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《数学分析》期末试卷 (精选05)
一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，总计 15 分）
- $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sqrt{xy + 4} - 2}{xy} =$ ______
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答案： $\frac{1}{4}$
详细解析： 令 $t = xy$。当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$t \to 0$。 原式变为：
难度： ⭐ 考点： #多元函数极限 #等价无穷小
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📖 相关公式与知识点：
- $\sqrt{1+x}-1 \sim \frac{1}{2}x$ (当 $x \to 0$)
- 有理化技巧：$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
思路分析
多元函数极限的核心策略是化为一元。观察到分子分母都只依赖 $xy$ 这个整体，令 $t=xy$ 即可将二元极限转化为熟悉的一元极限。然后利用有理化消去不定式。
易错点
直接对 $(x,y)$ 分别取极限（先 $x \to 0$ 再 $y \to 0$）可能得到错误结果，因为二元极限要求沿任意路径都趋于同一值。
🔄 变式训练
求 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{e^{xy}-1}{xy}$。
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答案： 1。利用 $e^t-1 \sim t$ 即可。
- 设 $z = z(x, y)$ 是由方程 $e^{xy} + z - 2x^2 yz = 0$ 所确定的隐函数，则 $\frac{\partial z}{\partial x} =$ ______
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答案： $\frac{4xyz - y e^{xy}}{1 - 2x^2 y}$
详细解析： 设 $F(x, y, z) = e^{xy} + z - 2x^2 yz = 0$。 根据隐函数求导公式：
计算偏导数：
- $F_x = y e^{xy} - 4xyz$
- $F_z = 1 - 2x^2 y$ 则：
难度： ⭐⭐ 考点： #隐函数求导 #多元复合函数微分
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📖 相关公式与知识点：
- 隐函数求导公式：对于 $F(x,y,z)=0$，$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$
- 链式法则：$F_x$ 是将 $y,z$ 视为常数对 $x$ 求偏导
思路分析
隐函数求导的关键是构造辅助函数 $F(x,y,z)$ 将方程化为 $F=0$ 的形式。然后直接套用公式 $-\frac{F_x}{F_z}$，注意分母是 $F_z$（对因变量 $z$ 的偏导），不要搞混分子分母。
易错点
- 求 $F_x$ 时忘记 $z$ 也是 $x$ 的函数，但公式 $F_x$ 中 $z$ 应视为独立变量
- 符号容易出错：公式前面有负号，不要遗漏
🔄 变式训练
设 $x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$。
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答案： $\frac{3yz - 2x}{2z - 3xy}$。 解析： 设 $F = x^2 + y^2 + z^2 - 3xyz$，则 $F_x = 2x - 3yz, F_z = 2z - 3xy$。
- 改变累次积分顺序 $\int_{0}^{1} dx \int_{x}^{2x} f(x, y) dy =$ ______
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答案： $\int_0^1 dy \int_{y/2}^y f(x,y) dx + \int_1^2 dy \int_{y/2}^1 f(x,y) dx$
详细解析： 积分区域 $D$ 由 $0 \leqslant x \leqslant 1, x \leqslant y \leqslant 2x$ 围成。 其边界为：$x=0, x=1, y=x, y=2x$。 顶点坐标为 $(0,0), (1,1), (1,2)$。 改为先对 $x$ 积分，需要沿 $y$ 轴分段：
- 当 $0 \leqslant y \leqslant 1$ 时，$y/2 \leqslant x \leqslant y$。
- 当 $1 \leqslant y \leqslant 2$ 时，$y/2 \leqslant x \leqslant 1$。 故：
难度： ⭐⭐ 考点： #二重积分 #交换积分次序
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📖 相关公式与知识点：
- 交换积分次序的本质是重新描述积分区域 $D$
- 从 $x$ 型区域转为 $y$ 型区域：将边界 $y=f(x)$ 改写为 $x=g(y)$
思路分析
交换积分次序的三步法：① 画出积分区域 $D$，标出所有边界曲线和交点；② 确定新积分变量的范围（从最左到最右或从最下到最上）；③ 检查是否需要分段——当区域不是"凸"的时，往往需要拆成多个子区域分别积分。
易错点
- 忘记检查是否需要分段，直接写一个积分表达式
- 边界函数改写时不等号方向搞反（如 $x \le y \le 2x$ 改写为 $y/2 \le x \le y$）
🔄 变式训练
交换 $\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^1 f(x,y) dx$ 的积分次序。
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答案： $\int_0^1 dx \int_0^{x^2} f(x,y) dy$。 解析： 区域为 $0 \le y \le 1, \sqrt{y} \le x \le 1$，即 $0 \le x \le 1, 0 \le y \le x^2$。
- 幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^n}{n(n + 1)}$ 的收敛半径 $R =$ ______
