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《数值分析》期末试卷 (精选01)
一、填空题（每小题 4 分，共 40 分）
- 为了提高数值计算精度，当正数 $x$ 充分大时，应将 $\ln(x - \sqrt{x^2 - 1})$ 改写为 ______
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答案： $-\ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$
详细解析： 当 $x$ 充分大时，$x$ 与 $\sqrt{x^2 - 1}$ 是两个非常接近的大数，直接相减会产生相近数相减导致的有效数字严重丢失。 利用分子有理化技巧：
代入原式：
这样改写后，运算变为了加法和求对数，避免了精度损失。
难度： ⭐ 考点： #数值稳定性 #相近数相减
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📖 核心原则： 在数值计算中，应尽量避免两个相近的数相减。常见的处理方法包括分子有理化、三角公式变换或使用泰勒展开。
🔄 举一反三
当 $x$ 很小时，如何改写 $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ 以提高精度？
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答案： $\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}$。利用二倍角公式避免了 $1 - \cos x$ 的精度损失。
- 已知 $f(x_2, x_3) = \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} = \frac{6 - 1}{4 - 2} = \frac{5}{2}$，且 $f(x_1) = 3, x_1 = 0$，则二阶差商 $f[x_1, x_2, x_3] =$ ______
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答案： $0.875$ （或 $7/8$）
详细解析：
- 计算一阶差商 $f[x_1, x_2]$： 已知 $x_1 = 0, f(x_1) = 3$；从题干推知 $x_2 = 2, f(x_2) = 1$。$$f[x_1, x_2] = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 3}{2 - 0} = -1 $$
- 计算二阶差商 $f[x_1, x_2, x_3]$： 已知 $f[x_2, x_3] = 2.5$，$x_1 = 0, x_3 = 4$。$$f[x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{2.5 - (-1)}{4 - 0} = \frac{3.5}{4} = 0.875 $$
难度： ⭐⭐ 考点： #差商定义 #均差表
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📖 相关公式： $n$ 阶差商公式为 $f[x_0, x_1, \dots, x_n] = \frac{f[x_1, \dots, x_n] - f[x_0, \dots, x_{n-1}]}{x_n - x_0}$。
🔄 举一反三
若 $f(x)$ 是一个 2 次多项式，已知其二阶差商为 $1$，则其最高次项系数为？
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答案： 1。根据性质：$n$ 次多项式的 $n$ 阶差商等于其最高次项系数。
- 设 $X = (2, 3, -4)^T$，则其向量范数 $\| X\|_2 =$ ______
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答案： $\sqrt{29}$
详细解析： 向量的 2-范数（欧几里得范数）定义为各分量平方和的开方：
代入分量：
难度： ⭐ 考点： #向量范数 #2-范数
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📖 常用范数：
- 1-范数：$\|X\|_1 = \sum |x_i|$（分量绝对值之和）
- $\infty$-范数：$\|X\|_\infty = \max |x_i|$（分量绝对值最大值）
- 2-范数：$\|X\|_2 = \sqrt{X^T X}$
🔄 举一反三
求向量 $X = (1, -5, 2)^T$ 的 1-范数和 $\infty$-范数。
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答案： $\|X\|_1 = 8$，$\|X\|_\infty = 5$。 解析： $\|X\|_1 = |1| + |-5| + |2| = 8$；$\|X\|_\infty = \max(1, 5, 2) = 5$。
- 取步长 $h = 0.1$，用欧拉法解初值问题 $\begin{cases} y' = \frac{y}{x^2} + y \\ y(1) = 1 \end{cases}$ 的计算公式为 ______
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答案： $y_{n+1} = y_n(1.1 + \frac{0.1}{x_n^2})$
详细解析： 欧拉法（Euler Method）的迭代公式为：
本题中 $f(x, y) = \frac{y}{x^2} + y$，$h = 0.1$。 代入公式：
提取公因子 $y_n$：
难度： ⭐⭐ 考点： #欧拉法 #常微分方程数值解
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📖 相关公式：
- 显式欧拉法：$y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)$（一阶精度，条件收敛）
