭐ 考点： #比值判别法 #敛散性

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思路分析

遇到阶乘与 $n^n$ 的组合，达朗贝尔比值测试法几乎是唯一首选的武器。

易错点

求极限时不要忘了第二重要极限的倒数结果。

🔄 举一反三

1. 当 $x = e$ 时，级数敛散性如何？
   查看练习答案与解析

   **答案：**发散 **解析：**结合斯特林公式，得知通项最终不趋近于 0。

三、计算题（本大题共 4 小题，每小题 7 分，共 28 分）

1. 求由两抛物线 $y^{2} = x$ 与 $y = x^{2}$ 围成的平面图形面积 $S$。

查看答案与解析

答案：$S = \frac{1}{3}$

解析： 联立方程得交点横坐标 $x_1 = 0, x_2 = 1$。 积分表达式为：

$$S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3}$$

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难度： ⭐ 考点： #平面图形面积

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思路分析

简单直白的微积分几何应用。画图定位上方曲线，代入公式一步求解。

易错点

对积分基本幂函数积分算式的分母化简粗心。

🔄 举一反三

1. 求 $y=x$ 和 $y=x^2$ 的围成面积。
   查看练习答案与解析

   答案：$\frac{1}{6}$解析：$\int_0^1 (x-x^2)dx = 1/6$。

2. 求极限 $\lim_{n\to \infty}n\left(\frac{1}{n^2 + 1} +\frac{1}{n^2 + 2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2 + n^2}\right)$。

查看答案与解析

答案：$\frac{\pi}{4}$

解析：

$$I = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2} \cdot \frac{1}{n} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan x]_0^1 = \frac{\pi}{4}$$

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难度： ⭐⭐ 考点： #定积分定义

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思路分析

当极限长得像是一串无穷长式子的加和，且每项的分母项具备相似增长结构时，提取 $1/n$ 改写为黎曼和。

易错点

直接盲目用夹逼准则，往往会夹逼出相同的无效界限。

🔄 举一反三

1. 求 $\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n+i}$。
   查看练习答案与解析

   答案：$\ln 2$ **解析：**定积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx = \ln 2$。

3. 求 $\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\int_0^x e^{t^2}dt\right)^2}{\int_0^x e^{2t^2}dt}$。

查看答案与解析

答案：$0$

解析： 第一次洛必达法则：

$$\lim_{x\to \infty} \frac{2e^{x^2}\int_0^x e^{t^2}dt}{e^{2x^2}} = \lim_{x\to \infty} \frac{2\int_0^x e^{t^2}dt}{e^{x^2}}$$

第二次洛必达法则：

$$\lim_{x\to \infty} \frac{2e^{x^2}}{2x e^{x^2}} = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

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难度： ⭐⭐ 考点： #洛必达法则 #变上限积分

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思路分析

分母是含有指数底数的积分上限函数，求导后能完美消除指数项。

易错点

对分子 $\left(\int\right)^2$ 进行复合求导时千万别忘记乘以内部求导出来的因子。

🔄 举一反三

1. 计算 $\lim_{x\to 0} \frac{\int_0^x \sin t^2 dt}{x^3}$。
   查看练习答案与解析

   答案：$\frac{1}{3}$ **解析：**求导得 $\sin x^2 / (3x^2) \to 1/3$。

4. 要制作一个有盖的圆柱形罐头，其体积为 $V$ 不变，问怎样选择其高与底面半径使得其表面积最小？

查看答案与解析

**答案：**当高 $h$ 等于底面直径 $2r$ 时表面积最小。

解析： 表面积 $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$。体积 $V = \pi r^2 h \Rightarrow h = \frac{V}{\pi r^2}$。