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答案： 1
详细解析： 系数 $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$。 利用比值法求收敛半径：
难度： ⭐ 考点： #幂级数 #收敛半径
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📖 相关公式与知识点：
- 比值法：$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$
- 根值法：$R = \frac{1}{\rho}$，其中 $\rho = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
- 收敛半径只取决于系数 $a_n$，与 $x$ 无关
思路分析
求收敛半径时，先观察系数 $a_n$ 的形式。若 $a_n$ 含有阶乘或指数，优先用比值法；若 $a_n$ 是 $n$ 次方的形式，优先用根值法。本题 $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ 是简单的有理式，比值法直接约分即可。
易错点
- 混淆收敛半径 $R$ 和收敛区间：$R$ 是一个数，收敛区间是 $(-R, R)$ 或 $(x_0-R, x_0+R)$
- 比值法公式中分子是 $a_n$、分母是 $a_{n+1}$，不要写反
🔄 变式训练
求 $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ 的收敛半径。
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答案： $+\infty$。 解析： $\lim \frac{1/n!}{1/(n+1)!} = \lim (n+1) = \infty$。
- 若 $L$ 是区域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leqslant 2x\}$ 边界曲线的正向，则曲线积分 $\int_ {L} (x - y) d x + (y + x) d y =$ ______
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答案： $2\pi$
详细解析： 区域 $D$ 是圆 $(x-1)^2 + y^2 \leqslant 1$，其面积为 $\pi \times 1^2 = \pi$。 利用格林公式：
其中 $P = x-y, Q = y+x$。 则 $\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \frac{\partial P}{\partial y} = -1$。
难度： ⭐⭐ 考点： #格林公式 #曲线积分
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📖 相关公式与知识点：
- 格林公式：$\oint_L P dx + Q dy = \iint_D (Q_x - P_y) dA$
- 正向规定：沿边界行走时区域始终在左侧（即逆时针方向）
- 当 $Q_x - P_y$ 为常数时，积分值 = 常数 × 区域面积
思路分析
遇到封闭曲线上的对坐标曲线积分，首选格林公式将其转化为二重积分。本题中 $Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2$ 恰好是常数，积分直接等于 $2 \times \text{Area}(D)$，无需复杂计算。先识别区域 $D$ 是圆 $(x-1)^2+y^2 \le 1$，面积一目了然。
易错点
- 格林公式要求曲线封闭且取正向，若不封闭需补线
- $Q_x - P_y$ 的顺序是 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$，不要写反
🔄 变式训练
计算 $\oint_L y^2 dx + x^2 dy$，其中 $L$ 为正方形 $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$ 的边界。
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答案： 0。 解析： $\iint_D (2x - 2y) dA = \int_0^1 (2x-1) dx = 0$。
二、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，总计 15 分）
- 设向量函数 $\vec{A} = (x^2yz, xy^2z, xyz^2)$，则 $\operatorname{grad}(\operatorname{div} \vec{A})$ 为（ ）
- A. $6(yz, xz, xy)$
- B. $6(yz, 3xz, 6xy)$
- C. $6(yz, 6xz, 3xy)$
- D. $6(yz, 6xy, 6xz)$
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答案： A
详细解析：
- 首先计算散度 $\operatorname{div} \vec{A}$：
- 然后计算梯度 $\operatorname{grad}(6xyz)$：
对照选项，A 项完全一致。
难度： ⭐⭐ 考点： #散度 #梯度 #向量分析
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📖 相关公式与知识点：
- $\operatorname{div} \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$（结果是标量）
- $\operatorname{grad} f = \nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$（结果是向量）
- $\operatorname{curl} \vec{A} = \nabla \times \vec{A}$（结果是向量）
思路分析
本题是复合运算：先求散度得到标量函数 $6xyz$，再对标量函数求梯度得到向量。注意运算顺序：$\operatorname{grad}(\operatorname{div} \vec{A})$ 是先 div 后 grad，不要搞反。散度的对称性使得三个分量恰好轮换对称。
易错点
- 混淆三种算子：div 作用于向量得标量，grad 作用于标量得向量，curl 作用于向量得向量
- 求散度时忘记各项都要偏导，漏掉某一项
🔄 变式训练
若 $\vec{A} = (x, y, z)$，求 $\operatorname{div} \vec{A}$。