- 隐式欧拉法：$y_{n+1} = y_n + h f(x_{n+1}, y_{n+1})$（一阶精度，绝对收敛）
🔄 举一反三
若改用后退欧拉法（隐式）解上述问题，其迭代公式是什么？
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答案： $y_{n+1} = \frac{y_n}{1 - 0.1(1/x_{n+1}^2 + 1)}$解析： 后退欧拉公式为 $y_{n+1} = y_n + h(\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}^2} + y_{n+1})$，移项得 $y_{n+1}(1 - h(1/x_{n+1}^2 + 1)) = y_n$。
- 已知 $G = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，则其无穷范数下的条件数 $\operatorname{cond}_{\infty}(G) =$ ______
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答案： $143$
详细解析：
- 计算 $\|G\|_\infty$：$$\|G\|_\infty = \max(10+12, 1+1) = 22 $$
- 计算 $G^{-1}$： 行列式 $\det(G) = 10 \times 1 - 12 \times 1 = -2$。$$G^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 1 & -12 \\ -1 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.5 & 6 \\ 0.5 & -5 \end{pmatrix} $$
- 计算 $\|G^{-1}\|_\infty$：$$\|G^{-1}\|_\infty = \max(6.5, 5.5) = 6.5 $$
- 计算条件数：$$\operatorname{cond}_{\infty}(G) = \|G\|_\infty \cdot \|G^{-1}\|_\infty = 22 \times 6.5 = 143 $$
难度： ⭐⭐ 考点： #矩阵条件数 #无穷范数
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📖 核心概念： 条件数 $\operatorname{cond}(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|$。
- 它衡量了方程组解对输入数据变化的敏感程度。
- 条件数越大，矩阵越病态（Ill-conditioned）。
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计算该矩阵 $G$ 的 1-范数条件数 $\operatorname{cond}_1(G)$。
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答案： $143$解析： $\|G\|_1 = \max(11, 13) = 13$；$\|G^{-1}\|_1 = \max(1, 11) = 11$；故 $\operatorname{cond}_1(G) = 13 \times 11 = 143$。
- 用牛顿下山法求解方程 $\frac{x^5}{3} - 2x = 0$ 根的迭代公式是 ______
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答案： $x_{k+1} = x_k - \lambda \frac{x_k^5 - 6x_k}{5x_k^4 - 6}$
详细解析：
- 确定函数及其导数： $f(x) = \frac{1}{3}x^5 - 2x \implies f'(x) = \frac{5}{3}x^4 - 2$。
- 写出牛顿迭代部分：$$\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = \frac{\frac{1}{3}x_k^5 - 2x_k}{\frac{5}{3}x_k^4 - 2} = \frac{x_k^5 - 6x_k}{5x_k^4 - 6} $$
- 引入下山因子 $\lambda$： 牛顿下山法公式为：$x_{k+1} = x_k - \lambda \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$。 代入得：$x_{k+1} = x_k - \lambda \frac{x_k^5 - 6x_k}{5x_k^4 - 6}$。
难度： ⭐⭐ 考点： #牛顿下山法 #非线性方程求根
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📖 为什么需要下山法？ 标准牛顿法虽然具有二阶收敛速度，但其收敛性高度依赖于初值的选取。当下山条件 $|f(x_{k+1})| < |f(x_k)|$ 不满足时，通过减小 $\lambda$ 来调整步长，可以保证收敛。
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若使用弦截法求解此方程，其迭代公式（双点形式）是什么？
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答案： $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)(x_k - x_{k-1})}{f(x_k) - f(x_{k-1})}$解析： 弦截法用两点连线的斜率代替导数，避免了计算 $f'(x)$。
- 设 $l_j(x)$ $(j=0,1,\dots,n)$ 是区间 $[a, b]$ 上的一组 $n$ 次插值基函数，则插值型求积公式中的求积系数 $A_j =$ ______
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答案： $\int_a^b l_j(x) dx$