$$S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$$

求导 $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$。 代回得 $h = 2r$。

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难度： ⭐⭐ 考点： #最优值求解

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思路分析

先列出多变量方程，用已知常量条件缩减至一元函数，求极值即可。

易错点

审题！“有盖”是指上下两个底面，不要算成无盖。

🔄 举一反三

1. 无盖圆柱表面积最小的比例？
   查看练习答案与解析

   答案：$h=r$解析：$S=\pi r^2 + 2V/r$，求导得 $h=r$。

四、敛散性判定（本大题共 4 小题，1-3题各 4 分，4题 6 分，共 18 分）

1. $\int_{1}^{+\infty}\frac{x\arctan x}{1 + x^3} dx$

查看答案与解析

**答案：**收敛

解析： 因为 $x \to +\infty$ 时，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$。 通项等价于 $\frac{\pi}{2x^2}$。根据 $p=2 > 1$ 的 $p$-积分定理判定收敛。

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难度： ⭐⭐ 考点： #比较判别法

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思路分析

遇到反常积分，优先考虑极限状态下的等价无穷大/小替代。

易错点

混淆了无穷远处的极限替代规律。

🔄 举一反三

1. $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x} dx$。
   查看练习答案与解析

   **答案：**发散 **解析：**等价于 $1/x$。

2. $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$。

查看答案与解析

**答案：**绝对收敛

解析： 根值极限 $\lim \left( \frac{n}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} < 1$。收敛。

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难度： ⭐ 考点： #根值判别法

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思路分析

遇到含有整体系数 $n$ 次方的级数，利用根值法则能够迅速扒掉外壳。

易错点

注意只有小于 1 才成立。

🔄 举一反三

1. 判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n+1}{n}\right)^n$。
   查看练习答案与解析

   **答案：**发散 **解析：**极限为 2 > 1。

3. $\sum_{n = 3}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^p}$。

查看答案与解析

答案：$p > 1$ 收敛，$p \le 1$ 发散。

解析： 使用积分判别法，转化为反常积分 $\int \frac{1}{u^p}du$。结论同 $p$-积分规则一致。

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难度： ⭐⭐ 考点： #积分判别法

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思路分析

带有对数项的连续函数，常用换元积分来判断对应的级数状态。

易错点

直接当成简单的幂函数套用判别法。

🔄 举一反三

1. 判断 $\sum \frac{1}{n\ln n}$。
   查看练习答案与解析

   **答案：**发散 解析：$p=1$ 的特例。

4. $\sum (-1)^n \sin \frac{2}{n}$ （证明条件收敛）

查看答案与解析

证明： (1) 莱布尼茨定理：单调下降趋于 0，故交错级数收敛。 (2) 绝对值级数：$\sin \frac{2}{n} \sim \frac{2}{n}$。调和级数发散。 故条件收敛。

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难度： ⭐⭐ 考点： #莱布尼茨判别法

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思路分析

条件收敛需要跑完两套流程：交错判断本身是否收敛 + 拆开看绝对值是否发散。

易错点

证明交错级数时忘记检查正项是否单调递减。

🔄 举一反三

1. $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ 属于什么？
   查看练习答案与解析

   **答案：**条件收敛 **解析：**同理可证。

五、综合大题（本大题共 1 小题，共 8 分）

1. 把 $f(x) = x$ 在 $(0,2)$ 内展开成余弦级数。

查看答案与解析

答案：

$$f(x) = 1 - \frac{8}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} \cos \frac{(2n-1)\pi x}{2}$$

解析： 偶延拓，半周期 $l=2$。

$$a_0 = \int_0^2 x dx = 2$$

$$a_n = \int_0^2 x \cos \frac{n\pi x}{2} dx = \frac{4}{n^2\pi^2}((-1)^n - 1)$$

当 $n$ 为奇数时保留系数，偶数则消项。

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难度： ⭐⭐⭐ 考点： #余弦级数

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思路分析

余弦级数对应偶延拓，正弦级数对应奇延拓。记住积分系数中前半段的修正因子。

易错点

分部积分中三角函数前面的代数项容易写错。

🔄 举一反三

1. 正弦级数展开？
   查看练习答案与解析

   答案：$\frac{4}{\pi} \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin \frac{n\pi x}{2}$ **解析：**对 $b_n$ 展开计算即可。