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答案： 3。 解析： $\frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1+1+1=3$。
- 若区域 $D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leqslant 2\}$，则 $\iint_{D} -1 \, dx \, dy =$（ ）
- A. $\pi$
- B. $\frac{1}{3}\pi$
- C. $3\pi$
- D. $-2\pi$
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答案： D
详细解析： 区域 $D$ 是半径为 $\sqrt{2}$ 的圆盘，其面积为 $\text{Area}(D) = \pi \times (\sqrt{2})^2 = 2\pi$。 积分值为：
难度： ⭐ 考点： #二重积分 #几何意义
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- $\iint_D 1 \, dA = \text{Area}(D)$（二重积分的几何意义）
- $\iint_D c \cdot f(x,y) \, dA = c \iint_D f(x,y) \, dA$（常数可提出）
- 圆盘 $x^2+y^2 \le R^2$ 的面积为 $\pi R^2$
思路分析
当被积函数为常数时，二重积分退化为"常数 × 区域面积"。本题被积函数是 $-1$，只需计算圆盘面积再乘以 $-1$。注意半径是 $\sqrt{2}$ 而非 $2$。
易错点
- 把 $x^2+y^2 \le 2$ 的半径误认为 $2$（实际是 $\sqrt{2}$）
- 忘记负号：积分值可以是负数，表示曲面在 $xy$ 平面下方
🔄 变式训练
计算 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} dA$，其中 $D$ 为单位圆盘 $x^2+y^2 \le 1$。
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答案： $2\pi/3$。 解析： 极坐标下 $\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r \cdot r dr = 2\pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\pi$。
- 下列级数中收敛的是（ ）
- A. $\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\cos \frac{1}{n}$
- B. $\sum_{n = 2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\ln n}$
- C. $\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{\ln n}$
- D. $\sum_{n = 1}^{\infty}(1 - \frac{1}{n})^n$
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答案： B
详细解析：
- (A) $\lim_{n \to \infty} \cos \frac{1}{n} = 1 \neq 0$，级数发散。
- (B) 符合莱布尼茨准则：$\frac{1}{\ln n}$ 单调递减且趋于 0，级数收敛。
- (C) 正项级数，$\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$，由比较判别法，级数发散。
- (D) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = e^{-1} \neq 0$，级数发散。
难度： ⭐ 考点： #级数敛散性 #莱布尼茨准则
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 级数收敛的必要条件：$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$（不满足则必发散）
- 莱布尼茨准则：交错级数 $\sum (-1)^n a_n$，若 $a_n \searrow 0$，则收敛
- 比较判别法：$\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$（$n$ 充分大时），而 $\sum \frac{1}{n}$ 发散
思路分析
判断级数敛散性的优先级：① 先看通项是否趋于 0（必要条件），不趋于 0 直接判发散；② 正项级数用比较/比值/根值法；③ 交错级数用莱布尼茨准则。本题逐一排查：A、D 通项不趋于 0 直接排除；C 是正项级数且比调和级数大，发散；B 满足莱布尼茨条件，收敛。
易错点
- 忘记先检查必要条件 $\lim a_n = 0$，直接套判别法浪费时间
- 莱布尼茨准则要求 $a_n$ 单调递减，只检查趋于 0 不够
🔄 变式训练
判断级数 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n}$ 的敛散性。
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答案： 条件收敛。 解析： 符合莱布尼茨准则，故收敛；但绝对值级数 $\sum 1/n$ 发散。
- 曲面 $z = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 0, 1)$ 的法线方程为（ ）
- A. $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z+1}{1}$
- B. $\frac{x-1}{2} = \frac{y}{0} = \frac{z-1}{1}$
- C. $\frac{x-1}{-2} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{-1}$
- D. $\frac{x-1}{2} = \frac{y}{0} = \frac{z-1}{-1}$
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答案： D
详细解析： 设曲面方程为 $F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z = 0$。 在该点的法向量为 $\vec{n} = (F_x, F_y, F_z) = (2x, 2y, -1)$。 代入点 $(1, 0, 1)$ 得 $\vec{n} = (2, 0, -1)$。 法线方程为：