详细解析： 在插值型求积公式中，我们将被积函数 $f(x)$ 用其 $n$ 次插值多项式 $L_n(x) = \sum_{j=0}^n f(x_j)l_j(x)$ 代替。
令 $A_j = \int_a^b l_j(x) dx$，即得到求积公式 $\sum_{j=0}^n A_j f(x_j)$。
难度： ⭐ 考点： #插值型求积公式 #求积系数
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📖 核心知识点：
- 求积系数 $A_j$ 只与节点 $x_j$ 的选取有关，与被积函数 $f(x)$ 无关。
- 牛顿-科特斯公式：节点等距分布时的插值型求积公式。
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对于区间 $[-1, 1]$ 上的 2 节点插值型求积公式（节点为 $-1$ 和 $1$），其求积系数 $A_0, A_1$ 是多少？
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答案： $A_0 = 1, A_1 = 1$。 解析： 区间长度为 2，等权分配。
- 当插值节点为等距分布时，如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 ______
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答案： 差分形式（或牛顿插值公式）
详细解析： 在等距节点下，使用差分形式（如牛顿前向/后向插值公式）可以更直观地观察到各阶差分的量级。当某阶差分由于舍入误差开始出现不规则波动（噪声）时，可以据此判定插值阶数的选取上限，从而有效地估计和控制舍入误差的影响。
难度： ⭐⭐ 考点： #舍入误差 #等距节点插值
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📖 计算稳定性提示： 高次插值（如 Lagrange 插值）容易出现 Runge 现象，导致边缘误差极大。在实际应用中，通常采用分段低次插值来平衡计算复杂度和误差控制。
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为了抑制 Runge 现象，应该如何选择插值节点？
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答案： 使用 Chebyshev 节点（切比雪夫节点）。 解析： Chebyshev 节点在区间两端分布较密，中间较稀，能使插值余项的最大值达到最小。
- 解方程 $f(x) = 0$ 的简单迭代法 $x_{k+1} = \varphi(x_k)$ 满足在有根区间内 ______，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。
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答案： $|\varphi'(x)| \leqslant L < 1$
详细解析： 根据局部收敛性定理（或压缩映像原理），若迭代函数 $\varphi(x)$ 在有根区间 $[a, b]$ 内满足：
- $\varphi(x) \in [a, b]$（映射自身）；
- $\varphi(x)$ 可导且满足 $|\varphi'(x)| \leqslant L < 1$（压缩性）。 则该迭代过程对区间内任意初值均收敛。
难度： ⭐ 考点： #简单迭代法 #收敛性条件
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📖 收敛速度：
- 若 $0 < |\varphi'(\alpha)| < 1$，则为线性收敛。
- 若 $\varphi'(\alpha) = 0$，则至少为平方收敛（如牛顿法）。
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如果迭代序列收敛较慢，可以采用哪种方法进行加速？
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答案： Aitken 加速法（埃特金加速）。 解析： 通过利用序列的前几项预测极限位置，大幅提高收敛阶。
- $n$ 个求积节点的高斯求积公式的代数精度为 ______
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答案： $2n-1$
详细解析： 高斯求积公式通过最优地选择求积节点 $x_j$，使得对于 $n$ 个节点，其代数精度达到最高。理论证明，选取 $n$ 次正交多项式的零点作为节点时，公式对所有次数不超过 $2n-1$ 的多项式均能精确成立。
难度： ⭐ 考点： #高斯求积公式 #代数精度
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📖 常见高斯求积：
- Gauss-Legendre 公式：最常用，节点是 Legendre 多项式的根。
- Gauss-Chebyshev 公式：用于处理带权函数的积分。
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3 个节点的高斯求积公式代数精度是多少？
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答案： 5。利用公式 $2(3) - 1 = 5$。
二、简答题（每小题 6 分，共 36 分）
- 设方程 $x^3 - 3x - 1 = 0$ 在 $x=2$ 附近有根，确定迭代函数 $\varphi(x)$ 并验证其收敛性。
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答案： $\varphi(x) = \sqrt[3]{3x + 1}$（一种可行方案）
详细解析：