六、综合大题（本大题共 1 小题，共 8 分）

1. 求级数 $x + \frac{x^3}{3} + \dots$ 的和函数及定义域。

查看答案与解析

答案：$S(x) = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$，定义域 $(-1, 1)$。

解析： 求导 $S'(x) = \sum x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}$。积分求回，两端带入判断不收敛。

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难度： ⭐⭐⭐ 考点： #幂级数和函数

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思路分析

对于项的分母有递增关系的级数，优先考虑微分法或者积分法降阶计算。

易错点

最终忘记在边界点进行手动验算。

🔄 举一反三

1. $\sum \frac{x^n}{n}$ 的和？
   查看练习答案与解析

   答案：$-\ln(1-x)$ **解析：**导数为 $\frac{1}{1-x}$。

七、证明题（本大题共 2 小题，1题 6 分，2题 10 分，共 16 分）

1. $\sum a_n^2$ 收敛，证明 $\sum \frac{a_n}{n}$ 也收敛。

查看答案与解析

证明：

$$0 \le \frac{a_n}{n} \le \frac{1}{2}(a_n^2 + \frac{1}{n^2})$$

两项均收敛，根据比较法则得证。

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难度： ⭐⭐ 考点： #比较法证明

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思路分析

求和放缩中，经典的平方不等式是连接乘积项与平方和的桥梁。

易错点

忽略 $a_n > 0$ 的基础条件。

🔄 举一反三

1. $\sum a_n^2, \sum b_n^2$ 收敛，证明 $\sum a_n b_n$ 绝对收敛。
   查看练习答案与解析

   **证明：**利用同样的基础不等式放缩。

2. 设 $s(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n(n+1)}$，$x \in [0, 1]$。证明 $\lim_{x\to 1} s(x) = s(1)$ 并求值。

查看答案与解析

证明： 当 $x \in [0, 1]$ 时，$\left|\frac{(-1)^{n-1} x^n}{n(n+1)}\right| \le \frac{1}{n(n+1)}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$ 收敛。 由 Weierstrass M-判别法，级数在 $[0, 1]$ 上一致收敛。 每一项 $\frac{(-1)^{n-1} x^n}{n(n+1)}$ 在 $[0, 1]$ 上连续，故和函数 $s(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，从而 $\lim_{x\to 1} s(x) = s(1)$。

求值：

$$s(1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$$

$$= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+1}$$

已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$，而

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+1} = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m} = 1 - \ln 2$$

故 $s(1) = \ln 2 - (1 - \ln 2) = 2\ln 2 - 1$。

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难度： ⭐⭐⭐ 考点： #一致收敛 #和函数连续性 #级数求和

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📖 相关公式与知识点：

• Weierstrass M-判别法：若 $|u_n(x)| \le M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum u_n(x)$ 一致收敛
• 一致收敛 + 每一项连续 $\implies$ 和函数连续
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$

思路分析

证明 $\lim_{x\to 1} s(x) = s(1)$ 的本质是证明 $s(x)$ 在 $x=1$ 处连续。对于函数项级数，一致收敛是保证和函数连续的关键条件。先通过 Weierstrass M-判别法证明一致收敛，再由连续性得极限等式。求 $s(1)$ 时利用裂项相消将级数转化为已知的 $\ln 2$ 级数。

易错点

• 直接交换极限与求和符号而不验证一致收敛条件
• 裂项时符号处理不当，注意 $(-1)^{n-1}$ 的交替规律
• 混淆 $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n+1}$ 与 $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 的关系

🔄 举一反三

1. 设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$，证明 $S(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上连续。
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   证明： 当 $|x| \le 1$ 时，$\left|\frac{x^n}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2}$。由 Weierstrass M-判别法，级数在 $[-1, 1]$ 上一致收敛。每一项 $\frac{x^n}{n^2}$ 连续，故和函数 $S(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上连续。