难度： ⭐⭐ 考点： #曲面法线 #空间解析几何
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 曲面 $F(x,y,z)=0$ 在点 $P_0$ 的法向量：$\vec{n} = (F_x, F_y, F_z)|_{P_0}$
- 法线方程：$\frac{x-x_0}{n_1} = \frac{y-y_0}{n_2} = \frac{z-z_0}{n_3}$
- 当法向量某分量为 0 时，对应坐标恒等于该点坐标（如 $n_2=0$ 则 $y \equiv y_0$）
思路分析
求法线方程的两步法：① 将曲面写成 $F(x,y,z)=0$ 的形式；② 计算三个偏导数在给定点的值得到法向量；③ 代入点法式方程。本题中 $F_y = 2y$ 在 $y=0$ 处为 0，说明法线在 $y$ 方向无变化，即 $y \equiv 0$。
易错点
- 忘记将曲面方程移项写成 $F=0$ 的形式（如 $z=x^2+y^2$ 应写为 $x^2+y^2-z=0$）
- 法向量分量与分母对应关系写错（$F_x$ 对应 $x-x_0$ 的分母）
🔄 变式训练
求球面 $x^2+y^2+z^2=3$ 在点 $(1,1,1)$ 的切平面方程。
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答案： $x+y+z=3$。 解析： 法向量为 $(2,2,2) \parallel (1,1,1)$，切平面为 $1(x-1)+1(y-1)+1(z-1)=0$。
- 设函数 $f(x) = \frac{x}{2}, -\pi < x < \pi$，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $b_n (n \geqslant 1)$ 为（ ）
- A. $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$
- B. $\frac{(-1)^{n}}{n}$
- C. $\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}$
- D. $\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}$
查看答案与解析
答案： A
详细解析： 由于 $f(x)$ 是奇函数，其余弦系数 $a_n = 0$，正弦系数：
利用分部积分：
故 $b_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n} (-1)^{n+1} = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$。
难度： ⭐⭐ 考点： #傅里叶级数 #奇函数
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 奇函数的傅里叶级数只含正弦项：$a_n = 0$，$b_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dx$
- 分部积分公式：$\int u dv = uv - \int v du$
- $(-1)^n = \cos n\pi$，$(-1)^{n+1} = -\cos n\pi$
思路分析
傅里叶系数计算的关键判断：先看函数的奇偶性。$f(x)=x/2$ 是奇函数，直接得 $a_n=0$，只需算 $b_n$。然后利用奇函数在对称区间上的积分性质将积分限化为 $[0, \pi]$，再用分部积分处理 $x \sin nx$。
易错点
- 忘记利用奇偶性简化，直接套用完整的 $a_n, b_n$ 公式增加计算量
- 分部积分时符号处理不当，特别是 $\cos nx$ 在 $0$ 和 $\pi$ 处的取值
🔄 变式训练
若 $f(x) = \pi, 0 < x < \pi$ 且为奇延拓，求 $b_n$。
查看答案与解析
答案： $\frac{2}{n}(1 - (-1)^n)$。 解析： $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \pi \sin nx dx = 2 [-\frac{1}{n} \cos nx]_0^\pi$。
三、解答下列各题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，总计 10 分）
- 设 $z = \sin xy + f(x^2 + y^2)$，其中函数 $f(u)$ 具有二阶导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。
查看答案与解析
详细解析： 首先求一阶偏导：
再对 $y$ 求偏导：
难度： ⭐⭐ 考点： #多元复合函数微分 #二阶偏导数
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 链式法则：$\frac{\partial}{\partial x} f(u(x,y)) = f'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$
- 混合偏导与次序无关（当二阶连续时）：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$
- 乘积求导：$\frac{\partial}{\partial y}[y \cos xy] = \cos xy - xy \sin xy$
思路分析
求混合偏导 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 的策略：先对 $x$ 求一阶偏导，再对结果关于 $y$ 求偏导。关键是要逐项检查一阶结果中哪些部分含有 $y$：$\sin xy$ 中的 $y$（显式）、$y \cos xy$ 中的 $y$（显式）、$f(x^2+y^2)$ 中的 $y$（隐式通过 $u$）。
易错点
- 对 $y \cos xy$ 求导时忘记用乘法法则，只对 $\cos xy$ 求导
- $f'(x^2+y^2)$ 对 $y$ 求导时漏掉链式因子 $2y$
🔄 变式训练
对上述 $z$，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$。
查看答案与解析
答案： $-y^2 \sin xy + 2f'(x^2+y^2) + 4x^2 f''(x^2+y^2)$。
- 求函数 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^2+y^2} & x^2 + y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2 + y^2 = 0 \end{cases}$ 在点 $(0,0)$ 处的一阶偏导数，并讨论其在该点的全微分存在性。