- 构造迭代函数： 由 $x^3 - 3x - 1 = 0 \implies x^3 = 3x + 1 \implies x = \sqrt[3]{3x + 1}$。 令 $\varphi(x) = (3x + 1)^{1/3}$。
- 验证收敛性： 计算导数：$\varphi'(x) = \frac{1}{3}(3x + 1)^{-2/3} \cdot 3 = (3x + 1)^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x + 1)^2}}$。 在 $x=2$ 附近：$\varphi'(2) = \frac{1}{\sqrt[3]{49}} \approx 0.273 < 1$。 由于 $|\varphi'(2)| < 1$，根据局部收敛性定理，该迭代函数在 $x=2$ 附近是收敛的。
难度： ⭐⭐ 考点： #迭代函数构造 #收敛性验证
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📖 核心思路： 构造迭代函数时，若采用开方形式，导数通常较小，易于满足收敛条件。
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若将方程改写为 $x = \frac{x^3 - 1}{3}$，判断其在 $x=2$ 附近的收敛性。
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答案： 发散。 解析： $\varphi'(2) = 4 > 1$，不收敛。
- 用积分 $\int_2^8 \frac{1}{x} dx = 2\ln 2$ 计算 $\ln 2$。要使所得近似值具有 7 位有效数字，问用复化辛普森求积公式至少需要取多少个节点？
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答案： 137 个节点
详细解析：
- 建立误差关系： $\ln 2 = \frac{1}{2} \int_2^8 \frac{1}{x} dx$。复化辛普森求积公式的误差公式为 $|E_S| \leqslant \frac{b-a}{180} h^4 M_4$，这里 $b-a=6$。由于 $\ln 2 = I/2$（其中 $I = \int_2^8 \frac{1}{x} dx$），故 $\ln 2$ 的误差为 $|E| = \frac{1}{2}|E_S|$。
- 求导数界限： $f^{(4)}(x) = 24x^{-5} \implies \max_{x \in [2,8]} |f^{(4)}(x)| = \frac{24}{2^5} = 0.75$（在 $x=2$ 处取得）。
- 计算步长 $h$： 要求 $\ln 2$ 具有 7 位有效数字，即 $|E| < 0.5 \times 10^{-7}$：$$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{180} \cdot 0.75 \cdot h^4 < 0.5 \times 10^{-7} \implies \frac{2.25}{180} h^4 < 0.5 \times 10^{-7} \implies 0.0125 h^4 < 0.5 \times 10^{-7}$$$$h^4 < 4 \times 10^{-6} \implies h < 0.0447$$
- 确定节点数： $n = \frac{6}{h} > \frac{6}{0.0447} \approx 134.2$。复化辛普森要求 $n$ 为偶数，取 $n = 136$。节点数为 $n + 1 = 137$。
难度： ⭐⭐⭐ 考点： #复化辛普森公式 #误差估计
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📖 复化辛普森误差：$|E_S| \leqslant \frac{b-a}{180} h^4 M_4$。
🔄 举一反三
若改用复化梯形公式计算，要达到同样的精度，步长 $h$ 的量级大约是多少？
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答案： $h \approx O(10^{-3})$。
- 确定求积公式 $\int_0^1 f(x) dx \approx \frac{2}{3} f(\frac{1}{4}) - \frac{1}{3} f(\frac{1}{2}) + \frac{2}{3} f(\frac{3}{4})$ 的代数精确度。
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答案： 3
详细解析： 依次测试 $f(x) = x^k$（$k = 0, 1, 2, \dots$），比较左右两边是否相等。
- $k=0$（$f(x)=1$）：左边 $\int_0^1 1\,dx = 1$，右边 $\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1 = 1$。✓
- $k=1$（$f(x)=x$）：左边 $\int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2}$，右边 $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。✓
- $k=2$（$f(x)=x^2$）：左边 $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$，右边 $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{16} = \frac{1}{24} - \frac{1}{12} + \frac{3}{8} = \frac{1}{24} - \frac{2}{24} + \frac{9}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$。✓