查看答案与解析
详细解析：
- 求一阶偏导数：
- 讨论全微分存在性： 若全微分存在，则必有：
代入计算：
令 $\Delta x = \rho \cos \theta, \Delta y = \rho \sin \theta$：
极限值依赖于趋近路径（角度 $\theta$），故极限不存在。 结论：函数在 $(0,0)$ 点的全微分不存在。
难度： ⭐⭐⭐ 考点： #全微分 #偏导数定义
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 偏导数定义：$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x}$
- 全微分定义：$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$，其中 $\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$
- 可微的充要条件：$\lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - (f_x \Delta x + f_y \Delta y)}{\rho} = 0$
思路分析
判断可微性的标准流程：① 先用定义求偏导数 $f_x, f_y$（注意此时沿坐标轴方向，函数值恰好为 0）；② 构造全增量与线性主部之差，除以 $\rho$ 取极限；③ 若极限为 0 则可微，否则不可微。本题用极坐标替换后发现极限依赖于 $\theta$，说明沿不同方向极限不同，故不可微。
易错点
偏导数存在并不意味着全微分存在，甚至不意味着函数连续。可微 > 偏导数存在 > 方向导数存在，三者是逐级减弱的关系。
🔄 变式训练
证明 $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ 在 $(0,0)$ 处偏导数存在但不可微。
查看答案与解析
解析： $f_x=0, f_y=0$，但 $\lim \frac{\sqrt{|hk|}}{\sqrt{h^2+k^2}}$ 沿 $y=x$ 为 $1/\sqrt{2} \neq 0$。
四、解答下列各题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，总计 18 分）
- 判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n n!}{n^n}$ 的敛散性。
查看答案与解析
详细解析： 利用比值判别法：
因为 $e \approx 2.718 < 4$，所以 $\frac{4}{e} > 1$。 根据比值判别法，该级数发散。
难度： ⭐⭐ 考点： #比值判别法 #级数敛散性
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 比值判别法：$\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$，$\rho < 1$ 收敛，$\rho > 1$ 发散，$\rho = 1$ 不确定
- 重要极限：$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$
- 斯特林公式的替代：遇到 $n^n$ 和 $n!$ 组合时，比值法通常能消去阶乘
思路分析
通项含 $n!$ 和 $n^n$ 时，比值法是最佳选择，因为 $\frac{(n+1)!}{n!} = n+1$ 和 $\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$ 可以大幅约分。本题的关键一步是将 $\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$ 转化为 $\frac{1}{(1+1/n)^n}$，再利用重要极限得 $1/e$。
易错点
- 比值法中分子是 $a_{n+1}$、分母是 $a_n$，与收敛半径公式恰好相反
- 最终结果要与 1 比较：$\frac{4}{e} \approx 1.47 > 1$，判发散
🔄 变式训练
判别级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。
查看答案与解析
答案： 收敛。 解析： $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{e} < 1$。
- 确定幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(x-1)^{n-1}$ 的收敛区域，并求其和函数。
查看答案与解析
详细解析：
- 收敛半径： 系数 $a_n = n$，$R = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1$。 收敛区间为 $|x-1| < 1$，即 $0 < x < 2$。 端点检查：$x=0$ 和 $x=2$ 时级数通项不趋于 0，均发散。 收敛区域为 $(0, 2)$。
- 和函数： 设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n(x-1)^{n-1}$。 考虑到 $\sum_{n=0}^{\infty} (x-1)^n = \frac{1}{1-(x-1)} = \frac{1}{2-x}$ （当 $0 < x < 2$ 时）。 对两边求导：
难度： ⭐⭐ 考点： #幂级数和函数 #收敛半径
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 几何级数：$\sum_{n=0}^{\infty} t^n = \frac{1}{1-t}$（$|t| < 1$）
- 逐项求导：$\frac{d}{dt} \sum a_n t^n = \sum n a_n t^{n-1}$（在收敛区间内合法）
- 收敛区域 = 收敛区间 + 收敛的端点
思路分析
求幂级数和函数的核心技巧是将其与几何级数建立联系。观察到 $\sum n(x-1)^{n-1}$ 恰好是 $\sum (x-1)^n$ 的导数，因此：① 先写出几何级数的和 $\frac{1}{2-x}$；② 求导即得答案 $\frac{1}{(2-x)^2}$。注意最后要检查端点是否收敛。
易错点
- 忘记检查端点收敛性：收敛区间是 $(0,2)$，但端点 $x=0,2$ 处通项不趋于 0，故收敛区域仍是 $(0,2)$
- 逐项求导后收敛半径不变，但端点收敛性可能改变
🔄 变式训练
求 $\sum_{n=1}^\infty n x^n$ 的和函数。
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答案： $\frac{x}{(1-x)^2}$ ($|x|<1$)。 解析： $x \frac{d}{dx} \sum x^n = x \frac{d}{dx} \frac{1}{1-x}$。