- $k=3$（$f(x)=x^3$）：左边 $\int_0^1 x^3\,dx = \frac{1}{4}$，右边 $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{64} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{2}{3} \cdot \frac{27}{64} = \frac{1}{96} - \frac{1}{24} + \frac{9}{32} = \frac{1}{96} - \frac{4}{96} + \frac{27}{96} = \frac{24}{96} = \frac{1}{4}$。✓
- $k=4$（$f(x)=x^4$）：左边 $\int_0^1 x^4\,dx = \frac{1}{5} = 0.2$，右边 $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{256} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{16} + \frac{2}{3} \cdot \frac{81}{256} = \frac{1}{384} - \frac{1}{48} + \frac{27}{128} = \frac{1}{384} - \frac{8}{384} + \frac{81}{384} = \frac{74}{384} \approx 0.1927 \neq 0.2$。✗
故该求积公式的代数精确度为 3。
难度： ⭐⭐ 考点： #代数精确度 #数值积分
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📖 判定准则： 若求积公式对 $1, x, \dots, x^m$ 均精确，但对 $x^{m+1}$ 不精确，则其代数精度为 $m$。
🔄 举一反三
判断辛普森求积公式 $\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{6}[f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b)]$ 的代数精度。
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答案： 3。 解析： 虽然辛普森公式基于二次插值（对 2 次多项式精确），但由于对称性，它对三次多项式也精确，故代数精度为 3。
- 已知 $f(0)=1, f(1)=3, f(3)=5$。当 $1 \leqslant |f^{(3)}(x)| \leqslant 2$ 且 $3 \leqslant |f^{(4)}(x)| \leqslant 4, x \in [0,3]$ 时，求 $\left| \frac{f(x) - H_3(x)}{f(x) - L_2(x)} \right|$ 的上界。（假设 $H_3$ 为增加 $x=1$ 处导数信息的插值）
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答案： 上界为 $2$
详细解析：
$L_2(x)$ 的余项：基于节点 $x=0, 1, 3$ 的 Lagrange 插值，余项为：
$$R_L(x) = f(x) - L_2(x) = \frac{f^{(3)}(\xi_1)}{3!}(x-0)(x-1)(x-3) = \frac{f^{(3)}(\xi_1)}{6}x(x-1)(x-3)$$$H_3(x)$ 的余项：在 $x=1$ 处增加导数信息，即 $x=1$ 为二重节点。节点为 $0, 1^{(2)}, 3$（共 4 个条件），余项为：
$$R_H(x) = f(x) - H_3(x) = \frac{f^{(4)}(\xi_2)}{4!}(x-0)(x-1)^2(x-3) = \frac{f^{(4)}(\xi_2)}{24}x(x-1)^2(x-3)$$求比值：
$$\left| \frac{R_H(x)}{R_L(x)} \right| = \left| \frac{f^{(4)}(\xi_2)}{24} \cdot \frac{6}{f^{(3)}(\xi_1)} \right| \cdot |x-1| = \frac{1}{4} \left| \frac{f^{(4)}(\xi_2)}{f^{(3)}(\xi_1)} \right| \cdot |x-1|$$代入导数界限求上界： 已知 $1 \leqslant |f^{(3)}(x)| \leqslant 2$，$3 \leqslant |f^{(4)}(x)| \leqslant 4$，故 $\left| \frac{f^{(4)}}{f^{(3)}} \right| \leqslant \frac{4}{1} = 4$。
$$\left| \frac{R_H}{R_L} \right| \leqslant \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot |x-1| = |x-1|$$在 $x \in [0, 3]$ 上，$|x-1|$ 的最大值为 $2$（在 $x=0$ 或 $x=3$ 处取得）。故上界为 $2$。
难度： ⭐⭐⭐ 考点： #插值余项 #误差分析
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📖 相关公式：
- $n$ 阶插值余项：$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i)$。
- Hermite 插值若在 $x_i$ 处有 $k$ 重节点，则余项中对应项为 $(x-x_i)^k$。
🔄 举一反三
若在 $x=0, 1, 3$ 三个节点上进行 Lagrange 插值，求余项 $R_2(x)$ 的通用表达式。
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答案： $R_2(x) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{6} x(x-1)(x-3)$。
- 已知 50.213 为有效数，确定其绝对误差界与相对误差界。
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答案： $\Delta = 0.0005$；$\delta \approx 0.001\%$