- 选择适当变换计算 $\iint_{D} (x - 2y) \sin(2x + y) dx dy$，其中 $D = \{(x, y) | 0 \leqslant x - 2y \leqslant 1, 0 \leqslant 2x + y \leqslant \pi\}$。
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详细解析： 作变量替换：$u = x - 2y, v = 2x + y$。 雅可比行列式：
则 $dx dy = \frac{1}{|J|} du dv = \frac{1}{5} du dv$。 积分区域变为：$0 \leqslant u \leqslant 1, 0 \leqslant v \leqslant \pi$。
难度： ⭐⭐ 考点： #二重积分 #变量替换
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 雅可比行列式：$J = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{vmatrix}$
- 积分变换：$dx dy = \frac{1}{|J|} du dv$（注意是 $1/|J|$，不是 $|J|$）
- 当积分区域的边界恰好是新变量的坐标线时，变换后区域变为矩形
思路分析
变量替换的选型原则：观察被积函数和积分区域。本题中 $x-2y$ 和 $2x+y$ 同时出现在被积函数和区域边界中，自然令 $u=x-2y, v=2x+y$。变换后区域变为矩形 $[0,1] \times [0,\pi]$，被积函数变为 $u \sin v$，积分可直接分离变量。
易错点
- 雅可比行列式的计算：二阶行列式 $= u_x v_y - u_y v_x$，不要算错符号
- $dx dy = \frac{1}{|J|} du dv$，是除以 $|J|$ 而非乘以
🔄 变式训练
计算 $\iint_D (x+y) dx dy$，其中 $D$ 是由 $x+y=1, x+y=2, x-y=0, x-y=1$ 围成的平行四边形。
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答案： $3/4$。 解析： 令 $u=x+y, v=x-y$，$|J|=2$，$I = \int_0^1 \int_1^2 u \cdot \frac{1}{2} du dv$。
五、计算下列各题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，总计 21 分）
- 计算 $\int_{L} 2(xy^{3} - y^{2}\cos x)dx + (-2y\sin x + 3x^{2}y^{2})dy$，其中 $L$ 为在抛物线 $2x = \pi y^{2}$ 上由点 $(0,0)$ 到点 $(\frac{\pi}{2},1)$ 的一段弧。
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详细解析： 设 $P = 2xy^3 - 2y^2 \cos x$，$Q = -2y \sin x + 3x^2 y^2$。
首先检查积分是否与路径无关：
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}$（相差 $-2y\cos x$），该曲线积分不是路径无关的，不能随意更换路径，必须沿原抛物线 $L$ 直接计算。
沿抛物线参数化：由 $2x = \pi y^2$，令 $y = t$，则 $x = \frac{\pi}{2}t^2$，$t$ 从 $0$ 到 $1$。
代入被积表达式：
则：
分项计算：
第一项：$\displaystyle I_1 = \int_0^1 \frac{7\pi^2}{4} t^6 \, dt = \frac{7\pi^2}{4} \cdot \frac{1}{7} = \frac{\pi^2}{4}$。
第二项：令 $u = \frac{\pi}{2}t^2$，则 $du = \pi t \, dt$，$t^2 = \frac{2u}{\pi}$，$t^3 dt = t^2 \cdot t dt = \frac{2u}{\pi} \cdot \frac{du}{\pi} = \frac{2u}{\pi^2} du$。
由分部积分 $\int u \cos u \, du = u \sin u + \cos u + C$：
故 $I_2 = -\frac{4}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) = \frac{4}{\pi} - 2$。
第三项：令 $u = \frac{\pi}{2}t^2$，$du = \pi t \, dt$，$t dt = \frac{du}{\pi}$。
合计：
难度： ⭐⭐⭐ 考点： #曲线积分 #参数化计算 #路径无关性判定
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 对坐标的曲线积分参数化公式：$\int_L P dx + Q dy = \int_\alpha^\beta \left[ P(x(t),y(t)) \cdot x'(t) + Q(x(t),y(t)) \cdot y'(t) \right] dt$
- 积分与路径无关的充要条件：在单连通区域内 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$
- 若 $P_y \neq Q_x$，则必须沿指定路径计算，不能随意更换路径
思路分析
遇到非封闭曲线的曲线积分，第一步先检查 $P_y$ 与 $Q_x$ 是否相等。本题中 $P_y = 6xy^2 - 4y\cos x$，$Q_x = 6xy^2 - 2y\cos x$，两者不相等，因此积分与路径有关，不能更换路径。此时应沿原曲线直接参数化计算：利用 $2x = \pi y^2$ 将 $x$ 表示为 $y$ 的函数，以 $y$ 为参数进行积分。
易错点
- 关键陷阱：本题 $P_y$ 与 $Q_x$ 形式上相似但系数不同（$-4y\cos x$ vs $-2y\cos x$），容易误判为相等
- 判定路径无关时必须精确计算偏导数，不能凭"感觉"认为相等
- 参数化时注意 $dx$ 与 $dy$ 都要用参数表示
🔄 变式训练
计算 $\int_{(0,0)}^{(1,1)} (2x+y) dx + (x+2y) dy$。
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答案： 3。 解析： $P_y=1, Q_x=1$，路径无关。选择直线路径 $y=x$（则 $dy=dx$），原式变为 $\int_0^1 [(2x+x) + (x+2x)] dx = \int_0^1 6x dx = [3x^2]_0^1 = 3$。