详细解析：
- $\Delta = \frac{1}{2} \times 10^{-3} = 0.0005$。
- $\delta = \frac{0.0005}{50.213} \approx 0.00001$。
难度： ⭐ 考点： #有效数字 #误差界
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📖 核心概念：
- 绝对误差界：若近似值 $x^*$ 的末位所在位为 $10^{-m}$，则绝对误差界 $\Delta = \frac{1}{2} \times 10^{-m}$。
- 相对误差界：$\delta = \frac{\Delta}{|x^*|}$，反映近似值的相对精度。
- 有效数字与误差的关系：若 $x^*$ 具有 $n$ 位有效数字，则相对误差界 $\delta \leqslant \frac{1}{2|x^*|} \times 10^{-(n-1)}$。
🔄 举一反三
已知 3.1416 为 $\pi$ 的近似值且为有效数，求其绝对误差界与相对误差界。
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答案： $\Delta = 0.00005$；$\delta \approx 0.0016\%$解析： 末位在 $10^{-4}$ 位，故 $\Delta = \frac{1}{2} \times 10^{-4} = 0.00005$；$\delta = \frac{0.00005}{3.1416} \approx 1.59 \times 10^{-5} \approx 0.0016\%$。
- 已知如下数据，求函数 $f(x) = 0$ 的根。 | $x$ | -1 | 0 | 2 | 3 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | $f(x)$ | 2 | 9 | 3 | 0 |
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答案： $x = 3$
详细解析： 由表可知 $f(3) = 0$，故 $x=3$ 为方程的根。
难度： ⭐ 考点： #方程求根 #表格观察
💡 学习锦囊
📖 零点定理： 若 $f(x)$ 连续且 $f(a)f(b) < 0$，则 $(a, b)$ 内至少有一个根。
🔄 举一反三
若表格中不包含 $f(x)=0$ 的点，且已知 $f(2)=3, f(3)=-1$，如何快速估算根的位置？
查看答案与解析
答案： 根位于 $(2, 3)$ 之间。利用线性插值（截弦法）估算：$x \approx 2 - \frac{3(3-2)}{-1-3} = 2 + 0.75 = 2.75$。
三、综合计算题（每小题 8 分，共 24 分）
- 求线性方程组 $\begin{cases} -9x_1 - 10x_2 = 7 \\ 8x_1 + 9x_2 = 8 \\ 15x_3 = 10 \end{cases}$ 的系数矩阵 $A$ 的条件数 $\operatorname{cond}_1(A)$，并说明其含义。
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答案： $\operatorname{cond}_1(A) = 361$
详细解析： 系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} -9 & -10 & 0 \\ 8 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 15 \end{pmatrix}$。
计算 $\|A\|_1$（列和最大值）： $\|A\|_1 = \max(|-9|+|8|+0,\; |-10|+|9|+0,\; 0+0+|15|) = \max(17, 19, 15) = 19$。
计算 $A^{-1}$： $A$ 是分块对角矩阵，前 $2 \times 2$ 子矩阵 $B = \begin{pmatrix} -9 & -10 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}$，$\det(B) = -81 + 80 = -1$。 $B^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 9 & 10 \\ -8 & -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -10 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}$。 故 $A^{-1} = \begin{pmatrix} -9 & -10 & 0 \\ 8 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{15} \end{pmatrix}$。
计算 $\|A^{-1}\|_1$： $\|A^{-1}\|_1 = \max(|-9|+|8|+0,\; |-10|+|9|+0,\; 0+0+|\frac{1}{15}|) = \max(17, 19, \frac{1}{15}) = 19$。
计算条件数： $\operatorname{cond}_1(A) = \|A\|_1 \cdot \|A^{-1}\|_1 = 19 \times 19 = 361$。
含义：条件数 361 表示当右端向量 $b$ 有微小扰动时，解的相对误差可能被放大到原始扰动相对误差的 361 倍，该方程组具有一定的病态性。
难度： ⭐⭐ 考点： #矩阵条件数 #病态方程组
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📖 误差估计：$\frac{\|\delta x\|}{\|x\|} \leqslant \operatorname{cond}(A) \frac{\|\delta b\|}{\|b\|}$。
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若矩阵 $A$ 变为 $\begin{pmatrix} 1 & 1.01 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，其 $\operatorname{cond}_\infty(A)$ 约是多少？
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答案： 约 400。
- 设 $A^{(k)} = \begin{pmatrix} \frac{1}{k} & \frac{2k - 5}{k + 3} & \frac{3\sin k}{k} \\ \frac{4k}{k^2 + 4} & k\sin \frac{2}{k} & \cos \frac{1}{k} \\ \sqrt{\frac{1}{k} + 4} & \tan \frac{3}{k} & 5 \end{pmatrix}$，求 $\lim_{k\to \infty} A^{(k)}$。
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答案： $\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
详细解析： 矩阵序列收敛当且仅当每个分量序列均收敛。逐分量计算极限：
- $a_{11}^{(k)} = \frac{1}{k} \to 0$
- $a_{12}^{(k)} = \frac{2k - 5}{k + 3} = \frac{2 - 5/k}{1 + 3/k} \to 2$
- $a_{13}^{(k)} = \frac{3\sin k}{k} \to 0$（$\sin k$ 有界，分母 $k \to \infty$）
- $a_{21}^{(k)} = \frac{4k}{k^2 + 4} = \frac{4/k}{1 + 4/k^2} \to 0$
- $a_{22}^{(k)} = k\sin\frac{2}{k} = \frac{\sin(2/k)}{1/k} \to 2$（利用 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，令 $t = 2/k$）
- $a_{23}^{(k)} = \cos\frac{1}{k} \to \cos 0 = 1$
- $a_{31}^{(k)} = \sqrt{\frac{1}{k} + 4} \to \sqrt{4} = 2$
- $a_{32}^{(k)} = \tan\frac{3}{k} \to \tan 0 = 0$
- $a_{33}^{(k)} = 5 \to 5$
综合得极限矩阵为 $\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$。
难度： ⭐ 考点： #矩阵序列极限
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📖 矩阵极限：矩阵序列收敛 $\iff$ 所有分量序列均收敛。计算时逐个分量应用微积分极限法则即可。
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求 $B^{(k)} = \begin{pmatrix} \frac{ak+1}{k+b} & 1 \\ 0 & e^{-k} \end{pmatrix}$ 的极限。
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答案： $\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
- 设 $\varphi(x) = x + c(x^2 - 10)$。当 $c$ 为何值时，$x_{k+1} = \varphi(x_k)$ 产生的序列 $\{x_k\}$ 收敛于 $\sqrt{10}$？又 $c$ 为何值时收敛最快？
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答案： 收敛范围为 $-\frac{1}{\sqrt{10}} < c < 0$；最优 $c = -\frac{\sqrt{10}}{20}$
详细解析：
- 求导：$\varphi'(x) = 1 + 2cx$。
- 收敛条件：迭代 $x_{k+1} = \varphi(x_k)$ 收敛于不动点 $\alpha = \sqrt{10}$ 的充要条件是 $|\varphi'(\alpha)| < 1$。 在 $x = \sqrt{10}$ 处：$\varphi'(\sqrt{10}) = 1 + 2c\sqrt{10}$。 由 $|1 + 2c\sqrt{10}| < 1$ 得：$$-1 < 1 + 2c\sqrt{10} < 1 \implies -2 < 2c\sqrt{10} < 0 \implies -\frac{1}{\sqrt{10}} < c < 0$$
- 最优收敛：收敛速度最快当且仅当 $\varphi'(\sqrt{10}) = 0$（此时至少平方收敛）。$$1 + 2c\sqrt{10} = 0 \implies c = -\frac{1}{2\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{20}$$该 $c$ 值落在收敛区间 $(-\frac{1}{\sqrt{10}}, 0)$ 内，故为有效最优值。
难度： ⭐⭐ 考点： #不动点迭代 #收敛阶
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📖 平方收敛：$\varphi'(\alpha) = 0$。
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若要求上述迭代以 $0.5$ 的比率收敛，求 $c$ 的值。
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答案： $c = -\frac{1}{4\sqrt{10}}$ 或 $c = -\frac{3}{4\sqrt{10}}$。