- 计算 $\int_{L} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) ds$，其中 $L$ 为螺旋线 $x = a \cos t, y = a \sin t, z = bt$ ($0 \leqslant t \leqslant 2\pi$) 的一段 ($a > 0, b > 0$)。
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详细解析： 螺旋线的参数方程为： $x = a \cos t, y = a \sin t, z = bt$ 弧微分：
被积函数：
积分：
难度： ⭐⭐ 考点： #对弧长的曲线积分 #螺旋线
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 对弧长曲线积分：$\int_L f ds = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2} dt$
- 弧微分：$ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}$
- 参数法三步：① 写出参数方程；② 计算 $ds$；③ 代入被积函数并确定参数范围
思路分析
对弧长曲线积分的核心是参数化。本题螺旋线已经给出了参数方程，直接代入即可。关键步骤：① 计算 $ds = \sqrt{a^2+b^2} dt$（常数！）；② 将 $x^2+y^2+z^2$ 化为 $a^2+b^2t^2$；③ 积分变成关于 $t$ 的普通定积分。
易错点
- $ds$ 中的 $\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2}$ 不要忘记开方
- 对弧长积分的参数下限必须小于上限（与对坐标积分不同）
- $x^2+y^2 = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = a^2$，不要误算
🔄 变式训练
计算 $\oint_L (x+y) ds$，其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=1$。
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答案： 0。 解析： 由对称性可知积分为 0。
- 计算曲面积分 $\iint_{S} x z^{2} d y d z + (x^{2} y - z^{2}) d z d x + 2 (x y + y^{2} z) d x d y$，其中 $S$ 是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 的外侧。
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详细解析： 利用高斯公式：
其中：
- $P = xz^2 \implies P_x = z^2$
- $Q = x^2 y - z^2 \implies Q_y = x^2$
- $R = 2(xy + y^2 z) \implies R_z = 2y^2$ 散度为 $z^2 + x^2 + 2y^2$。 积分值为：
利用对称性，$\iiint_V x^2 dV = \iiint_V y^2 dV = \iiint_V z^2 dV = \frac{1}{3} \iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) dV$。
采用球面坐标（$x^2+y^2+z^2=r^2, dV = r^2\sin\phi dr d\theta d\phi$）：
难度： ⭐⭐⭐ 考点： #高斯公式 #曲面积分 #对称性
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 高斯公式：$\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_V \operatorname{div} \vec{F} \, dV$
- 散度：$\operatorname{div} \vec{F} = P_x + Q_y + R_z$
- 对称性技巧：球体上 $\iiint x^2 dV = \iiint y^2 dV = \iiint z^2 dV = \frac{1}{3} \iiint r^2 dV$
- 球面坐标：$dV = r^2 \sin\phi \, dr \, d\theta \, d\phi$
思路分析
曲面积分的首选策略：封闭曲面用高斯公式转化为三重积分。本题散度为 $x^2+2y^2+z^2$，不是简单的 $r^2$，需要利用对称性：$\iiint x^2 dV = \iiint y^2 dV = \iiint z^2 dV$，从而 $x^2+2y^2+z^2 = \frac{4}{3}(x^2+y^2+z^2) = \frac{4}{3}r^2$，再用球面坐标积分。
易错点
- 高斯公式要求曲面封闭且取外侧，不封闭需补面
- 对称性要求区域关于各坐标面对称，球体满足此条件
- 球面坐标中 $dV = r^2 \sin\phi \, dr \, d\theta \, d\phi$，不要漏掉 $r^2$ 或 $\sin\phi$
🔄 变式训练
计算 $\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy$，其中 $S$ 为立方体 $0 \le x,y,z \le 1$ 的外表面。
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答案： 3。 解析： $\iiint_V (1+1+1) dV = 3 \times \text{Vol}(V) = 3$。
六、证明下列各题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，总计 21 分）
- 设连续函数列 $\{f_n(x,y)\}$ 在有界闭区域 $D$ 上一致收敛于函数 $f(x,y)$，试证明：
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证明： 由于 $\{f_n\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f$，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $n > N$ 时，对于所有的 $(x,y) \in D$，有：
考察积分差的绝对值：
故 $\lim_{n \to \infty} \iint_D f_n(x, y) dx dy = \iint_D f(x, y) dx dy$。
难度： ⭐⭐ 考点： #一致收敛 #积分极限性质
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 一致收敛定义：$\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n > N, \forall (x,y) \in D: |f_n(x,y) - f(x,y)| < \varepsilon$
- 一致收敛的核心性质：极限与积分/求和可交换顺序
- 逐点收敛 ≠ 一致收敛：前者只要求逐点趋近，后者要求"同时趋近"
思路分析
证明积分与极限可交换的标准套路：利用一致收敛的 $\varepsilon$ 定义，将 $\varepsilon$ 除以 $\text{Area}(D)$，使得积分后的误差恰好为 $\varepsilon$。关键在于一致收敛保证了 $\varepsilon$ 不依赖于 $(x,y)$，因此可以提出积分号外。
易错点
- 逐点收敛不能保证极限与积分可交换，必须是一致收敛
- 证明中 $\varepsilon/\text{Area}(D)$ 的构造是关键，不能直接用 $\varepsilon$
- 注意 $\text{Area}(D) \neq 0$ 的前提（区域必须有面积）
🔄 变式训练
讨论 $f_n(x) = x^n$ 在 $[0, 1]$ 上的积分极限。
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解析： $\lim \int_0^1 x^n dx = \lim \frac{1}{n+1} = 0$。虽然 $f_n(x)$ 不一致收敛（在 $x=1$ 处不连续），但积分极限仍等于极限函数的积分。
- 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，证明不等式：
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证明： 这是柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）在积分形式下的应用。 考虑函数 $f(x)$ 和 $g(x) = 1$。 根据积分形式的柯西不等式：
将 $g(x) = 1$ 代入：
由于 $\int_a^b 1 dx = b - a$，故：
难度： ⭐⭐ 考点： #柯西不等式 #定积分证明
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- 柯西-施瓦茨不等式（积分形式）：$\left(\int_a^b f g \, dx\right)^2 \leqslant \int_a^b f^2 dx \cdot \int_a^b g^2 dx$
- 柯西-施瓦茨不等式（求和形式）：$\left(\sum a_k b_k\right)^2 \leqslant \sum a_k^2 \cdot \sum b_k^2$
- 等号成立条件：$f$ 与 $g$ 线性相关（$f = \lambda g$）
思路分析
遇到"积分的平方 ≤ 某个积分"的不等式，立刻想到柯西不等式。本题的破题点在于识别 $g(x) = 1$：将 $\int f dx$ 看作 $\int f \cdot 1 \, dx$，然后套用柯西不等式，$\int 1^2 dx = b-a$ 自然出现。
易错点
- 不等式方向：柯西不等式是"平方 ≤ 乘积"，不要写反
- 积分下限 $a$ 不要漏掉，$\int_a^b 1^2 dx = b-a$ 而非 $b$
- 证明时需要说明 $f$ 连续以保证积分存在
🔄 变式训练
证明：$\int_0^1 \sqrt{x} f(x) dx \leqslant \sqrt{\frac{1}{2} \int_0^1 f^2(x) dx}$。
查看答案与解析
证明： 令 $g(x)=\sqrt{x}$，则 $\int_0^1 g^2(x) dx = \int_0^1 x dx = 1/2$。
- 设区域 $D = [0,2] \times [0,1]$，证明函数
在区域 $D$ 上不可积。
查看证明与解析
证明： 利用黎曼积分的定义。对于 $D$ 的任意分割 $T$，在每个子区域 $\Delta D_i$ 中：
- 由于有理点在实数集中是稠密的，$\Delta D_i$ 中必然存在有理点，故 $M_i = \sup_{(x,y) \in \Delta D_i} f(x,y) = 1$。
- 由于无理点在实数集中也是稠密的，$\Delta D_i$ 中必然存在无理点，故 $m_i = \inf_{(x,y) \in \Delta D_i} f(x,y) = -1$。 计算大和 $S$ 与小和 $s$：
上积分 $\overline{\iint_D} f dA = \inf \{S\} = 2$，下积分 $\underline{\iint_D} f dA = \sup \{s\} = -2$。 由于上积分不等于下积分，故函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上不可积。
难度： ⭐⭐⭐ 考点： #黎曼积分定义 #可积性
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点：
- Lebesgue 定理：有界函数在 $[a,b]$ 上可积 $\Leftrightarrow$ 间断点集的测度为 0
- 大和与小和：$S = \sum M_i \Delta A_i$，$s = \sum m_i \Delta A_i$
- 可积 $\Leftrightarrow$ 上积分 = 下积分 $\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon > 0$，存在分割使 $S - s < \varepsilon$
- 零测集：可数集是零测集，但不可数集不一定非零测
思路分析
证明不可积的两条路径：① 用 Lebesgue 定理，说明间断点集测度非零（本题函数处处不连续，间断点集 = 整个区域，测度非零）；② 用 Darboux 大和小和定义，说明上积分 ≠ 下积分。本题选择路径②，利用有理点和无理点的稠密性，每个子区域上 $M_i = 1, m_i = -1$，导致大和小和永远无法接近。
易错点
- "无限个间断点"不等于"不可积"：黎曼函数有无限间断点但仍可积
- 本题是二维 Dirichlet 函数，比一维更直观——每个小区域都同时包含取 1 和 -1 的点
- 不要混淆"有理点稠密"和"有理点测度非零"——有理点集测度为 0，但本题函数在每一点都不连续
🔄 变式训练
判断黎曼函数 $R(x)$ 在 $[0, 1]$ 上是否可积。
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答案： 可积。 解析： 黎曼函数的不连续点是全体有理点，是可列集（零测集），故可积且积分为 0。